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N.B. : dans ce chapitre seule
la partie I est incluse dans
lexamen.
Sollicitations Simples :
Partie I. : Traction / Compression et Cisaillement
2019-2020
Dr. Ing. Yassine FERCHICHI
R sistance des Mat riaux 3 me ann e G nie Industriel
Introduction
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Mr. Yassine FERCHICHI
Les solicitations m caniques qui sexercent sur une pi ce ou
un l ment de structure peuvent tre classifi es en cinq
types :
(fr)
(en)
La Traction
(tension)
La compression (compression)
Le cisaillement
(shearing)
La flexion
(flexion or bending)
et La torsion.
(torsion)
Rappels
3
Y.FERCHICHI
Torseur de coh sion
(ou torseur des efforts
internes) :
55P5\ 5`5V5\5[ =
5A 5@5a
5G5f 5@5S5f
5G5g 5@5S5g
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N : effort normal
Traction (si N>0) ou
Compression (si N<0)
Ty et Tz : efforts
tranchants
Cisaillement
Mt : moment de Torsion
Torsion
Mfy et Mfz : moments
fl chissants
Flexion
Traction / Compression
4
https://www.diydoctor.org.uk/projects/forces.htm
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Traction / Compression
5
Soit une pi ce soumise deux forces oppos es : 59 et 59
Afin d tudier le comportement m canique dune telle pi ce on
d fini, en m canique des mat riaux, deux grandeurs essentielles :
La contrainte (Stress) : 5
Lallongement relatif (Strain) : 5
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Traction / Compression
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La contrainte (Stress) : 5 =
59
5F
(g n ralement en MPa : m gaPascal)
Lallongement relatif (Strain) : 5 =
5Y
5Y
(sans unit )
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Loi de comportement en r gime lastique
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Pour la plupart des mat riaux utilis s en industrie m canique, la
contrainte et la d formation (ou lallongement relatif) sont li s par
une relation math matique simple, valable pour les faibles
d formations (en r gime lastique)
n Loi de Hooke : 5 = 58 5
o E est le module de Young du mat riau
On d signe par r gime ou comportement lastique : le
comportement dun mat riau qui retrouve ses dimensions initiales
lorsquon supprime leffort appliqu .
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Young Modulus
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Le module de Young E, appel aussi module
d lasticit , ou module de rigidit , est une
caract ristique m canique du mat riau qui constitue la
pi ce tudi e.
Exemples :
E(aciers) H 200 GPa (200 103 MPa)
E(aluminium) H 70 GPa (70 103 MPa)
E(PET*) H 3 GPa
*le PET est le mat riau des bouteilles deau
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Condition de R sistance
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Pour quune pi ce m canique r siste la traction, il faut
que la contrainte qui lui est appliqu e ne d passe pas une
limite donn e, qui d pends du mat riau : cest la limite
lastique (Re : pour la traction, ou Rc pour la compression)
(Re est parfois not e Re0,2% ou Sy (Yield Strength) dans les
r f rences anglophones)
Donc on peut THEORIQUEMENT crire cette condition de
r sistance :
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5 d 5E5R
ou 5 d 5E5P (Compression)
Condition de R sistance
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En pratique :
n On ne connait pas pr cis ment
-
la valeur de la contrainte appliqu e sur la pi ce tudi e
(qui d pends ; de la force F et de laire de la section S)
Les caract ristiques m caniques du mat riau
-
n Il faut tenir compte des risques qui r sultent dun mauvais
dimensionnement (d g ts mat riels, arr ts de production,
d g ts humains...)
DONC : Par pr caution, on utilise une contrainte limite
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inf rieure la contrainte th orique
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Condition de R sistance
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DONC : Par pr caution, on utilise une contrainte limite
inf rieur la contrainte th orique
Ainsi, la condition de r sistance devient :
5 d
5E5R
5`
ou
5 d
5E5P
5`
5` : est appel ; coefficient de s curit .
Il est videmment strictement sup rieur 1.
Le rapport 5E5R
5`
Contrainte Admissible
nous donne une contrainte limite, appel e :
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1) V rification de la r sistance :
Condition de r sistance la traction : 5 d
5E5R
5`
avec
Or 5 =
59
5F
F = 95 kN
5
4
Et 5F =
(5Q5R5e5a
2 5Q5V5[5a
2 ) A.N. : S = 2827,4 mm
Donc 5 =
95000
2827,4
= 33,6 5@5C5N
La contrainte admissible est gale
5E5R
5`
=
250
4
= 62,5 5@5C5N
La pi ce r siste en toute s curit .
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2) Calcul de la d formation :
Loi de Hooke : 5 = 58 5
or 5 =
Do : 5Y =
A.N. : 5Y =
5Y
5Y
5
58
33,6
120 103 2,5 = 0,7 5Z5Z
5Y
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Cisaillement (Shear)
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Force applied parallel to the section of a material
55P5\ 5`5V5\5[ =
5A 5@5a
5G5f 5@5S5f
5G5g 5@5S5g
Cisaillement
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Exemple : Cisaillement subi par
laxe dune articulation chape
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Contrainte de cisaillement
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G est le module de Cisaillement du mat riau
(ou module d lasticit transversal, ou module
de Coulomb)
Condition de r sistance
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5 d
5E5T
5`
(ou Rpg)
O 5E5T est la limite
lastique du mat riau
en cisaillement
On notera 55N5Q5Z =
5E5T
5`
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G n ralement pour les
mat riaux ductiles
(m taux, polym res)
5E5T H 0,6 * 5E5R
Mat riaux Fragiles :
(c ramiques, fontes
blanches...)
55N5Q5Z =
5E5Z
5`
Exemple
20
3
2
Les pi ces 1 et 3 sont reli es par une
liaison pivot par linterm diaire de laxe 2.
Le diam tre de ce dernier a t estim 10
mm.
Laxe 2 est en acier C65 de limite lastique
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au cisaillement Rg = 400 MPa.
1
On ne consid rera que laction de la force
F, dintensit 5800 N.
Laxe est-t-il bien dimensionn ?
On prendra un coefficient de s curit s = 5.
Exemple
21
Condition de r sistance :
5 =
5 d
5E5T
5`
Or 5E5T
5`
=
400
5
= 80 5@5C5N
3
2
5G
5F
o T est leffort
tranchant et S laire de la
section :
Or T = F/2 = 2900 N
Et S = 55_2 = 78,54 5Z5Z
1
Par cons quent :
5 = 36,92 5@5C5N
22
Sollicitations Simples :
Partie II. : Flexion et Torsion
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R sistance des Mat riaux
Flexion Simple
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55P5\ 5`5V5\5[ =
55P5\ 5`5V5\5[ =
5A 5@5a
5G5f 5@5S5f
5G5g 5@5S5g
5A 5@5a
5G5f 5@5S5f
5G5g 5@5S5g
Flexion Simple
24
Fibres sup rieures comprim es
=> COMPRESSION
Fibres inf rieures tir es
=> TRACTION
25
5t5
Flexion Simple
26
Fibres sup rieures comprim es
=> COMPRESSION
5
Fibres inf rieures tir es
=> TRACTION
5
Nous avons un allongement axial (donc 5:) qui varie selon la position verticale y
Contrainte normale
27
Nous allons v rifier en Travaux Pratiques, que la
contrainte normale 5H (qui est la cause de cet
allongement 5: ) est donn e par la formule :
5H =
5t5 5
5p5n5
5
O :
5t5 5 est le moment fl chissant (en N.m ou N.mm)
5p5n5 est le moment dinertie (ou moment quadratique de la
section, par rapport laxe (G, 5 ) : en m4 ou mm4
Et y : la position verticale en m ou en mm (en prenant pour
origine le centre de gravit de la section consid r e)
Moment quadratique (moment
dintertie)
5p5n5
28
Cest une grandeur qui
d pend seulement de
la forme et des
dimensions de la
section de la poutre.
Lindice Gz signifie
que cest par rapport
laxe passant par G
et colin aire 5g
Cas simple :
y
h = 2 mm
b = 20 mm
z
5<5:5g =
5O3
12
= 1,33 10115Z4
N.B. : la base b est le
c t parall le laxe
consid r
Condition de r sistance
29
Or la contrainte (de
compression ou de
traction) elle d pends
de y : qui est la
distance entre le point
consid r et le centre de
gravit . (exemple page
suivante)
On a vu quune poutre
soumise une flexion,
sera en partie tir e
et en partie
comprim e .
DONC la condition de
r sistance est double :
Il faut que la poutre
r siste la contrainte de
compression et la
contrainte de traction
la fois
30
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Condition de r sistance ?
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O est situ e la
contrainte maximale
de compression et
quelle est sa valeur ?
idem pour la contrainte
de traction maximale
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Torsion
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Twisting or Turning force
55P5\ 5`5V5\5[ =
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5A 5@5a
5G5f 5@5S5f
5G5g 5@5S5g
Torsion dune poutre cylindrique
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La contrainte qui r sulte du moment de torsion est
une contrainte tangentielle (appel aussi contrainte
de cisaillement)
=
5t5
5p5
5y
est le moment dinertie polaire (ou moment
5p5 =
5E5 5
5 5
quadratique polaire de la section)
Et R : le rayon de la section
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Torsion dune poutre cylindrique
34
En r gime lastique :
5 = 5: 5
O :
5 =
5E5
5?
: la rotation en rad
L : longueur de la poutre
R : rayon de la section
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5
Condition de r sistance
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Comme en cisaillement, la condition de r sistance en
torsion est :
5 d
5E5T
5`
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Exercice 1 :
36
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5 = 5:5 = 5:
5E
5?
Calcul de la contrainte
=
5t5
5p5
5y =
5 5 5
5E5 5
5 5
5
5
5 5 5 5 5 5
= 5 5
5E5 5 = 5 5 , 5 5 5t5w5
Unit s : N, mm et MPa (N mm-2)
Calcul du module de cisaillement (G)
5
5?
5E
= 5:
68,44
1000
5
180
n Unit s : MPa, mm, angle en rad
) 12,5
4,9 (
= 5: = 64 5 5 5 5t5w5 = 64 5n5w5
38
5 = 5:5 = 5:
25E
5?2
2 = 55Z5N5e
5?2
5:5E
= 140
1800
64000 12,5
= 0,315 5_5N5Q = 18,05 5Q5R5T5_ 5`
Exercice 2
39
55R = 5E5T
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40
5 d
5E5T
5`
5k5
5
5
d
240
3
5t5
5E5k5
5 5
5 5
5t5
5E5k5
5 d 80
Advertisement
5
5 5
5 5 5 5 5 5
805E
d 5k5 donc 5k5 doit tre au moins gal 29,4 mm
5 = 5:5 = 5:
5E
5?
5 5
5t5
5
5E5k5
5?
5:5E
= 56 = 5 5
5 5 5 5 5 5
5E5 5 ,5 5
300
80000(29,4/2)
=0,02 rad
41
Section creux
5t5
5E(575R5e5a
4 )
4 575V5[5a
5 5
5k5
5
d
240
3
5E(572
5t5
4 5Q2
4)
5 5
5k5
5
d
240
3
5E(572
5t5
4 0,65k5
5 5
5k5
5
d
240
3
4)
5\5_ 5Q2 = 0,6572
5t5
5E(572
4(1 0,6 4)
5 5
5k5
5
d
240
3
5t5
5E(572
3(1 0,6 4)
5 5 d 80
3
5 5 5 5 5 5
5E( 80(1 0,6 4)
5 5 d 572
donc 5k5 doit tre au moins gal 30,8 mm
5Q5\5[5P 5Q2 = 18,84 5Z5Z
42
Calcul de la d formation angulaire pour larbre
creux :
5 = 5:5 = 5:
5E
5?
5t5
5E(572
3(1 0,6 4)
5 5
5?
5:5E
= 56 =
1920000
5 5 5 5 5 5 5 5 5 , 5
= 5 , 5 5 5 5+55
On constate que les diam tres ext rieurs sont tr s proches, ainsi que les
d formations angulaires
Ex.1
V rifier la r sistance de cette poutre la flexion
44
5 =
5@5S5g
5<5:5g
5f
Or on doit calculer deux contraintes (contrainte de
compression et contrainte de traction)
La valeur de 5@5S5g sera obtenu du diagramme
17,85
55P5\5Z5] =
5@5S5g
5<5:5g
26 =
6 108 26103 = 7,7351065C5N = 7,7 MPa
n (Unit s : Moment fl chissant : Nm, y en m, Igz en m4 donc 5 en Pa)
17,850
55a5_5N5P5a5V5\5[ =
Or 55N5Q5Z_5P5\5Z5] =
6 108 12,1103=3,6 Mpa
= 90 5@5C5N
=
5E5P
5`
5E5R
5`
270
3
290
3
= 96,6 5@5C5N
55N5Q5Z_5a5_5N5P5a5V5\5[ =
La poutre r siste en toute s curit car 5 d 55N5Q5Z dans les deux cas.
=