Projet Traitement du Signal : Analyse de Signaux ECG
1
Introduction
1.1 Contenu des signaux ECG, description du contenu temporel/fréquentiel
des ECG, cas nominaux et pathologiques
L'électrocardiogramme (ECG) est un signal qui représente l'activité électrique du coeur.
L'ECG est un élément essentiel que ce soit dans la surveillance des patients ou dans le
diagnostic des maladies cardiovasculaires. Les bases théoriques et pratiques de
l'enregistrement de l'activité électrique cardiaque ont été énoncées par Einthoven en 1901 et,
même si les postulats proposés sont très discutables, ils sont encore utilisés dans
l'électrocardiographie. Dans les paragraphes qui suivent, nous décrivons brièvement l'onde
d'activation du coeur, les modes d'enregistrement de cette activité électrique et les principales
caractéristiques fréquentielles présentées par l'ECG.
- Génération de l'ECG
La figure ci dessous représente le chemin parcouru par l'onde d'activation de l'ECG.
Celle-ci naît dans l'oreillette droite dans le noeud dit de Keith et Flack (aussi appelé noeud
sino-auriculaire -noté KF sur la figure-) situé au pied de la veine cave supérieure. Cette onde
s'étale sur les deux oreillettes et arrive jusqu'au nœud d'Aschoff-Tawara (aussi appelé nœud
auriculo-ventriculaire, -AT sur la figure-) pour emprunter la voie de His et pour atteindre
finalement les deux ventricules (VD et VG).
Cette onde d'activation permet l'apparition de processus de dépolarisation et de
repolarisation des cellules du cœur qui peuvent être recueillis par des électrodes placées dans
des endroits précis. Ces processus donnent lieu à la forme d'onde globale d'un ECG dit
normal, illustré sur la figure ci-dessous :
R
T
S
P
Q
Les principales formes d'ondes qui constituent l'ECG global sont décrites ci-après :
1) L'onde P est une déflexion correspondant à la dépolarisation des oreillettes droite et
gauche,
2) L'onde Ta, déflexion correspondant à la repolarisation des oreillettes, est
habituellement non visible,
3) Le complexe QRS correspond à un ensemble de déflexions dues à la dépolarisation
des ventricules,
4) L'onde T est une déflexion correspondant à la repolarisation ventriculaire.
Les valeurs normales des durées des déflexions sont :
1) Onde P : inférieure ou égale à 0,11s
2) Onde Q : inférieure à 0,04s
3) Complexe QRS : inférieur à 0,1s, habituellement compris entre 0,06 et 0,08s.
Onde QT : sa durée varie selon la fréquence cardiaque, elle s'allonge quand la fréquence se
ralentit, et se raccourcit quand la fréquence s'accélère. Pour une fréquence de 60 cycles par
minute, la durée de l'onde QT se situe dans un intervalle [0.35s, 0.43s] et pour une fréquence
cardiaque de 80 cycles par minute, elle se situe plutôt entre 0.31s et 0.39s.
- Les artefacts de l'ECG
Divers bruits sont présents dans l'ECG de routine. Parmi les plus importants, on peut citer :
1) La dérive de la ligne de base (fréquence < 5Hz),
2) Les artefacts dus aux mouvements (fréquence 1-10Hz),
3) Le secteur et ses harmoniques (fondamental 50 ou 60Hz),
4) L'EMG (fréquence 25-100Hz).
- Contenu spectral de l'ECG
Le signal ECG est un signal riche par la variété des ondes qui le constitue (ondes P,
QRS et T). Ainsi, il présente une densité spectrale de puissance qui varie en fonction de la
morphologie du signal (dérivations) et d'un sujet à un autre. La densité spectrale de puissance
des signaux ECGs a été étudiée dans les cas suivants :
1) ECG normaux de personnes saines au repos,
2) ECG avec des bruits musculaires engendrés par des actions des bras et des muscles de la
poitrine,
3) Les artefacts dus aux mouvements de personnes sur tapis roulant.
4) ECG anormaux de personnes souffrant d'arythmies.
Les densités spectrales de puissance ainsi obtenues en utilisant la méthode du
périodogramme moyenné sur 150 battements sont illustrées sur la figure ci-dessous :
12
10
8
6
4
2
0
ECG
Artéfacts dûs
aux mouvements
PT
QRS
EMG
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Fréquence en Hz
Les densités spectrales de puissance des complexes QRS et des ondes PT ont été aussi
calculées. On y observe le comportement passe-bas de l'ECG dont l'énergie est comprise entre
1 et 30Hz. Dans le cas des ondes PT, le contenu spectral se limite aux très basses fréquences,
tandis que pour le complexe QRS ce contenu a une tendance vers les plus ``hautes''
fréquences.
De plus, les bruits des muscles captés par des électrodes suffisamment séparées peuvent être
supposés non corrélés. Ainsi, les signaux EMG superposés aux dérivations de l'ECG peuvent
être considérés comme des bruits non corrélés entre eux si les électrodes exploratrices sont
suffisamment séparées.
Intérêt d’une analyse automatique d’un ECG
-
L’exploitation médicale courante d’un enregistrement ECG se fait selon l’une des
modalités suivantes :
- Un enregistrement périodique (3 mois) chez son médecin traitant. Cet enregistrement a
une durée de 30s à 1min pour vérifier le comportement général du rythme cardiaque. La
notion médicale de « rythme cardiaque » englobe l’ensemble du comportement de
l’activité électrique du cœur (forme du cycle, agencement des différentes ondes et des
différents cycles les uns par rapport aux autres) et pas seulement la fréquence cardiaque.
- Un enregistrement continu, sur plusieurs jours, nécessitant l’hospitalisation du patient
pour observer le comportement à plus long terme du fonctionnement du cœur (cette phase
d’analyse pouvant avoir été mise en œuvre suite a des doutes provenant de la première
expertise).
Cependant, cette façon de procéder n’est pas optimale ; ni sur le plan médical, la première
expertise se faisant sur des durées trop courtes pour mettre en évidence des troubles du
rythme sur le long terme, ni sur le plan des coûts, la seconde exploitation impliquant la mise
en œuvre de moyens lourds pour la surveillance du patient.
De plus en plus, des enregistreurs d’ECG portatifs permettant aux patients d’effectuer
leur propre enregistrement dont utilisés. Ces enregistrements sont alors régulièrement
communiqués à un centre médical pour analyse. Cependant l’analyse automatique d’un ECG,
qui pourrait être par exemple implantée sur ces enregistreurs portatifs, offrirait un compromis
encore plus intéressant, tant au niveau de la qualité de vie du patient, que du dérangement du
corps médical, puisque l’analyseur pourrait alors ne demander une expertise qu’en cas de
détection d’une pathologie (potentielle).
- Origine et manifestation des pathologies
L’analyse automatique des ECG n’est pas simple (de la même manière que son
expertise médicale), du fait de la variabilité des enregistrements d’un patient à un autre et de
leur variabilité interne, en fonction de l’état physiologique d’un patient (au repos, en
mouvement, stress... Qui plus est, l’expertise médicale d’un enregistrement d’ECG est
souvent complétée par l’analyse de l’histoire clinique du patient, difficile à exploiter dans la
mise en œuvre d’une expertise automatique.
Les troubles du rythme cardiaque trouvent principalement leurs origines dans des
problèmes de conduction (chemin suivi par l’onde de dépolarisation a partir de son point
d’activation électrique), des troubles de la fréquence cardiaque (fonction du pacemaker
naturel (nœud) qui initie la dépolarisation) ou encore de la forme des différentes ondes
composant le cycle cardiaque (déformation onde P, segment ST…).
Parmi les pathologies les plus courantes nous citerons :
-
les bradycardies et tachycardies (resp. ralentissement et accélération de la fréquence
cardiaque)
les fibrillations auriculaires et ventriculaires (contractions indépendantes et
désordonnées (asynchrone) des fibres musculaires entrant dans la propagation de
l’onde de dépolarisation)
les blocs auriculo-ventriculaires
dépolarisation suivant la voie courante de propagation)
(défauts de cheminement de
l’onde de
-
-
-
les extrasystoles (ou rythmes d’échappement), qui ne sont pas a proprement parlé
des « pathologies », mais qui peuvent indiquer des évolutions vers des états
pathologiques ou bien des problèmes situés en amont de la voie de conduction. (les
extrasystoles sont des battements initiés par des foyers différents du nœud courant
de dépolarisation).
Ainsi les troubles du rythme cardiaque ont des manifestations nombreuses, qui résultent
le plus souvent d’une combinaison de ces divers troubles élémentaires (conduction, fréquence
cardiaque, formes des ondes). Tout l’objet d’un analyseur, ou détecteur de pathologie serait
donc d’exploiter un grand nombre de paramètres (statistiques, caractéristiques des différentes
ondes) extraits de l’ECG et de les combiner pour effectuer un pré-diagnostic.
1.2 Lecture, observation et manipulations de fichiers de données sous
matlab
Les données disponibles dans ce TP sont des variables vectorielles sauvegardées sous le
format « .mat » (utiliser load + nom_du_fichier_de_données). Une fois chargé, une variable
ecg (vecteur, contenant les amplitudes du signal ECG enregistré) est placée dans le workspace
de Matlab. Une variable Fs contenant la fréquence d’échantillonnage associée au signal
chargé est également crée. Les signal correspondant peut ainsi être tracé en manipulant la
variable ecg.
2 Analyse spectrale / Filtrage d'un bruit d'alimentation
Généralement les signaux ECG sont acquis à l’aide d’un circuit électronique.
L’alimentation de celui-ci est un signal continu à une fréquence de 50Hz (France) ou 60Hz
(USA) qui est la source d’interférences parasites. Une sinusoïde d’amplitude plus ou moins
importante par rapport à l’amplitude du signal échantillonné vient perturber celui ci. Une des
premières opération est donc de mettre en place un filtre qui élimine cette composante.
2.1 Signal synthétique
• Générer un bruit blanc gaussien (randn.m). Observer son histogramme et la densité de
probabilité associée (histfit.m).
• Générer une sinusoïde à la fréquence de 60Hz perturbée par un bruit additif blanc
gaussien (on pourra fixer une fréquence d'échantillonnage de 200Hz). Tracer les signaux
temporels correspondants à divers rapports signal sur bruit
où
sP et
bP désignent les puissances du signal et du bruit.
SNR
=
10
log
10
P
s
P
b
,
2.2 Analyse spectrale / filtrage d’un bruit d’alimentation
2.2.1 Péridogramme
Calculer le périodogramme de la sinusoïde bruitée en utilisant les fenêtres rectangulaire et de
Hanning.
2.2.2 Corrélogrammes
Déterminer les fonctions d'autocorrélation biaisée et non biaisée de la sinusoïde bruitée puis
les densités spectrales de puissance de ce signal (Lisez attentivement la remarque 3 de
l’annexe). Comparer avec le périodogramme.
2.3 Filtre à encoche
Le bruit blanc a la particularité de posséder une densité spectrale de puissance constante
fs
(
)
=
0N
2
. Pour éliminer efficacement les interférences, localisées à une fréquence bien
définie et connue, on peut implanter un filtre qui élimine cette composante fréquentielle et ce
de la manière la plus sélective qui soit. On désire dans cette partie étudier un filtre éliminant
la fréquence
Hz
60
=
.
f
0
• Etudier la structure du filtre à encoche décrit en annexe qui permet d’éliminer la
composante sinusoïdale du signal généré précédemment. Comparer les gabarits de
cette cellule obtenus pour diverses valeurs de e (commande freqz.m)
• Faire une analyse spectrale comparative des signaux avant et après filtrage (pour le
filtrage, utiliser filter.m)
2.4 Elimination des interférences d’alimentation pour un ECG
Dans tout système électronique, en l’occurrence un capteur ECG, des interférences dues
aux alimentations sont présentes dans les signaux enregistrés. Cette perturbation prend
Advertisement
l’allure d’une sinusoïde à la fréquence d’oscillation de l’alimentation ; i.e. sur secteur
on verra apparaître une composante à la fréquence 50Hz (France) ou 60Hz (USA). Cette
information, ne présente aucune utilité vis-à-vis d’une expertise médicale. Dans un
premier temps nous proposons d’étudier un moyen d’éliminer cette interférence.
• Analyser le spectre du signal (load ECG60_2) avec les méthodes utilisées pour la
sinusoïde (périodogramme et corrélogramme)). Quelle est la fréquence d’oscillation
de l’alimentation ?
• Appliquer le filtre à encoche défini précédemment.
• Observer les différents résultats obtenus en faisant varier les paramètres du filtre
(fréquence de réjection et sélectivité).
3 Détection des complexes QRS / Analyse du rythme
Comme nous le verrons ultérieurement, la largeur et le rythme des complexes QRS sont
des paramètres importants pour le détection de pathologies. Dans cette partie, nous
étudions un algorithme de détection des complexes inspiré de l'article suivant :
J. Pan and W. J. Tompkins, "A real time QRS detection algorithm", IEEE Trans. on
Biomed. Eng., vol. BME-32, pp. 230-236, 1985.
Après avoir éliminé la composante spectrale associée à la fréquence du secteur, on se
propose d'éliminer le bruit qui se trouve en dehors de la bande spectrale des complexes
QRS, c'est-à-dire en dehors de la bande [5-15Hz]. L'article de Pan et Tompkins propose
de construire un filtre passe-bande à partir d’un filtrage passe-bas et d'un filtrage passe-
haut. Ensuite on applique au signal la série d’opérations suivante : filtre dérivateur,
filtre quadrateur et filtre à moyenne glissante (voir schéma ci-dessous). Comme dans
l'article de référence, on considère une opération de fenêtre glissante de largeur L = 30
points (largeur supérieure à la largeur du complexe QRS).
Représenter graphiquement l’effet de ces opérations sur un complexe QRS.
Toutes ces opérations ont été regroupées dans la fonction matlab QRSdetection.m. La
signification des vecteurs de sorties hp_ecg, deriv_ecg, sq_ecg et moy_ecg est
expliquée sur la figure ci-dessous. Appliquer le programme QRSdetection.m au signal
ECG60_2 filtré (noté Signal ECG sur la figure). Comparer vos résultats avec ceux
obtenus avec la fonction matlab.
hp_ecg
deriv_ecg
sq_ecg
Signal ECG
Filtre
passe bande
Filtre
derivateur
Filtre
quadrateur
Largeur complexes QRS
Rythme ECG
Extraction de paramètres
(peak-features.m)
Filtre à
moyenne glissante
moy_ecg
QRSdetection.m
Le signal en sortie du filtre à moyenne glissante est introduit dans le sous-programme
peak-features qui permet d'extraire la largeur des complexes QRS et la position des pics
R (rythme du signal ECG). Comparer les résultats obtenus avec le signal d’origine
(voir figure ci-dessous).
4 Restauration des échantillons perdus
Les enregistrements ECG portatifs sont régulièrement communiqués au centre médical
via le réseaux GPRS/UMTS (en dehors de la maison) ou via le réseau fixe (à la maison).
Le canal de transmission peut introduire des fortes atténuations appelées évanouissements
(ou fading en Anglais). Ainsi, il est possible que quelques paquets de données soient
perdus. Dans ce cas, il faut une méthode pour récupérer ces données perdues.
4.1 Méthode
On utilisera l’algorithme de Papoulis-Gerchberg. Il peut être utilisé seulement avec des
signaux dont la densité spectrale de puissance à un support spectral limité. Ceci n'est pas
un problème pour notre application puisque le signal ECG à une bande spectrale [1Hz-30
Hz].
Algorithme de Papoulis-Gerchberg
L’algorithme Papoulis-Gerchberg est basé le fait que le complexe QRS a une bande
limitée. A chaque itération, on calcule la TFD du signal et met à zéro le contenu spectral
qui est hors de la bande d'intérêt [0Hz-30Hz]. Ensuite, on détermine la TFD inverse, ce
qui fournit un signal temporel. De ce signal, on prend les échantillons correspondants
aux échantillons perdus et on les insère dans le signal d’origine. On recommence ce
procédé jusqu'à récupérer de façon satisfaisante le signal d'origine. Le procès itératif est
illustré sur le schéma suivant :
Initial signal vector
with missing samples(set to zero).
Input signal vector
DFT
Spectral density (dB)
Band limitation (filtering)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
Normalized frequencies
DFT-1
Sampling operation
(reinsertion of known samples)
4.2 Simulations
Pour simuler la perte de données, on mettra à zéro une partie du signal ECG. On applique
ensuite l'algorithme de Papoulis-Gerchberg décrit ci-dessus. Après avoir programmé cet
algorithme, évaluer l’influence de la longueur d’échantillons perdus ainsi que la position
de cette séquence sur l’algorithme de récupération d’échantillons (il est évident que
l’algorithme marchera moins bien si le trou est localisé au pic R que s’il est entre deux
complexes QRS).
Remarque Importante
Pour accélérer la convergence de l’algorithme Papoulis-Gerchberg, on fera d’abord une
interpolation linéaire des échantillons perdus, au lieu d’initialiser l’algorithme par des
zéros. Les figures suivantes montrent quelques exemples de restauration d’échantillons
avec différents nombres d’échantillons perdus et différentes positions après 200
itérations.
5 Classification des Pathologies
5.1 Signaux synthétiques
On suppose dans cette partie que la largeur des complexes QRS permet de distinguer un
ECG "sain" d'un ECG "pathologique". En supposant que ces longueurs sont gaussiennes
de même moyenne (supposée nulle pour simplifier) sous les deux hypothèses, étudier le
test de Neyman-Pearson associé au problème de détection d'un saut de variance
2
(variances
0
d'un signal ECG sain et peut alors fixer le seuil de détection. Construire une fonction
Matlab permettant de faire cette opération.
1H ). En pratique, on estime
sous les hypothèses
à l'aide
0H et
et
2
1
2
0
s
s
s
5.2 Quelques signaux réels
On considère dans le cadre du projet 4 pathologies qui ont été expertisées :
1) Pathologie 1
Elle correspond au type bigeminisme ventriculaire : après un rythme sinusal normal
(QRS fin, rythme régulier et onde P) un battement sur deux s’élargit et la contraction
associée se produit prématurément par rapport à la fréquence cardiaque courante.
2) Pathologie 2
La pathologie 2 correspond à un début de flutter ventriculaire. La distinction des
complexes QRS devient quasiment impossible (le détecteur devrait flagger des pics de
manière aléatoire). On discerne plus une onde sinusoïdale que des complexes clairement
identifiés. Distinction des phases de dépolarisation et repolarisation quasiment
impossible
3) Pathologie 3
La pathologie 3 correspond à un épisode de fibrillation auriculaire : d’un état sinusal
normal (QRS fin, rythme régulier et onde P) on passe à un état ou les complexes QRS
sont hors rythme normal, bien que fins, avec disparition d’une onde P associée a chaque
battement (activité chaotique)
4) Pathologie 4
La pathologie 4 présente une grande irrégularité du rythme, avec des « trous » dans la
conduction, bien que les QRS restent fins. Rythme sinusal pathologique, accès de
bradycardies et tachycardies.
• Montrer tout d'abord que les résultats de la partie 5.1 appliqués à la largeur des
complexes QRS permet de détecter la pathologie 1 de l'ECG en fonctionnement
normal.
• Proposer une stratégie permettant de reconnaître les diverses pathologies à l'aide du
rythme et/ou de la largeur des complexes QRS.
6 Annexes
à énergie finie est définie par
6.1 Périodogramme/Corrélogramme
)(tx
La densité spectrale de puissance (DSP) d'un signal
]
=
fX
(
( )t
[
KTF
t
)(
fs
(
=
)
2)
)
( fX
est la transformée de Fourier de
x
où
et
découle deux méthodes d'estimation de la DSP appelées périodogramme et corrélogramme.
• Périodogramme
Lorsqu'on estime la transformée de Fourier avec l'algorithme de FFT rapide de Matlab, on
montre qu'un estimateur satisfaisant de la DSP du signal
défini par
sa fonction d'autocorrélation. Il en
appelé périodogramme est
)(tx
)(tx
xK
1
N
est obtenu par échantillonnage de
)(nx
où
• Corrélogramme
TFD
[
] 2)(
nx
)(tx
.
L'estimation de la DSP par corrélogramme comporte deux étapes :
1) Estimation de la fonction d'autocorrélation (xcorr.m) qui produit
( )
ˆ
nfnK x
)(
, où
( )nf
( )nK x
ˆ
est une fenêtre de
est l'estimation biaisée ou non biaisée de la fonction
2) Transformée de Fourier discrète de
( )nK x
ˆ
pondération et
d'autocorrélation.
Remarque 1 : il est important de noter que lorsque
d'autocorrélation de
)(tx
, le corrélogramme coincide exactement avec le périodogramme.
( )nK x
ˆ
est l'estimateur biaisé de la fonction
Remarque 2 : Estimateurs spectraux moyennés
On montre que la variance des estimateurs de la DSP (corrélogramme et périodogramme) ne
dépend pas de la durée du signal. Ces estimateurs ne sont donc pas convergents. Afin de
réduire la variance des estimateurs, il est habituel de diviser le signal observé en plusieurs
tranches et à moyenner les estimateurs obtenus sur chaque tranche. La variance des
estimateurs moyennés est alors inversement proportionnelle au nombre de tranches, ce qui
réduit la variance.
Remarque 3 : Implantation numérique
Si le signal numérique
( )nK x
ˆ
possède
pour
Advertisement
)(nx
-=
n
sN points, la fonction xcorr calcule la fonction
1
N
d'autocorrélation
1
),...,
On peut ``padder" cette autocorrélation par des zéros afin d'avoir une représentation plus
précise de la DSP. L'algorithme de transformée de Fourier discrète de Matlab nécessite une
symétrisation de la fonction d'autocorrélation de la façon suivante :
(on a donc
,...,1,0,1
points).
sN
)1
N
2
(
(
s
s
( )
( )
1ˆ,0ˆ
K
K
,...,
x
x
(
ˆ
NK
x
s
)1
• Points d'autocorrélation
•
zN zéros
• zéro central
•
zN zéros
-
-
-
-
-
Symétrisation de la fonction d'autocorrélation
K(0)
4 zéros
1 zéro
4 zéros
K(1)
K(1)
K(3)
K(2)
K(3)
K(2)
2
4
6
8
10
12
14
16
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
0
• Points d'autocorrélation
(
ˆ
NK
x
s
)
1
,...,
( )1ˆ
K
x
Cette procédure de symétrisation est illustrée sur la figure suivante pour
sN
4=
et
zN
4=
:
6.2 Filtrage Analogique
Les opérations de filtrage consistent à « éliminer » ou « mettre en évidence » certaine(s)
partie(s) de la bande de fréquence occupée par un signal donné. Dans le domaine continu, la
transformée de Fourier d’un signal x(t) est définie par
(
fX
)
=
+¥
∫
)(
etx
j p2
ft
dt
. Filtrer un signal
consiste à sélectionner une bande de fréquence d’intérêt et la mettre en évidence par rapport
au reste des composantes fréquentielles du signal. Dans le domaine frequentiel (Fourier)
l’opération « naturelle » de filtrage correspond donc à une multiplication du type :
X filtre
est la transformée de Fourier du signal temporel
et
l’opération de filtrage désirée.
est la fonction de transfert du filtre qui correspond au gabarit fréquentiel pour
{
txTF
fHfX
)
(
})(
, où
( fH
fX
(
=
=
)
)
(
)
)
(
f
L’opération de multiplication dans le domaine fréquentiel trouve son équivalent dans la
convolution dans le domaine temporel (et inversement). Ainsi une opération de filtrage
, où h(t) désigne la réponse impulsionnelle du
temporel analogique est :
t
)(
x filtre
=
TF
=
{
fH
(
tx
th
)(*)(
})
1
ou encore
fH
(
)
=
{
thTF
})(
.
filtre et correspond à :
th
)(
6.3 Filtrage Numérique
Si les opérations de filtrage analogique présentées précédemment sont physiquement
réalisées par des circuits électroniques (du Hardware), mettant en jeu des circuits (R, L, C), le
traitement numérique mis en œuvre par l’intermédiaire de m P et de programmation
informatique connaît depuis plusieurs années un essor grandissant, offrant des possibilités
beaucoup plus vastes (en termes de complexité, taille, évolutivité, reprogrammabilité…).
}N
est obtenu par échantillonnage du signal continu
qui représente le signal analogique associé
. En toute rigueur, si Te est la période
d'échantillonnage, le signal numérique obtenu en sortie du convertisseur analogique
numérique est
. Il est donc possible comme dans le cas de signaux continus de
définir les opération de filtrage dans le domaine discret. Dans cet espace de représentation, la
transformée en Z est le pendant de la transformée de Fourier pour le continu
Le signal numérique
{
,...,1
(
nnx
),
enTx
(
nx
)(
)(tx
=
)
-
¥
-
-
-
˛
k
Une des propriétés essentielle de la transformée en Z (notée TZ) est le théorème du
mnxTZ
znxTZ
([
)]
zzX
)(
([
)]
=
=
m
m
retard :
)(
zX
=
kzkx
)(
+¥
∑
¥=
Advertisement
Ainsi un filtre dans le domaine discret se définit par une réponse impulsionnelle, une
), dont la transformée en Z désigne la fonction de transfert du
suite de points h(n) (
Nn ˛
filtre :
)(
zH
=
kzkh
)(
+¥
∑
¥=
Remarque : en pratique on n’utilise que la transformée en Z dite unilatérale,
k
)(
zX
=
+¥
∑
=
0
k
kzkx
)(
qui suppose le signal x causal (x(n)=0 pour n<0). De la même manière, le
principe de causalité (« l’effet ne peut précéder la cause ») fait que la réponse impulsionnelle
de tout système physique est obligatoirement nulle pour t<0. Donc pour tout système causal
on a : h(n)=0 pour n<0. C’est pourquoi nous ne noterons plus les indices de la TZ.
L’opération de filtrage dans le domaine fréquentiel, en Z, tout comme pour le cas
continu est un produit de l’entrée par la fonction de transfert du filtre :
X filtre
)(
z
=
)(
)(
zXzH
Ainsi, en utilisant le théorème du retard on montre que l’opération de filtrage peut
encore s’écrire dans le domaine temporel discret :
X
filtre
)(
z
=
)(
zXzH
)(
=
[
∑
)(
zkh
]
)(
zX
k
=
∑
)(
zzXkh
)(
k
En utilisant le théorème du retard et la définition de la TZ, cette expression devient
[
1
)(
zzX
dans le domaine temporel :
knxkh
)(
TZkh
()(
)(
n
=
]
x
)
k
filtre
∑
=
théorème
retard
du
∑
k
qui n’est autre que l’expression de la formule de convolution discrète. C’est l’opération de
filtrage qui est concrètement implantée dans un calculateur : la sortie à un instant donné n est
une combinaisons linéaire des échantillons d’entrée aux instants inférieurs à n.
Cependant on vise généralement des opérations de filtrage dites temps réel (calcul de
l’échantillon de sortie pendant l’intervalle de temps entre 2 échantillons d’entrée) ; or la
charge de calcul de cette opération générale croit avec le temps (i.e., les indices sont tels que k
varie entre 0 et l’infini dans l’équation précédente), plus on a d’échantillons passés plus le
calcul d’un échantillon nécessite d’opérations élémentaires. Afin de limiter cette charge de
calcul, on considère une classe de filtres linéaires ayant une charge calculatoire constante au
cours du temps qui est la classe des filtres récursifs qui possèdent une expression générale de
la forme :
x
filtre
)(
n
-=
M
∑
=
1
k
xa
k
filtre
(
kn
)
+
N
∑
=
0
k
(
knxb
k
)
Rappel : c’est cette équation temporelle qui est concrètement implantée dans le calculateur.
Dans ce cas la fonction de transfert associée est une fraction rationnelle en Z :
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
)(
zH
=
N
∑
k
zb
k
k
+
1
=
0
M
∑
=
1
k
k
za
k
Pour définir un tel filtre numérique, il suffit donc de déterminer les coefficients
intervenant dans
(sous Matlab, voir la commande filter)
)(zH
ka et
kb
6.4 Filtre à Encoche
Les filtres à encoche (notch filters) peuvent prendre plusieurs formes. La manière la plus
courante de construire ces filtres est de considérer la fonction de transfert :
1
e
<a
avec
)(
zH
=
+
2
e
1
2
2
1
2
1
za
1
za
1
)
+
z
-+
1(
-+
1(1
)
z
Soit
z
0
=
jre
p
02
f
un zéro du numérateur de
*
0
)(
z
z
z
z
(
0
)
)(zH
=
2
z
tel que:
w
cos(
2
Advertisement
r
)
0
La fréquence « rejetée » du filtre à encoche est alors
Par identification, on obtient
z
2
==
r
0
w
cos(
0
)
1
-=
=f
0
a
1
+
2
r
.
z
w
0
p
2
On voit donc que les zéros du filtre à encoche sont sur le cercle unité.
Concernant la stabilité du filtre, on observe ses pôles, soit les zéros du dénominateur . Si
p
est un zéro du dénominateur, on a
r=
je
w
p
0
d'où
(
z
p
0
)(
z
p
*
0
)
=
2
z
r
2
w
cos(
+
r
2
)
z
p
r
2
2
=
1(
w
cos(
p
2
e
)
-=
)
a
1
r
w
=
1(
=
w
p
e
)
0
1<r
Puisque
, le filtre est stable. Notez que les pôles ont mêmes arguments que les zéros. Le
facteur e est lié à la sélectivité (finesse de la bande rejetée) du filtre ; on montre que la
relation entre la bande coupée à –3dB (
) est :
f
2
f
=
e2
p
6.5 Réponse Harmonique
La sortie d'un filtre lorsque l'entrée est une harmonique
)(
ny
=
∑
k
knxkh
()(
)
p
2
j
~
f
0
(
kn
)(
ekh
=
∑
k
)(
nx
=
e
)
=
p
2
j
je
~
nf
0
On voit donc que cette réponse s'écrit
)(
ny
=
)(
nx
∑
k
jekh
)(
p
2
~
fk
0
c'est-à-dire
p
2
~
nf
0
∑
k
est définie pae
~
p
2
kf
0
j
)(
ekh
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
(cid:219)
-
D
D
-
-
-
-
La quantité
les fréquences qui sont conservées ou supprimées par l'opération de filtrage.
s'appelle la réponse harmonique du filtre. Elle permet de déterminer
zH
)(
jez
=
~
fk
0
2
p
ny
)(
=
zHnx
)(
)(
p
2
~
fk
0
jez
=