Probabilités et Statistiques

Institut Supérieur des Arts Multimédia de la Manouba. Département Informatique. Probabilités et Statistiques (2 [ème] année Licence Informatique) Ce polycopié est en cours de rédaction. N’hésitez pas à transmettre toutes remarques ou à signaler toutes coquilles ou erreurs à mon adresse électronique : [email protected] Yousri Henchiri, MA Email: [email protected] 10 décembre 2021 Yousri HENCHIRI Université De La Manouba Table des matières 1 Probabilités élémentaires 2 1.1 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Les probabilités d’un événement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Notion de variable aléatoire et distribution de probabilité . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Lois associées aux variables de comptage (Lois discrètes) 20 2.1 Loi uniforme discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Loi Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 Loi hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3 Lois associées aux variables de mesurage (Lois continues) 37 3.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3 La loi Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.4 Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4 Références 58 Page 1/58 10 décembre 2021 Yousri HENCHIRI Université De La Manouba 1 Probabilités élémentaires 1.1 Notions de base [(dite] [épreuve)] [:] dûs au hasard et même si elle est répétée dans les mêmes conditions ne donne pas souvent les mêmes résultats. [Ω] [:] par Ω. [Événements] [:] ° Quelques événements particuliers : ⋆ ∅ est l’événement impossible et Ω est l’événement certain . ⋆A [ ] A ¯ est l’événement complémentaire (ou contraire) de A . C’est l’événement qui se réalise si A ne l’est pas. Autrement dit, A = {x | x ∈ Ω mais x ∈/ A} . Figure 1 - Représentation d’un ensemble A et de son complémentaire A . ⋆ L’union : Si A et B sont deux événements. A ∪ B est l’événement qui se réalise dès que A ou B s’est réalisé. Autrement dit, A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B} . ⋆ L’intersection : Si A et B sont deux événements. A ∩ B est l’événement qui se réalise dès que A et B s’est réalisé. Autrement dit, A ∩ B = {x | x ∈ A et x ∈ B} . ⋆ L’événement A \ B est défini par l’ensemble des éléments de A qui n’appartiennent pas à B . Autrement dit, A \ B = {x | x ∈ A et x ∈/ B} - A \ B = A ∩ B [ ] . ⋆ L’inclusion au sens large : A ⊆ B signifie ( x ∈ A ⇒ x ∈ B, ∀x ). Page 2/58 10 décembre 2021 Yousri HENCHIRI Université De La Manouba Figure 2 - Représentation de l’union de deux ensembles A et B . Figure 3 - Représentation de l’intersection de deux ensembles A et B . Figure 4 - Représentation de A \ B . ⋆ L’inclusion au sens strict : A ⊂ B signifie ( x ∈ A ⇒ x ∈ B ). ⋆ Les événements A et B sont disjoints , incompatibles ou mutuellement exclusifs si A ∩ B = ∅. Figure 5 - Représentation de deux ensembles, A et B , disjoints. Page 3/58 10 décembre 2021 Yousri HENCHIRI Université De La Manouba ° Classes particulières d’événements : Considérons une suite E 1 , E 2 , . . ., Em de sous-ensembles non-vides de Ω et disjoints deux à deux , c-à-d Ei ∩ Ej = ∅ , i ̸ = j, i, j = 1 , . . ., m. et supposons que E 1 ∪ E 2 ∪ . . . ∪ Em = Ω, nous définissons dans ce cas une classe d’évé- nements mutuellement exclusifs et exhaustifs et constitue une partition de l’ensemble fondamental Ω. Une telle classe est encore appelée un système complet (ou exhaustif) d’événements . Par extension, nous pouvons partitionner un événement E quelconque en événements mutuellement exclusifs E 1 , E 2 , . . ., Em de telle façon :  Ei = ∅ , i = 1 , . . ., m.  E ⊂ E, i = 1 , . . ., m.  Ei = ∅ , i = 1 , . . ., m. Ei ⊂ E, i = 1 , . . ., m. Ei ∩ Ej = ∅ , i ̸ = j, i, j = 1 , . . ., m. E = E 1 ∪ E 2 ∪ . . . ∪ Em. 1.2 Les probabilités d’un événement La probabilité d’un événement A peut s’obtenir de manière fréquentiste, notamment lorsqu’il est possible de faire une expérience plusieurs fois et de compter le nombre de succès de l’expérience. En effet, si on effectue n fois une expérience indépendamment et que dans nA fois des cas, l’événement A est réalisé, alors, la probabilité P de l’événement A est alors définie par nA P( A ) = lim n↑ + ∞ n [,] Cette probabilité, fondée sur l’expérience, est appelée probabilité empirique . Sa valeur est comprise entre 0 et 1, c’est à dire entre l’événement impossible et l’événement certain . De manière plus probabiliste, lorsque le nombre de résultats possibles de l’expérience est fini et que ces résultats sont équiprobables,la probabilité P de l’événement A est obtenue par P( A ) = [(] [)] [(] [)] Card (Ω) [=] nombre de cas possibles . nombre de cas possibles Page 4/58 10 décembre 2021 Yousri HENCHIRI Université De La Manouba Axiomes des probabilités Soit Ω, l’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire et F est la collection de tous les événements possibles de Ω. Un événement A est un sous-ensemble de Ω qui définit un résultat ou une combinaison de résultats. Soit A ∈ F , définir la probabilité P( A ) d’obtenir un événement A consiste à associer à ce dernier un nombre réel sur [0 , 1] mesurant la vraisemblance (la crédibilité) de sa réalisation et satisfaisant aux axiomes suivants : Axiome 1. (Non-négativité) 0 ⩽ P( A ) ⩽ 1, pour chaque événement A ∈ F , Axiome 2. (Normalisation) P(Ω) = 1, Axiome 3. (Additivité) Pour toute suite d’événements A 1 , A 2 , . . . deux à deux disjoints (ou incompatibles) Ai ∩ Aj = ∅ , i ∈/ j, P - - [∞] Ai - = i =1 ∞ P( Ai ) . i =1 Le triplet (Ω , F , P) définit un espace probabilisé. Propriétés [) = 1] [ −] [)][.] Démonstration. Ω= ( A ∪ A ), d’après l’axiome (3). P( A ∪ A ) = P( A ) + P( A ) = P(Ω) = 1 d’après l’axiome (2). Donc P( A ) = 1 − P( A ). [∅][) = 0][.] Démonstration. Ω= Ω ∪ ∅, d’après l’axiome (3). P(Ω ∪ ∅) = P(Ω) + P(∅) = 1 = P(Ω) d’après l’axiome (2). Donc P(∅) = 0. [ ⊂] [,] [)][ ⩽] [)][.] Démonstration. Du fait que A ⊂ B , nous pouvons exprimer B par B = A ∪ ( A ∩ B ) , A et A ∩ B étant mutuellement exclusifs, d’après l’axiome (3) P( B ) = P( A ) + P( A ∩ B ) . Donc P( B ) − P( A ) = P( A ∩ B ) ⩾ 0. Alors, P( B ) ⩾ P( A ). Page 5/58 10 décembre 2021 Yousri HENCHIRI Université De La Manouba [ ∪] [) = P(] [) + P(] [)] [ −] [ ∩] [)][.] Démonstration. Pour obtenir une formule donnant P( A ∪ B ), remarquant d’abord que A ∪ B peut être écrit comme l’union de deux éléments disjoints A et A ∩ B . Nous tirons alors de l’axiome (3) que P( A ∪ B ) = P( A ∪ ( A ∩ B )) = P( A ) + P( A ∩ B ) , de plus, comme B = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B ), nous tirons de nouveau de cet axiome P( B ) = P( A ∩ B ) + P( A ∩ B ) , ou encore P( A ∩ B ) = P( B ) − P( A ∩ B ) . Donc, P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) − P( A ∩ B ) . [:] 1 2 [,] expérience aléatoire, on suppose que A 1 et A 2 sont compatibles ( A 1 ∩A 2 = ∅). Si l’obtention de A 1 ne modifie pas la probabilité d’obtention de A 2, on peut écrire : P( A 1 et A 1) = P( A 1 ∩ A 2) = P( A 1) × P( A 2) . Cet axiome se généralise à k événements indépendants et s’écrit : P( A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ . . . Ak− 1 ∩ Ak ) = P( A 1) × P( A 2) × . . . × P( Ak− 1) × P( Ak ) . 1.3 Probabilité conditionnelle La probabilité affectée à un événement dépend de l’information fournie par l’ensemble fondamental Ω. Ceci est particulièrement évident lorsqu’on utilise la définition classique de la probabilité. Il se peut cependant que des informations supplémentaires viennent modifier notre connaissance du problème étudié et, par voie de conséquence, les probabilités associées aux événements de Ω. Ainsi, si A 1 et A 2 sont deux événements, la probabilité conditionnelle de A 2 étant donné A 1, P( A 2 | A 1), indique la probabilité que A 2 se produise sachant que A 1 s’est déjà produit (P( A 1) = 0)). Elle est définie par P( A 2 | A 1) = [1] [ ∩] [2][)] . P( A 1) L’indépendance est un concept fondamental de la théorie des probabilités. Elle permet de conceptualiser le fait que deux évènements ne peuvent pas interagir l’un sur l’autre. Définition 1.1. Soient A et B deux évènements. On dit que A et B sont indépendants si seulement si P( A ∩ B ) = P( A ) P( B ) , et on écrit alors A ⊥⊥ B. Il est équivalent de dire que, si les deux événements sont disjoints, P( A | B ) = P( B | A ) = 0 . Remarque 1.1. Indépendance et intersection vide n’ont rien à voir. Deux évène ment disjoints sont nécessairement dépendants. Page 6/58 10 décembre 2021 Yousri HENCHIRI Université De La Manouba Remarque 1.2. Si la réalisation ou la non réalisation de A n’affecte pas B, alors P( B | A ) = P( B ) . En effet, comme A et B sont indépendants P( A ∩ B ) = P( A ) P( B ) , et donc P( B | A ) = [ ∩] [)] = P( B ) , - P( A ) ∈/ 0 . P( A ) [ ∩] [)] = [) P(] [)] P( A ) P( A ) Théorème de Bayes Dans certaines situations, nous ne possédons pas l’information nécessaire pour évaluer directement P( A ) ou même P( Bi | A ). En revanche on connait P( A | Bi ) et P( Bi ). L’ensemble B 1 , B 2 , . . ., Bn - supposé être une partition de Ω. Par définition, nous avons : [ ∩] [)] et P( A | Bi ) = [ ∩] [)] P( A ) P( Bi ) P( Bi | A ) = [ ∩] [)] , P( Bi ) comme P( A ∩ Bi ) = P( A | Bi ) P( Bi ), nous avons P( Bi | A ) = [ |][ B] [) P(] [)] . P( A ) Loi de probabilité totale Supposons que B 1 , B 2 , . . ., Bn soient des événements mutuellement exclusifs tels que n - _Bi_ = Ω _._ i =1 Cela revient à dire en d’autres termes qu’exactement un des événements B 1 , B 2 , . . ., Bn se produira. En écrivant, A = A ∩ Ω= A ∩ ( B 1 ∪ B 2 ∪ . . . ∪ Bn ) = n i =1 A ∩ Bi et en utilisant le fait que les événements A ∩ Bi, i = 1 , . . ., n , mutuellement exclusifs, nous obtenons : n P( A | Bi ) P( Bi ) . i =1 P( A ) = n P( A ∩ Bi ) = i =1 Cette relation est souvent nommée la loi de probabilité totale et montre que sachant B 1 , B 2 , . . ., Bn sont des événements dont un seul peut se réaliser, nous pouvons calculer P( A ) en commençant par conditionner selon les Bi . Alors, la formule de Bayes généralisée est la suivante : P( A | Bi ) P( Bi ) P( Bi | A ) = - n i =1 [ |][ B] [) P(] [)] [.] Page 7/58 10 décembre 2021 Yousri HENCHIRI Université De La Manouba Solution . Appelons E = "la personne contrôlée est en état d’ébriété" . et A = "l’alcootest est positif" . Les indications fournies peuvent s’écrire : P( E ) = 0 . 02 , P( A | E ) = 0 . 95 , P( A | E ) = 0 . 96 , et nous cherchons à calculer P( E | A ). D’après la formule de Bayes, nous avons : P( E ) P( A | E ) P( E | A ) = P( E ) P( A | E ) + P( E ) P( A | E ) 0 . 02 × 0 . 95 0 . 02 × 0 . 95 + 0 . 98 × 0 . 04 [= 0] [.] [3265] Page 8/58 10 décembre 2021 Yousri HENCHIRI Université De La Manouba Solution . Nous notons par M l’événement "le mouton est malade" et T l’événement "le mouton a une réaction positive au test". L’énoncé donne : P( M ) = 0 . 3 , P( T | M ) = 0 . 9 , P( T | M ) = 0 . 8 , (a) P( M ) = 1 − P( M ) = 1 − 0 . 3 = 0 . 7 . (b) (c) P( T | M ) = 1 − P( T | M ) = 1 − 0 . 9 = 0 . 1 . P( T ∩ M ) = P( T | M ) P( M ) = 0 . 1 × 0 . 7 = 0 . 07 . (d) Nous pouvons utiliser la formule des probabilités totales ou raisonner directement, en distinguant, parmi les moutons ayant réagi positivement, ceux qui sont malades de ceux qui ne le sont pas. P( T ) = P( T ∩ M ) + P( T ∩ M ) = P( T | M ) P( M ) + P( T | M ) P( M ) = 0 . 8 × 0 . 3 + 0 . 1 × 0 . 7 = 0 . 24 + 0 . 07 = 0 . 31 . (e) Nous pouvons utiliser directement la formule de Bayes ou bien la retrouver comme suit. P( T ∩ M ) P( M | T ) = P( T ) P( T | M ) P( M ) P( T | M ) P( M ) + P( T | M ) P( M ) 0 . 8 × 0 . 3 0 . 8 × 0 . 3 + 0 . 1 × 0 . 7 [≃] [0] [.] [774] [.] (f) Nous pouvons utiliser directement la formule de Bayes ou bien la retrouver comme suit. P( T ∩ M ) P( M | T ) = P( T ) P( T | M ) P( M P( T | M ) P( M ) + P( T | M ) P( M ) 0 . 9 × 0 . 7 0 . 9 × 0 . 7 + 0 . 2 × 0 . 3 [≃] [0] [.] [913] [.] 1.4 Notion de variable aléatoire et distribution de probabilité Le concept d’une variable aléatoire formalise la notion de grandeur variant selon le résultat d’une expérience aléatoire. C’est donc une variable associée à une expérience ou à un groupe d’expériences aléatoires, et servant à caractériser le résultat de cette expérience ou de ce groupe d’expériences. Elle est dite discontinue ou discrète si elle varie elle-même de façon discontinue. Pour plusieurs répétitions d’une même expérience (par exemple plusieurs jets d’une même pièce de monnaie), le nombre de réalisations d’un événement aléatoire associé à ces expériences (par exemple le nombre Page 9/58 10 décembre 2021 Yousri HENCHIRI Université De La Manouba de "face") est une variable aléatoire discontinue. Considérons d’autre part une variable aléatoire susceptible de prendre n’importe quelle valeur réelle appartenant à un intervalle donné. Cet intervalle peut être ( −∞, + ∞ ). Une telle variable aléatoire est dite continue . Le poids d’un individu prélevé au hasard dans une population donnée est une variable aléatoire continue ne pouvant prendre que des valeurs positives. Les variables aléatoires sont notées par des lettres majuscules ( X, Y, Z, . . . ) pour les distinguer des variables déterministes ( x, y, z, . . . ). Figure 6 - Illustration de l’application X et P. Page 10/58 10 décembre 2021 Yousri HENCHIRI Université De La Manouba Quelques notations utiles - - - • L’ensemble w ∈ Ω | X ( w ) = a est un événement que l’on note par X = a , pour chaque a ∈ R . - - - • L’ensemble w ∈ Ω | X ( w ) ⩽ a est un événement que l’on note par X ⩽ a , pour chaque a ∈ R . - - - • L’ensemble w ∈ Ω | a ⩽ X ( w ) ⩽ b est un événement que l’on note par a ⩽ X ⩽ b , pour chaque a, b ∈ R . - [ ] • On écrit P( X = a ) = P X ( w ) = a = P( X [−] [1] ( a )). Fonction de répartition Soit X une variable aléatoire. La fonction de répartition de X est une fonction positive définie, pour toute valeur x de X , par FX ( x ) = pX ] −∞, x ] = P - [ ] w ∈ Ω | X ( w ) ⩽ x ≜ P( X ⩽ x ) , x ∈ R . Elle satisfait les propriétés suivantes : • FX est une fonction non-décroissante, • FX est continue à droite en chacun de ses points de discontinuité. • 0 ⩽ FX ( x ) ⩽ 1, • FX ( −∞ ) = lim x↓−∞ FX ( x ) = 0 , FX (+ ∞ ) = lim x↑ + ∞ FX ( x ) = 1. Remarque 1.3. Tous les calculs de probabilité concernant X peuvent être fait en utilisant la fonction de répartition. Par exemple : • P( a < X ⩽ b ) = P( a ⩽ X < b ) = P( a ⩽ X ⩽ b ) = FX ( b ) − FX ( a ) . Démonstration. {X ⩽ b} = {X ⩽ a} + {a < X ⩽ b} alors P( {X ⩽ b} ) = P( {X ⩽ a} ) + P( {a < X ⩽ b} ) ⇒ P( a < X ⩽ b ) = FX ( b ) − FX ( a ) . • P( X < b ) = FX ( b [−] ) = lim n↑ + ∞ [(] [ −] n [1] [)] [.] Page 11/58 10 décembre 2021 Yousri HENCHIRI Université De La Manouba Démonstration. [ ] P( X < b ) = P = P n ⩾1 lim n↑ + ∞ X ⩽ b − [1] n X ⩽ b − [1] n X ⩽ b − [1] [ ] = lim n↑ + ∞ X ⩽ b − [1] n X ⩽ b − [1] [ ] = lim n↑ + ∞ b − [1] n . Solution . [1] [11] n [) =] [ F] [(3] [−] [) =] 12 (a) P( X < 3) = lim n↑ + ∞ [(3] [ −] n [1] 12 [.] (b) P( X < 1) = P( X ⩽ 1) − P( X = 1). lim 1 _−_ [1] n↑ + ∞ n = FX (1) − P( X = 1) 2 ⇔ [1] = [= 1)] 2 3 [−] 2 ⇔ P( X = 1) = 3 [−] [1] 2 [1] [1] 2 [=] 6 6 [.] (c) P - X > [1] [1] - = 1 − P - X ⩽ [1] 2 2 2 = 1 − FX - 1 - = 1 − [1] 2 4 [1] [3] 4 [=] 4 4 [.] Page 12/58 10 décembre 2021 Yousri HENCHIRI Université De La Manouba Distribution et densité de probabilité ° La fonction de masse ou la distribution de probabilité d’une variable aléatoire discrète : Soit X une variable aléatoire discrète dont les valeurs sont x 1 , x 2 , . . ., xn . On pose pX ( xi ) = P( X = xi ) , i = 1 , 2 , . . ., n, et on appelle distribution de probabilité , ou fonction de masse de X , ou loi de probabilité de X , l’ensemble des couples ( xi, pX ( xi )), où les pX ( xi ) vérifiant X [(] i [)][ ⩾] [0][.] ∞ pX ( xi ) = 1. i =1 Dans ce cas discret, la fonction de répartition FX est définie par FX ( x ) = P( X ⩽ x ) = pX ( xi ) ≜ xi ⩽ x xi ⩽ P( X = xi ) . xi ⩽ x Cette fonction est constante par intervalles (ou en escalier). ecdf(x) .0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Col2 Col3 .0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 .0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -2 -1 0 1 2 x Figure 7 - Illustration de la fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète. Page 13/58 10 décembre 2021 Yousri HENCHIRI Université De La Manouba Solution . Posons X : max des boules tirées. On cherche P( X ⩾ 15) = 1 − P( X < 15) = 1 − P( X ⩽ 14) = 1 − ° Densité de probabilité 14 205 - . 5 4 6 8 10 12 14 16 x Figure 8 - Illustration de la densité d’une variable aléatoire continue. Pour une variable aléatoire continue, la probabilité d’apparition de l’événement X = x 1 est nulle, autrement dit, P( X = x 1) = 0, car il est impossible de tomber exactement sur cette valeur. La fonction masse pX ( x ) n’a donc aucun sens pour les variables continues. Il faut donc considérer la probabilité que X soit compris dans un intervalle, P( x 1 ⩽ X ⩽ x 2). Lorsque cet intervalle tend vers 0, la valeur de d x [(] [)] tend vers une fonction que l’on appelle fonction densité de probabilité . Cette fonction est donc la dérivée de la fonction de répartition. Elle s’écrit : d FX ( x ) = FX [′] [(] [) =] [ f] [(] [)] [.] d x La densité joue la même rôle qui la joue la fonction de masse dans le cadre discret. Pour résumer, une densité de probabilité est une fonction qui vérifie : [∀] fX ( x ) ⩾ 0, - R [(] [)] [ =] - −∞ + ∞ [(] [)] [ = 1][.] Dans ce cas continu, la fonction de répartition FX est donnée par - _x_ FX ( x ) = P( X ⩽ x ) = pX (] −∞, x ]) ≜ f ( t ) d t. −∞ Les moments d’une variable aléatoire La loi de probabilité d’une variable aléatoire peut être considérée comme l’analogue sur le plan théorique de la distribution d’un caractère sur le plan expérimental. En conséquence, certaines Page 14/58 10 décembre 2021 Yousri HENCHIRI Université De La Manouba 4 6 8 10 12 14 16 x Figure 9 - Illustration de la fonction de répartition d’une variable aléatoire continue. grandeurs associées à la distribution d’un caractère possèdent leurs analogues pour une loi de probabilité. Nous considérons successivement le cas des variables discrètes et celui des variables continues. Soit X une variable aléatoire discrète pouvant prendre les valeurs xi avec les probabilités pX ( xi ) , i = 1 , . . ., n , on appelle espérance mathématique de la variable aléatoire X le nombre : m 1 ≜ E( X ) = n xipX ( xi ) . i =1 - La variable _X_ _−_ E( _X_ ) est appelée _variable_ _centrée_ . Son espérance mathématique est nulle , c’est à dire E( X − E( X )) = 0 . Nous appelons moment d’ordre k de la loi de probabilité de X (ou espérance mathématiques de X ), le nombre mk ≜ E( X ) = n x i [(] [)] [.] i =1 Nous pouvons aussi considérer le moment centré d’ordre k , c’est à dire : E(( X − E( X )) ) = n ( xi − m ) pX ( xi ) . i =1 La variance de la variable X , est le moment centré d’ordre 2 de X , est donnée par n n n x [2] i [(] [)] [ −] - i =1 i =1 xipX ( xi ) 2 . i =1 V ar ( X ) = E(( X − m ) [2] ) = n ( xi − m ) [2] pX ( xi ) = i =1 Page 15/58 10 décembre 2021 Yousri HENCHIRI Université De La Manouba Solution . E( X ) = (1 /n )(1 + 2 + . . . + n ) = [(] [ + 1)] [/] [2] [/] [2] = [ + 1] n 2 . 2 E( X [2] ) = [2] [2][ + 6] [ −] [1] . 6 - 2 V ar ( X ) = E( X [2] ) − E( X ) = [2] [ −] [1] . 12 Nous supposons que la loi de probabilité d’une variable aléatoire X est définie au moyen d’une densité fX ( x ). Les définitions et les résultats qui précèdent se transposent facilement, le symbole de sommation [ ] étant remplacé par le symbole d’intégration - −∞ + ∞ [.] avons : ∞ E( X ) ≜ xfX ( x ) d x, −∞ et le moment d’ordre k est : - + _∞_ E( X ) ≜ x fX ( x ) d x. −∞ Solution . - + _∞_ E( X ) = ∞ - b xfX ( x ) d x = −∞ a b [ +] [ b] a [=] 2 . 2 a x 1 x [2] b − a [ =] b − a 2 b - + _∞_ E( X [2] ) = ∞ - b x [2] fX ( x ) d x = −∞ a x [2] [3] [ −] [3] b − a [ =] 3( b − a x [2] 3( b − a ) [.] a - 2 V ar ( X ) = E( X [2] ) − E( X ) = [(] [ −] [)][2] . 12 Page 16/58 10 décembre 2021 Yousri HENCHIRI Université De La Manouba Exemples Solution . Nous posons X : "montant gagné". La fonction de masse de X est 1 pX ( − 3) = pX (3) = 11 . 3 2 . 5 pX ( − 2) = pX (2) = 11 . 3 pX ( − 1) = pX (1) = 3 . 3 + 3 11 . 52 . 3 pX (0) = 53 + 511 . 3 . 3 . 3 Le montant que l’on peut espérer gagner est la moyenne des valeurs de X pondérée par la fonction de E( X ) = 3 xpX ( x ) = 0, par symétrie de la fonction de masse autour de 0, et donc le jeu est x = − 3 parfaitement équitable ici. Solution . (a) fX est une densité de probabilité alors - + _∞_ ∞ - 4 fX ( x ) d x = 1 ⇔ −∞ 0 fX ( x ) d x = 1 0 4 ⇔ c x d x = 1 0 4 ⇔ c x d x = 1 0 ⇔ c [2] 2 40 [= 1] [.] donc c = [1] 8 [.] Page 17/58 10 décembre 2021 Yousri HENCHIRI Université De La Manouba (b) P(1 ⩽ X ⩽ 2) = 12 [(] [)] [ =] 163 [.] (c) E( X ) = - −∞ + ∞ [(] [)] [ =] [1] 8 3 [.] [1] 8 04 [2] [ =] [8] 3 E( X [2] ) = 04 x 8 [3] [1] x [4] 8 4 0 [= 8][.] [1] 8 [ =] 8 4 [4] 4 V ar ( X ) = E( X [2] ) − - E( X ) 2 = 8 − - 83 2 = 89 [.] Solution . On a FY ( y ) = P( Y ⩽ y ) = P(1 − X [4] ⩽ y ) = P(1 − y ⩽ X [4] ) = P((1 − y ) [1] [/] [4] ⩽ X ) - 1 = (1 −y ) [1] [/] [4][ 3] [2] = 3 [3] 3 1 1 (1 −y ) [1] [/] [4] [=] [ x] [3][ ] 1 (1 −y ) [1] [/] [4] [= 1] [ −] [(1] [ −] [)][1] [/] [4] [,] avec y ∈ (0 , 1) . Alors fY ( y ) = [ (] [)] [3] 1 [1][(] [∈] [(0] [,] [ 1)) =] [3] 4 (1 − y ) [1] [/] [4] 4 [ (] [)] = [3] d y 4 [3] 1 [1][(0] [,] [1)][(] [)] [.] 4 (1 − y ) [1] [/] [4] Solution . On a Alors FY ( y ) = P( Y ⩽ y ) = P(2 X ⩽ y ) = P( X ⩽ y/ 2) = FX ( y/ 2) . [ (] [)] = [(] [2)] d y d y 2 [(] [2)] [.] fY ( y ) = [ (] [)] [(] [2)] = [1] d y 2 Page 18/58 10 décembre 2021 Yousri HENCHIRI Université De La Manouba Solution . Soit Y = exp( X ). x ∈ (0 , 1) et y ∈ (1 , e ). FY ( y ) = P( Y ⩽ y ) = P(exp( X ) ⩽ y ) = P( X ⩽ log( y )) = FX (log( y )) - log( _y_ ) = fX ( x ) d x 0 log( y ) = x 0 = log( y ) avec y ∈ (1 , e ) . Donc la densité de la variable Y est donnée par : fY ( y ) = [ (] [)] [ (] [)] = [1] d y y [1] [∈] [(1] [, e] [)) =] [1] y [1][(] y y [1][(1] [,e] [)][(] [)] [.] Alors, - + _∞_ E(exp( X )) = E( Y ) = yfY ( y ) d y −∞ - e 1 [=] [ e][ −] [1] [.] e 1 d y = y 1 1 Page 19/58 10 décembre 2021 Yousri HENCHIRI Université De La Manouba 2 Lois associées aux variables de comptage (Lois discrètes) Dans ce chapitre nous passons en revue certaines lois discrètes connues. 2.1 Loi uniforme discrète Une variable aléatoire X suit une loi uniforme discrète si elle prend ses valeurs dans l’ensemble { 1 , . . ., n} et que la loi de probabilité (la fonction de masse) de X est donnée pX ( k ) = P( X = k ) ≜ [1] k = 1 , . . ., n. n [,] Les événements {X = k} sont donc tous équiprobables sur l’ensemble Ω= { 1 , . . ., n} et on a X (Ω) = 1 , n ( 1 , n désigne l’ensemble des entiers naturels de 1 à n ). Démonstration. Laissée en exercice. Démonstration. Laissée en exercice. Col1 Col2 Col3 .0 2 .0 3 k .0 4. Col1 Col2 Col3 Col4 Col5 1 2 3 4 k 5 6 Figure 10 - La fonction de masse pour la loi uniforme : U{ 1 ,..., 4 } et U{ 1 ,..., 6 } . Page 20/58 10 décembre 2021 Yousri HENCHIRI Université De La Manouba 0 2 4 6 8 k Col1 Col2 Col3 Col4 Col5 Col6 Col7 1 2 3 4 5 k 6 7 8 Figure 11 - La fonction de masse et la fonction de répartition pour la loi uniforme U{ 1 ,..., 8 } . Solution . E( X ) = [21] 2 [7] [,] E( X [2] ) = [91] 6 [7] 6 [=] 2 6 et V ar ( X ) = [91] 6 [7] 6 [−] [(] 1 1 [7] [)][2] [=] [35] 12 12 [.] 2.2 Loi Bernoulli On considère une seule épreuve donnant lieu à un succès avec probabilité égale à p (pour un certain 0 ⩽ p ⩽ 1). Posons X la variable aléatoire binaire qui prend la valeur 1 si l’issue de l’expérience est un succès et 0 sinon. Dans ce cas, on écrit X ∼ Ber (1 , p ) ou X ∼ Ber ( p ). La fonction de masse (La loi de probabilité) de X est donnée par - _p,_ si _k_ = 1 _,_ pX ( k ) = P( X = k ) = 1 − p, si k = 0 . ou 1 pX ( k ) = P( X = k ) ≜ k avec - k 1 = k !(11! −k )! [(Ω) =] [ {] [0] [,] [ 1] [}] [.] p q [1] [−] , p + q = 1 , k = 0 , 1 , Page 21/58 10 décembre 2021 Yousri HENCHIRI Université De La Manouba Figure 12 - La fonction de masse pour la loi Bernoulli : Ber (1 , 0 . 2), Ber (1 , 0 . 5) et Ber (1 , 0 . 8). Démonstration. Laissée en exercice. Démonstration. Laissée en exercice. Remarque 2.1. Lorsque X = − 1 et X = +1 avec P( X = 1) = p et P( X = − 1) = 1 − p, on parle de loi de Rademacher de paramètre p, noté X ∼ R ( p ) . Page 22/58 10 décembre 2021 Yousri HENCHIRI Université De La Manouba 2.3 Loi binomiale On considère à présent une suite de n épreuves indépendantes, avec probabilité de succès de chaque épreuve toujours égale à p (pour un certain 0 ⩽ p ⩽ 1 fixe). Posons X la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenus parmi les n épreuves effectuées. La variable X prend alors une valeur parmi 0 , 1 , . . ., n (avec probabilité 1). On écrit X ∼ Bin ( n, p ) et la fonction de masse (la distribution de probabilités) de X est donnée par - _n_ pX ( k ) = P( X = k ) ≜ k p q [−] , p + q = 1 , k = 0 , . . ., n, avec - nk - = k !( nn− ! k )! [(Ω) =][ ][0] [, n] [ ][.] Il est clair que X peut être regardé comme la somme de n variables indépendantes de Bernoulli Yi de même probabilité de succès p . X = Y 1 + Y 2 + . . . + Yn. 0 2 4 6 8 10 k 0 2 4 6 8 10 k 0 2 4 6 8 10 k Figure 13 - La fonction de masse pour une loi binomiale : Bin (10 , 0 . 2), Bin (10 , 0 . 5) et Bin (10 , 0 . 8). Démonstration. Laissée en exercice. Page 23/58 10 décembre 2021 Yousri HENCHIRI Université De La Manouba Démonstration. E( X ) = = = = n - n − 1 k − 1 k =1 n - − 1 n - n − 1 y y =0 n k - n k k =0 n n k - n k k =1 n p (1 − p ) [−] p (1 − p ) [−] n - - n p (1 − p ) [−] , avec k k - - n − 1 = n k − 1 n− 1 p [+1] (1 − p ) [−] [(] [+1)] , avec y = k − 1 p (1 − p ) [−] [1] [−] = np n− 1 y =0 n − 1 y = np, avec n− 1 y =0 n − 1 p (1 − p ) [−] [1] [−] = 1 . y E( X [2] ) = = n k [2] - n k k =0 n n k [2] - n k k =1 n p (1 − p ) [−] p (1 − p ) [−] - - n p (1 − p ) [−] , avec k [2] k n ! - n − 1 = k ( k − 1)!( n − k )! [=] [ kn] k − 1 = n = n n k - n − 1 k − 1 k =1 ( y + 1) n − 1 y y =0 n− 1 p [+1] (1 − p ) [−] [(] [+1)] , avec y = k − 1 p (1 − p ) [−] [1] [−] + np n− 1 y =0 n − 1 p (1 − p ) [−] [1] [−] y = np n− 1 y - n − 1 y y =0 Alors = np ( n − 1) p + np = n ( n − 1) p [2] + np. V ar ( X ) = E( X [2] ) − (E( X )) [2] = n ( n − 1) p [2] + np − ( np ) [2] = −np [2] + np = np (1 − p ) . Page 24/58 10 décembre 2021 Yousri HENCHIRI Université De La Manouba Solution . Soit X le nombre de transactions erronées dans l’échantillon. Alors, X ∼ Bin (30 , 0 . 001) (a) (b) (c) 30 P( X = 2) = (0 . 001) [2] (0 . 999) [28] = 0 . 000423 . 2 P( X ⩽ 2) = P( X = 0) + P( X = 1) + P( X = 2) = 0 . 970431 + 0 . 029142 + 0 . 000423 = 0 . 999996 . P(Plus de 2 transactions erronées) = 1 − P(au plus de 2 transactions erronées) = 1 − 0 . 999996 = 0 . 000004 . 30 0 30 (0 . 001) [0] (0 . 999) [30] + 1 30 (0 . 001) [1] (0 . 999) [29] + 2 (0 . 001) [2] (0 . 999) [28] Solution . (a) En supposant que les résultats (succès ou échec) des 5 opérations soient indépendants entre eux, le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres 5 et 0.9. La variable aléatoire X prend ses valeurs dans l’ensemble { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } , et pour tout entier k dans cet ensemble : 5 P( X = k ) = k (0 . 9) (0 . 1) [5] [−] . (b) P( X = 0) = (0 . 1) [5] = 0 . 00001 . Page 25/58 10 décembre 2021 Yousri HENCHIRI Université De La Manouba (c) P( X = 2) = 52 (0 . 9) [2] (0 . 1) [3] = 0 . 0081 . (d) P( X ⩾ 3) = P( X = 3) + P( X = 4) + P( X = 5) 5 3 5 5 (0 . 9) [3] (0 . 1) [2] + (0 . 9) [4] (0 . 1) [1] + 4 5 (0 . 9) [5] (0 . 1) [0] = 0 . 0729 + 0 . 32805 + 0 . 59049 = 0 . 99144 . Solution . On a X ∼ Bin (50 , 1 / 2). (a) E( X ) = np = 25, V ar ( X ) = np (1 − p ) = 12 . 5. (b) P( X ⩽ 10) = [ ] i [10] =1 50 i - 21 [50] [.] 2.4 Loi hypergéométrique Cette loi est liée aux piges sans remises . On dit que X suit une loi appelée hypergéométrique si les conditions suivantes sont vérifiées. On a une population de taille N est constituée de N 1 éléments appartenant à une certaine classe C et N 2 = N − N 1 éléments n’appartenant pas à une certaine classe C . On peut penser à une urne contenant R boules rouges et B = N − R boules bleues. On pige sans remise un échantillon de n éléments, 1 ⩽ n ⩽ N . On pose X la variable comptant le nombre d’éléments de la classe C qui se trouve dans l’échantillon (on appellera X le nombre de succès). On écrit X ∼ H yperGeo ( n ; N 1 , N ) et sa fonction de masse est donnée par pX ( k ) = P( X = k ) ≜ et on a X (Ω) ⊂ 0 , n . N 1 N −N 1 k - Nn - −k , max { 0 , n − N + N 1 } ⩽ k ⩽ min {n, N 1 }, n Page 26/58 10 décembre 2021 Yousri HENCHIRI Université De La Manouba 4 5 6 7 8 k 20 25 30 35 k Col1 Col2 2.0 2.5 3 .0 3.5 4. Figure 14 – La fonction de masse pour loi Hypergéométrique : H yperGeo (4 , 8 , 10) , avec 2 ⩽ k ⩽ 4 , H yperGeo (4 , 16 , 20) , avec 4 ⩽ k ⩽ 8 , H yperGeo (36 , 72 , 90) , avec 18 ⩽ k ⩽ 36 . Démonstration. N 1 N −N 1 k n−k N n E( X ) = n k k =0 N 1 − 1 N −N 1 k− 1 n−k N − 1 n− 1 N 1 − 1 N − 1 −N 1+1 z n− 1 −z N − 1 n− 1 = n [1] N = n [1] N n k =1 n− 1 z =0 = n [1] N [=] [ np.] - - a + b m . en utilisant m i =0 a i b m − i N 1 N −N 1 k n−k N n E( X ( X − 1)) = n k ( k − 1) k =0 n N 1 − 2 N −N 1 k− 2 n−k N − 2 n− 2 N 1 − 2 N − 2 −N 1+2 z n− 2 −z N − 2 n− 2 = n ( n − 1) [1][(] [1] [ −] [1)] N ( N − 1) = n ( n − 1) [1][(] [1] [ −] [1)] N ( N − 1) n k =2 n− 2 z =0 = n ( n − 1) [1][(] [1] [ −] [1)] N ( N − 1) [.] Page 27/58 10 décembre 2021 Yousri HENCHIRI Université De La Manouba Alors V ar ( X ) = E( X [2] ) − (E( X )) [2] = E( X ( X − 1)) + E( X ) − (E( X )) [2] = n ( n − 1) [1][(] [1] [ −] [1)] [1] 1 N [−] [2] [ N] N [ 2][2] [1][(] [1] [ −] [1)] N ( N − 1) [+] [ n] N [1] N = n [1] N ( n − 1) [(] [...