Probl`emes de Math´ematiques
Polynˆomes dont les z´eros v´erifient des conditions donn´ees
´Enonc´e
Polynˆomes dont les z´eros v´erifient des conditions donn´ees
Dans ce probleme, on considere des polynˆomes `a coefficients complexes.
Un polynˆome est dit normalis´e si le coefficient du terme de plus haut degr´e vaut 1.
1. Un polynˆome Q, normalis´e de degr´e 2, s’´ecrit : Q(X) = X2 + pX + q.
On note a et b ses z´eros, distincts ou non.
(a) Calculer a2 + b2 et (ab)2 en fonction de p et q.
(b) D´eterminer p et q pour que les z´eros de Q soient a2 et b2.
2. Soit A un polynˆome normalis´e de degr´e 2, de z´eros a et b : A(X) = (X − a)(X − b).
(a) D´eterminer a et b pour que A(X) divise A(X2).
(b) Donner la liste des polynˆomes A v´erifiant cette condition.
3. Soit B un polynˆome normalis´e de degr´e 2, de z´eros a et b : B(X) = (X − a)(X − b).
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(a) D´eterminer a et b pour que B(X) divise B(X3).
(b) Donner la liste des polynˆomes B v´erifiant cette condition.
(c) Montrer (sans l’aide de cette liste) que si B(X) est l’un de ces polynˆomes, alors
B(−X) en est un aussi.
4. Un polynˆome P (X) = X3 + pX2 + qX + r, normalis´e de degr´e 3, a pour z´eros a, b, c.
(a) Calculer a2 + b2 + c2 et (bc)2 + (ca)2 + (ab)2 en fonction des coefficients p, q, r.
(b) D´eterminer p, q, r pour que les z´eros de P soient a2, b2 et c2.
(c) Donner la liste de ces polynˆomes P et v´erifier que pour chacun d’eux :
P (X2) = −P (X)P (−X).
5. Parmi les polynˆomes P pr´ec´edents, on notera F1 et F2 les deux polynˆomes qui ne sont
pas `a coefficients tous r´eels.
(a) Calculer le produit F1(X)F2(X).
(b) Donner, sous forme trigonom´etrique, les z´eros de chacun des polynˆomes F1 et F2.
(c) Former les polynˆomes normalis´es de degr´e 3 ayant pour z´eros les parties r´eelles des
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z´eros de F1 et F2.
(d) Former les polynˆomes normalis´es Φ1 et Φ2, de degr´e 3, ayant pour z´eros les parties
imaginaires des z´eros des polynˆomes F1 et F2.
(e) Former les polynˆomes G et H tels que :
(
G(X) = −64Φ1(X)Φ2(X)
H(X) = −XG(X)
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Jean-Michel Ferrard
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´Enonc´e
(f) Etablir les ´egalit´es suivantes, pour tout r´eel θ :
sin 7θ = sin θ G(sin θ)
cos 7θ = H(cos θ)
cosh 7θ = H(cosh θ)
6. On d´efinit une relation S sur IR en posant : ∀ x, y ∈ IR, x S y ⇔ H(x) = H(y).
(a) V´erifier que S est une relation d’´equivalence.
(b) D´ecrire la classe d’´equivalence de x dans les cas suivants :
i. |x| > 1
ii. |x| = 1
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iii. |x| < 1
(c) On note Γ l’ensemble des points (x, y) du plan tels que H(x) = H(y).
i. Etablir que Γ est la r´eunion de la droite ∆ d’´equation y = x et de trois ellipses.
ii. Construire Γ en pr´ecisant les points multiples et les axes de sym´etrie.
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