LECON 4 : RESOLUTION PAR LA METHODE DE NORTON, MILLMAN ET KENNELY
RESOLUTION PAR LA METHODE DE NORTON,
MILLMAN ET KENNELY
1 - METHODE DE NORTON
1.1 - Introduction
Le théorème de Norton va nous permettre de réduire un circuit complexe en générateur de courant réel.
Ce générateur possède une source de courant (IN) en parallèle avec une résistance (RN),
I
A
B
R
=
IN
RN
I
=
R
N
R R
+
N
I.
N
I
R
A
B
Circuit
électrique
1.2 - Principe
Le courant de Norton IN est obtenu par calcul ou par une mesure après avoir court-circuité les bornes A
et B,
La résistance interne RN s'obtient de la même façon que celle du théorème de Thevenin (RN = RTh),
1.3 – Applications
1.3.1 - Exercice 1
On considère le circuit électrique donné par la figure suivante :
A
I
R3
B
R1
E
R2
Solution :
(cid:131) On donne : E = 8 V ; R1 = 4 Ω ; R2 = 12 Ω ; R3 = 9 Ω
(cid:131) Calculer le courant I qui traverse la résistance R3 en
appliquant le théorème de Norton,
1) Calcul de IN
On débranche la résistance R3 et on court-circuite les bornes A et B, la configuration sera donc :
R1
E
R2
A
IN
B
=
R1
E
A
IN
B
I
N
=
E
R
1
=
8
4
A 2
=
CHAPITRE 1 : ELECTROCINETIQUE
19
LECON 4 : RESOLUTION PAR LA METHODE DE NORTON, MILLMAN ET KENNELY
2) Calcul de RN
R3 étant toujours débranchée, on court-circuite E, la configuration sera donc :
A
B
A
B
R1
R2
3) Calcul de I
IN
RN
1.3.2 - Exercice 2
R
Th
=
.RR
1
2
R R
+
1
2
=
4
4
×
+
12
12
3
Ω=
I
R3
I
=
R
N
R R
+
N
3
I
N
=
3
93
+
A 0,5 2
=
On considère le circuit électrique donné par la figure suivante :
R1
E1
R2
R3
E2
Solution :
A
I
R4
B
(cid:131) On donne : E1 = 10 v ; E2 = 5 v ; R1 = R3 = R4 = 100 Ω ; R2 =
50 Ω
(cid:131) Calculer le courant I en appliquant le théorème de Norton,
1) Calcul de IN
On débranche la résistance R4 et on court-circuite les bornes A et B, la configuration sera donc :
R1
E1
R2
R3
E2
A
IN
B
=
I1
A
I2
R1
E1
IN
B
R3
E2
⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
I
1
=
I
2
=
1
E
R
1
E
R
2
3
⇒
I I
=
N
1
+
I
=
2
10
100
+
5
100
=
0,15
A
CHAPITRE 1 : ELECTROCINETIQUE
20
LECON 4 : RESOLUTION PAR LA METHODE DE NORTON, MILLMAN ET KENNELY
2) Calcul de RTh
R1
R2
R3
3) calcul de I3
IN
IN
RN
RN
1.3.3 - Exercice 3
A
A
B
B
A
B
I
I
R4
R4
R
Advertisement
Th
=
1
1
R
2
1
R
1
+
+
1
R
3
52
=
Ω
I
=
R
N
R R
+
N
4
I
=
N
0,03
A
On considère le circuit électrique donné par la figure suivante :
(cid:131) On donne : E1 = 10 v ; E2 = 2 v ; R1 = 60 Ω ; R3 = 120 Ω ; R4 =
180 Ω ; R2 = 240 Ω ; R5 = 90 Ω
(cid:131) Calculer le courant I en appliquant le théorème de Norton,
E1
B
R1
R4
A
R3
R2
E2
I2
D
R5
C
Solution :
1) Calcul de IN
E1
B
R1
R4
A
IN
R3
R5
C
I
D
=
E1
B
I1
R1
R4
I4
A
IN
C
I3
R3
D
R5
I5
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
I
N
I
=
1
4
I - I
=
1
R
3
R R
+
1
R
5
R R
+
4
3
I
=
4
I
5
I
⇒
I
N
⎡
I
=
⎢
⎣
R
3
R R
+
1
3
−
R
5
R R
+
4
5
⎤
⎥
⎦
: a On
I
=
E
R
eq
R
avec
:
=
eq
R
3
R R
+
1
3
+
R
5
R R
+
4
5
⇒
I
N
=
E
R
eq
⎡
⎢
⎣
R
3
R R
+
1
3
−
R
5
R R
+
4
5
⎤
=⎥
⎦
0,04
A
CHAPITRE 1 : ELECTROCINETIQUE
21
LECON 4 : RESOLUTION PAR LA METHODE DE NORTON, MILLMAN ET KENNELY
2) Calcul de RTh
B
R1
R4
A
C
R3
R5
D
=
R
Th
=
.RR
1
4
RR
+
1
4
+
3) calcul de I2
B
D
.RR
3
5
R
R
+
3
Advertisement
5
A
R1
R4
C
R3
C
R5
=
96,42
Ω
A
IN - I2
I2
IN
RN
R2
E2
B
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
2 - THEOREME DE MILLMANN
2.1 - Introduction
(
I - I R E
2NN
+
2
)
0 IR -
22
=
I
2
=
I R
E
+
NN
R R
+
N
2
2
=
17,4
mA
Ce théorème très pratique permet de déterminer la différence de potentiel aux bornes de plusieurs
branches en parallèle (UAB),
R1
E1
R2
E2
Rn
En
A
UAB
B
2.2 - Principe
U
AB
=
n
Σ
1i
=
n
Σ
1i
=
Ei
Ri
1
Ri
=
n
Σ
1i
=
n
Σ
1i
=
.Y E
i
i
Y
i
Avec
:
⎧
⎪
⎨
⎪⎩
: i
numéro
la de
branche
:Y
admittance
la de
branhe
Remarque :
Si dans une branche, il n'y a pas de générateur, on considère que la f.e.m correspondante est nulle,
2.3 – Applications
2.3.1 - Exercice 1
On considère le circuit électrique donné par la figure suivante :
CHAPITRE 1 : ELECTROCINETIQUE
22
LECON 4 : RESOLUTION PAR LA METHODE DE NORTON, MILLMAN ET KENNELY
A
(cid:131) On donne : E1 = 5 v ; E2 = 20 v ; R1 = 5 Ω ; R2 = R3 =
R3
UAB
10 Ω
(cid:131) Calculer UAB,
B
R1
E1
R2
E2
Solution :
Calcul de UAB :
U
=
AB
E
1
R
1
1
R
1
+
+
2.3.2 - Exercice 2
2
E
R
2
1
R
2
+
+
0
R
3
1
R
3
=
5
5
1
5
On considère le circuit électrique donné par la figure suivante :
+
+
0
20
10
1
10
+
+
V 7,5
=
1
10
R1
E1
R2
R3
E2
E3
Solution :
1) Calcul de UAB
A
UAB
B
U
AB
=
(cid:131) On donne : E1 = 5 v ; E2 = 20 v ; E3 = 4 V ; R1 = R3 = 2 Ω ;
R3 = 1 Ω
(cid:131) Calculer UAB,
−
1
E
1
R
1
R
1
+
2
2
E
R
1
R
2
3
3
=
−
E
R
1
R
3
+
+
Advertisement
2
+−
−
5
1
1
++
1
4
2
1
2
1
2
=
0,75
V
2) Calcul de I dans R4
(cid:131) Calcul de ETh : on remarque que ETh = UAB = 0,75 V
(cid:131) Calcul de RTh
R1
R2
R3
A
B
R
Th
=
1
1
R
2
1
R
1
+
+
1
R
3
,50
=
Ω
3) calcul de I
RTh
ETh
A
I
R
4
B
I
=
E
R R
Th
+
Th
=
A 0,3
4
CHAP
ITRE 1 : ELECTROCINETIQUE
23
LECON 4 : RESOLUTION PAR LA METHODE DE NORTON, MILLMAN ET KENNELY
3 - TRANSFORMATION DE KENNELY
3.1 – Introduction
(cid:131) C'est une transformation sur un réseau passif de résistances qui est souvent utile pour simplifier un
réseau,
(cid:131) Elle permet de transformer une étoile en triangle et réciproquement,
I2
A
I
I2 - I
r3
r1
I1
r2
C
I3 + I - I2
B
3.2 - Démonstration
A
I2
R2
R1
R3
I1
C
I3
B
On démontre cette identité en utilisant le théorème de superposition,
Intensité supposée nulle
Résistance entre
dans l'étoile (Y)
Dans le triangle (Δ)
I1
I2
I3
A - B
A - C
B - C
R2 + R3
R2 + R1
R1 + R3
(r r
21
r
+
1
)r
+
3
r r
+
2
3
(r r
)r
+
1
3
2
r r
r
+
+
1
2
3
(r r
12
r
+
1
)r
+
3
r r
+
2
3
(cid:131) En superposant ces trois régimes permanents, on obtient le régime permanent le plus général,
(cid:131) Pour avoir les mêmes intensités et les mêmes d.d.p dans les deux montages, il faut que les
résistances entre les nœuds soient les mêmes dans les deux montages,
(cid:131) Soient :
R
2
+
R
=
3
(r . r
)r
+
1
2
3
r
r
r
+
+
1
2
3
) (1
R
2
+
R
=
1
(r . r
)r
+
2
1
3
r
r
r
+
+
1
2
3
R
1
+
R
=
3
(r . r
)r
+
3
1
2
r
r
r
+
+
1
2
3
(2)
(3)
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
Advertisement
⎪
⎪
⎩
CHAPITRE 1 : ELECTROCINETIQUE
24
LECON 4 : RESOLUTION PAR LA METHODE DE NORTON, MILLMAN ET KENNELY
Calcul
: R de
1
(2)
-
(1)
⇒
R R
−
=
1
3
.r r
32
.rr - r.r
+
21
21
r r r
+
+
1
2
3
.rr -
31
=
(r . r
)r
−
3
2
1
r r r
+
+
1
2
3
((2)
-
(1))
+
(3)
⇒
R2.
=
1
.r r
32
.rr r.r
−
+
31
31
r r r
+
+
2
1
3
r
+
.r
32
⇒
R
=
1
r . r
2
3
r r r
+
+
3
2
1
Donc
:
R
=
1
r . r
2
3
r r r
+
+
1
2
3
R
=
2
r . r
31
r r r
+
+
1
2
3
R
=
3
r . r
21
r r r
+
+
1
2
3
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
Et
réciproque
: ment
1
+
R . R R . R R . R
2
R
+
2
1
3
1
3
1
+
R . R R . R R . R
2
R
+
3
2
1
2
1
+
R . R R . R R . R
2
R
+
3
1
2
3
3
3
r
1
=
r
2
=
r
3
=
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
3.3 - Exercice d’application :
Déterminer la résistance équivalente RT du dipôle AD du réseau suivant en utilisant les règles de
conversion de réseaux.
R1 = 2Ω
R2 = 4Ω
R3 = 6Ω
R4 = 5Ω
R5 = 4Ω
A
R1
R2
R3
C
B
R4
R5
D
CHAPITRE 1 : ELECTROCINETIQUE
25