Institut Sup rieur des Arts Multim dia de la Manouba.
D partement Informatique.
Probabilit s et Statistiques
(2 me ann e Licence Informatique)
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Yousri Henchiri, MA
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10 d cembre 2021
Yousri HENCHIRI
Universit De La Manouba
Table des mati res
1 Probabilit s l mentaires
1.1 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Les probabilit s dun v nement
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Probabilit conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Notion de variable al atoire et distribution de probabilit . . . . . . . . . . . . . .
2 Lois associ es aux variables de comptage (Lois discr tes)
2.1 Loi uniforme discr te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Loi Bernoulli
2.3 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Loi hyperg om trique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Lois associ es aux variables de mesurage (Lois continues)
3.1 Loi uniforme
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 La loi Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 R f rences
2
2
4
6
9
20
20
21
23
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30
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1 Probabilit s l mentaires
1.1 Notions de base
(cid:17) Exp rience al atoire (dite aussi preuve) : cest une exp rience dont les r sultats sont
d s au hasard et m me si elle est r p t e dans les m mes conditions ne donne pas souvent
les m mes r sultats.
(cid:73) Exemple :
Nous supposons quune population animale est compos e part gale dindividus des
deux sexes (F : Femelle, M : M le). Nous consid rons l preuve suivante : "extraire
trois individus de cette population".
(cid:17) Univers & : Cest lensemble de tous les r sultats possibles dune exp rience al atoire not
par &.
(cid:73) Exemple :
Les di rents r sultats possibles de l preuve d crite ci-dessus sont
FFF, FFM, FMF, MFF, MMF, MFM, FMM, MMM.
(cid:17) v nements :
(cid:230) Quelques v nements particuliers :
(cid:63) est l v nement impossible et & est l v nement certain.
(cid:17)
(cid:63) Ac (cid:16) A
est l v nement compl mentaire (ou contraire) de A. Cest l v nement qui
se r alise si A ne lest pas. Autrement dit, Ac = {x | x & mais x / A}.
Figure 1 Repr sentation dun ensemble A et de son compl mentaire Ac.
(cid:63) Lunion : Si A et B sont deux v nements. A * B est l v nement qui se r alise d s
que A ou B sest r alis . Autrement dit, A * B = {x | x A ou x B}.
(cid:63) Lintersection : Si A et B sont deux v nements. A ) B est l v nement qui se
r alise d s que A et B sest r alis . Autrement dit, A ) B = {x | x A et x B}.
(cid:63) L v nement A \ B est d ni par lensemble des l ments de A qui nappartiennent
pas B. Autrement dit, A \ B = {x | x A et x / B} (cid:0)A \ B = A ) Bc(cid:1).
(cid:63) Linclusion au sens large : A B signie (x A x B, x).
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Figure 2 Repr sentation de lunion de deux ensembles A et B.
Figure 3 Repr sentation de lintersection de deux ensembles A et B.
Figure 4 Repr sentation de A \ B.
(cid:63) Linclusion au sens strict : A B signie (x A x B).
(cid:63) Les v nements A et B sont disjoints, incompatibles ou mutuellement exclusifs si
A ) B = .
Figure 5 Repr sentation de deux ensembles, A et B, disjoints.
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(cid:73) Exercice :
Soient & = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}, A = {1, 5, 7}, B = {1, 5, 7, 11, 13},
C = {3, 5, 7, 9} et D = {11, 13}. Nous avons,
(cid:46) L v nement Ac = {3, 9, 11, 13}.
(cid:46) L v nement A implique l v nement B.
(cid:46) A * B = {1, 5, 7, 11, 13}.
(cid:46) B * C = &.
(cid:46) C et D sont deux v nements mutuellement exclusifs.
(cid:230) Classes particuli res d v nements :
Consid rons une suite E1, E2, . . . , Em de sous-ensembles non-vides de & et disjoints
deux deux, c- -d
Ei ) Ej = ,
i (cid:54)= j,
i, j = 1, . . . , m.
et supposons que E1 * E2 * . . . * Em = &, nous d nissons dans ce cas une classe d v -
nements mutuellement exclusifs et exhaustifs et constitue une partition de lensemble
fondamental &. Une telle classe est encore appel e un syst me complet (ou exhaustif )
d v nements.
Par extension, nous pouvons partitionner un v nement E quelconque en v nements
mutuellement exclusifs E1, E2, . . . , Em de telle fa on :
Ei (cid:54)= ,
Ei E,
Ei ) Ej = ,
E = E1 * E2 * . . . * Em.
i = 1, . . . , m.
i = 1, . . . , m.
i (cid:54)= j,
i, j = 1, . . . , m.
1.2 Les probabilit s dun v nement
La probabilit dun v nement A peut sobtenir de mani re fr quentiste, notamment lorsquil
est possible de faire une exp rience plusieurs fois et de compter le nombre de succ s de lexp -
rience. En eet, si on eectue n fois une exp rience ind pendamment et que dans nA fois des cas,
l v nement A est r alis , alors, la probabilit P de l v nement A est alors d nie par
P(A) = lim
n +
nA
n
,
Cette probabilit , fond e sur lexp rience, est appel e probabilit empirique. Sa valeur est com-
prise entre 0 et 1, cest dire entre l v nement impossible et l v nement certain.
De mani re plus probabiliste, lorsque le nombre de r sultats possibles de lexp rience est ni
et que ces r sultats sont quiprobables,la probabilit P de l v nement A est obtenue par
P(A) =
Card(A)
Card(&)
=
nombre de cas o A se r alise
nombre de cas possibles
.
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(cid:73) Exercice :
Pour tester un vaccin V , nous disposons de 10 volontaires. Trois dentre eux appartiennent
la m me famille. Deux personnes sont tir es au hasard. Quelle est la probabilit que deux
personnes tir es soient de la m me famille (l v nement est not par F ) ?
P(F ) =
Card(F )
Card(&)
=
(cid:1)
(cid:0)3
2
(cid:1) =
(cid:0)10
2
3
45
=
1
15
,
o (cid:0)3
2
(cid:1) = 3!
2!1! = 3 et (cid:0)10
2
(cid:1) = 10!
2!8! = 45.
Axiomes des probabilit s
Soit &, lensemble de tous les r sultats possibles dune exp rience al atoire et F est la collection
de tous les v nements possibles de &. Un v nement A est un sous-ensemble de & qui d nit un
r sultat ou une combinaison de r sultats. Soit A F , d nir la probabilit P(A) dobtenir un
v nement A consiste associer ce dernier un nombre r el sur [0, 1] mesurant la vraisemblance
(la cr dibilit ) de sa r alisation et satisfaisant aux axiomes suivants :
Axiome 1. (Non-n gativit ) 0 (cid:54) P(A) (cid:54) 1, pour chaque v nement A F ,
Axiome 2. (Normalisation) P(&) = 1,
Axiome 3. (Additivit ) Pour toute suite d v nements A1, A2, . . . deux deux disjoints (ou incom-
patibles) Ai ) Aj = , i / j,
Le triplet (&, F , P) d nit un espace probabilis .
(cid:16)
(cid:91)
P
(cid:17)
Ai
=
i=1
(cid:88)
i=1
P(Ai).
Propri t s
(cid:17) P(Ac) = 1 P(A).
D monstration. & = (A * Ac), dapr s laxiome (3). P(A * Ac) = P(A) + P(Ac) = P(&) = 1
dapr s laxiome (2). Donc P(Ac) = 1 P(A).
(cid:17) P() = 0.
D monstration.
& = & * , dapr s laxiome (3). P(& * ) = P(&) + P() = 1 = P(&) dapr s laxiome (2).
Donc P() = 0.
(cid:17) Si A B, alors P(A) (cid:54) P(B).
D monstration.
Du fait que A B, nous pouvons exprimer B par
B = A * (Ac ) B),
A et Ac ) B tant mutuellement exclusifs, dapr s laxiome (3)
P(B) = P(A) + P(Ac ) B).
Donc P(B) P(A) = P(Ac ) B) (cid:62) 0. Alors, P(B) (cid:62) P(A).
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(cid:17) P(A * B) = P(A) + P(B) P(A ) B).
D monstration.
Pour obtenir une formule donnant P(A * B), remarquant dabord que A * B peut tre crit
comme lunion de deux l ments disjoints A et Ac ) B. Nous tirons alors de laxiome (3) que
P(A * B) = P(A * (Ac ) B)) = P(A) + P(Ac ) B), de plus, comme B = (A ) B) * (Ac ) B),
nous tirons de nouveau de cet axiome
ou encore
Donc,
P(B) = P(A ) B) + P(Ac ) B),
P(Ac ) B) = P(B) P(A ) B).
P(A * B) = P(A) + P(B) P(A ) B).
(cid:17) Axiome des probabilit s compos es : Soient A1 et A2, deux r sultats possibles dune m me
exp rience al atoire, on suppose que A1 et A2 sont compatibles (A1 )A2 (cid:54)= ). Si lobtention
de A1 ne modie pas la probabilit dobtention de A2, on peut crire :
P(A1 et A1) = P(A1 ) A2) = P(A1) P(A2).
Cet axiome se g n ralise k v nements ind pendants et s crit :
P(A1 ) A2 ) A3 ) . . . Ak1 ) Ak) = P(A1) P(A2) . . . P(Ak1) P(Ak).
1.3 Probabilit conditionnelle
La probabilit aect e un v nement d pend de linformation fournie par lensemble fonda-
mental &. Ceci est particuli rement vident lorsquon utilise la d nition classique de la probabilit .
Il se peut cependant que des informations suppl mentaires viennent modier notre connaissance du
probl me tudi et, par voie de cons quence, les probabilit s associ es aux v nements de &. Ainsi,
si A1 et A2 sont deux v nements, la probabilit conditionnelle de A2 tant donn A1, P(A2 | A1),
Advertisement
indique la probabilit que A2 se produise sachant que A1 sest d j produit (P(A1) (cid:54)= 0)). Elle est
d nie par
P(A2 | A1) =
P(A1 ) A2)
P(A1)
.
Lind pendance est un concept fondamental de la th orie des probabilit s. Elle permet de
conceptualiser le fait que deux v nements ne peuvent pas interagir lun sur lautre.
D nition 1.1. Soient A et B deux v nements. On dit que A et B sont ind pendants si seulement
si
P(A ) B) = P(A) P(B),
et on crit alors A B.
Il est quivalent de dire que, si les deux v nements sont disjoints,
P(A | B) = P(B | A) = 0.
+ Remarque 1.1. Ind pendance et intersection vide nont rien voir. Deux v ne-
ment disjoints sont n cessairement d pendants.
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+ Remarque 1.2. Si la r alisation ou la non r alisation de A naecte pas B, alors
P(B | A) = P(B).
En eet, comme A et B sont ind pendants P(A ) B) = P(A) P(B), et donc
P(B | A) =
P(B ) A)
P(A)
=
P(B) P(A)
P(A)
= P(B),
(cid:0) P(A) / 0(cid:1).
Th or me de Bayes
Dans certaines situations, nous ne poss dons pas linformation n cessaire pour valuer di-
rectement P(A) ou m me P(Bi | A). En revanche on connait P(A | Bi) et P(Bi). Lensemble
(cid:8)B1, B2, . . . , Bn
(cid:9) suppos tre une partition de &. Par d nition, nous avons :
P(Bi | A) =
P(A ) Bi)
P(A)
et P(A | Bi) =
P(A ) Bi)
P(Bi)
,
comme P(A ) Bi) = P(A | Bi) P(Bi), nous avons
P(Bi | A) =
P(A | Bi) P(Bi)
P(A)
.
Loi de probabilit totale
Supposons que B1, B2, . . . , Bn soient des v nements mutuellement exclusifs tels que
n
(cid:91)
i=1
Bi = &.
Cela revient dire en dautres termes quexactement un des v nements B1, B2, . . . , Bn se
produira. En crivant,
A = A ) & = A ) (B1 * B2 * . . . * Bn) =
n
(cid:91)
i=1
(cid:0)A ) Bi
(cid:1)
et en utilisant le fait que les v nements A ) Bi, i = 1, . . . , n, mutuellement exclusifs, nous
obtenons :
P(A) =
n
(cid:88)
i=1
P(A ) Bi) =
n
(cid:88)
i=1
P(A | Bi) P(Bi).
Cette relation est souvent nomm e la loi de probabilit totale et montre que sachant B1, B2, . . . , Bn
sont des v nements dont un seul peut se r aliser, nous pouvons calculer P(A) en commen ant par
conditionner selon les Bi.
Alors, la formule de Bayes g n ralis e est la suivante :
P(Bi | A) =
P(A | Bi) P(Bi)
i=1 P(A | Bi) P(Bi)
(cid:80)n
.
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(cid:73) Exercice :
Un laboratoire a mis au point un alcootest. Nous savons que 2% des personnes contr l es
par la police sont r ellement en tat d bri t . Les premiers essais ont conduit aux r sultats
suivants :
" lorsquune personne est r ellement en tat d bri t , 95 fois sur 100 lalcootest se
r v le positif,
" lorsquune personne nest pas en tat d bri t , 96 fois sur 100 lalcootest se r v le
n gatif.
Quelle est la probabilit pour quune personne soit r ellement en tat d bri t lorsque
lalcootest est positif ?
Solution.
Appelons
et
E = "la personne contr l e est en tat d bri t ".
Les indications fournies peuvent s crire :
A = "lalcootest est positif".
P(E) = 0.02, P(A | E) = 0.95, P(Ac | Ec) = 0.96,
et nous cherchons calculer P(E | A). Dapr s la formule de Bayes, nous avons :
P(E | A) =
P(E) P(A | E)
P(E) P(A | E) + P(Ec) P(A | Ec)
=
0.02 0.95
0.02 0.95 + 0.98 0.04
= 0.3265
(cid:73) Exercice :
Dans un levage de moutons, nous estimons que 30% sont atteints par une certaine maladie.
Nous disposons dun test pour cette maladie. Si un mouton nest pas atteint, il a 9 chances
sur 10 davoir une r action n gative au test ; sil est atteint, il a 8 chances sur 10 davoir
une r action positive. Nous soumettons tous les moutons de l levage au test.
(a) Quelle est la probabilit quun mouton de cet levage ne soit pas malade ?
(b) Quelle est la probabilit conditionnelle quun mouton ait une r action positive au test
sachant quil nest pas malade ?
(c) Quelle est la probabilit quun mouton ne soit pas malade et ait une r action positive
au test ?
(d) Quelle proportion des moutons de l levage r agit positivement au test ?
(e) Quelle est la probabilit quun mouton soit malade, sachant quil a r agi positivement ?
(f) Quelle est la probabilit quun mouton ne soit pas malade, sachant quil a r agi
n gativement ?
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Solution.
Nous notons par M l v nement "le mouton est malade" et T l v nement "le mouton a une
r action positive au test". L nonc donne :
(a)
(b)
(c)
P(M ) = 0.3, P(T c | M c) = 0.9, P(T | M ) = 0.8,
P(M c) = 1 P(M ) = 1 0.3 = 0.7.
P(T | M c) = 1 P(T c | M c) = 1 0.9 = 0.1.
P(T ) M c) = P(T | M c) P(M c) = 0.1 0.7 = 0.07.
(d) Nous pouvons utiliser la formule des probabilit s totales ou raisonner directement, en distin-
guant, parmi les moutons ayant r agi positivement, ceux qui sont malades de ceux qui ne le
sont pas.
P(T ) = P(T ) M ) + P(T ) M c)
= P(T | M ) P(M ) + P(T | M c) P(M c)
= 0.8 0.3 + 0.1 0.7 = 0.24 + 0.07 = 0.31.
(e) Nous pouvons utiliser directement la formule de Bayes ou bien la retrouver comme suit.
P(M | T ) =
P(T ) M )
P(T )
=
=
P(T | M ) P(M )
P(T | M ) P(M ) + P(T | M c) P(M c)
0.8 0.3
0.8 0.3 + 0.1 0.7
(cid:39) 0.774.
(f) Nous pouvons utiliser directement la formule de Bayes ou bien la retrouver comme suit.
P(M c | T c) =
P(T c ) M c)
P(T c)
=
=
P(T c | M c) P(M c
P(T c | M c) P(M c) + P(T c | M ) P(M )
0.9 0.7
0.9 0.7 + 0.2 0.3
(cid:39) 0.913.
1.4 Notion de variable al atoire et distribution de probabilit
Le concept dune variable al atoire formalise la notion de grandeur variant selon le r sultat
dune exp rience al atoire. Cest donc une variable associ e une exp rience ou un groupe
dexp riences al atoires, et servant caract riser le r sultat de cette exp rience ou de ce groupe
dexp riences.
Elle est dite discontinue ou discr te si elle varie elle-m me de fa on discontinue. Pour plusieurs
r p titions dune m me exp rience (par exemple plusieurs jets dune m me pi ce de monnaie), le
nombre de r alisations dun v nement al atoire associ ces exp riences (par exemple le nombre
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de "face") est une variable al atoire discontinue.
Consid rons dautre part une variable al atoire susceptible de prendre nimporte quelle valeur
r elle appartenant un intervalle donn . Cet intervalle peut tre (, +). Une telle variable
al atoire est dite continue. Le poids dun individu pr lev au hasard dans une population donn e
est une variable al atoire continue ne pouvant prendre que des valeurs positives.
Les variables al atoires sont not es par des lettres majuscules (X, Y, Z, . . .) pour les distinguer
des variables d terministes (x, y, z, . . .).
Figure 6 Illustration de lapplication X et P.
D nition 1.2. Soit (&, F , P) un espace probabilis associ une exp rience al atoire.
Une variable al atoire X sur (&, F , P) est une application
X : & R,
w (cid:55) X(w),
qui associe un nombre chaque issue w & de lexp rience al atoire et qui v rie pour
chaque B R,
X 1(B) (cid:44)
w & | X(w) B
(cid:110)
(cid:111)
F .
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" Lensemble
a R.
" Lensemble
a R.
" Lensemble
(cid:110)
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D nition 1.3. Soit (&, F , P) un espace probabilis associ une exp rience al atoire.
Lapplication pX
pX : F [0, 1],
B (cid:55) pX (B),
est d nie par
pX (B) (cid:44) P(X 1(B)) = P
(cid:16)(cid:110)
w & | X(w) B
(cid:111)(cid:17)
= P(X B),
pour chaque B F . Cette application est appel e mesure de probabilit image de X ou loi
de probabilit de la variable al toire X.
Quelques notations utiles
(cid:110)
w & | X(w) = a
(cid:111)
est un v nement que lon note par
(cid:110)
X = a
, pour chaque
w & | X(w) (cid:54) a
est un v nement que lon note par
(cid:111)
(cid:110)
X (cid:54) a
, pour chaque
(cid:111)
(cid:111)
(cid:110)
w & | a (cid:54) X(w) (cid:54) b
(cid:111)
est un v nement que lon note par
(cid:110)
a (cid:54) X (cid:54) b
(cid:111)
,
pour chaque a, b R.
Advertisement
" On crit P(X = a) = P
(cid:16)(cid:8)X(w) = a(cid:9)(cid:17)
= P(X 1(a)).
Fonction de r partition
Soit X une variable al atoire. La fonction de r partition de X est une fonction positive d nie,
pour toute valeur x de X, par
FX (x) = pX
(cid:0)] , x](cid:1) = P
(cid:32)(cid:26)
w & | X(w) (cid:54) x
(cid:27)(cid:33)
(cid:44) P(X (cid:54) x),
x R.
Elle satisfait les propri t s suivantes :
" FX est une fonction non-d croissante,
" FX est continue droite en chacun de ses points de discontinuit .
" 0 (cid:54) FX (x) (cid:54) 1,
" FX () = limx FX (x) = 0, FX (+) = limx + FX (x) = 1.
Remarque 1.3. Tous les calculs de probabilit concernant X peuvent tre fait en utilisant la
fonction de r partition. Par exemple :
" P(a < X (cid:54) b) = P(a (cid:54) X < b) = P(a (cid:54) X (cid:54) b) = FX (b) FX (a).
D monstration.
{X (cid:54) b} = {X (cid:54) a} + {a < X (cid:54) b} alors
P({X (cid:54) b}) = P({X (cid:54) a}) + P({a < X (cid:54) b}) P(a < X (cid:54) b) = FX (b) FX (a).
" P(X < b) = FX (b) = lim
n +
FX (b
1
n
).
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D monstration.
P(X < b) = P
(cid:91)
n(cid:62)1
(cid:32)
(cid:32)
(cid:110)
X (cid:54) b
(cid:33)
(cid:111)
1
n
= P
lim
n +
(cid:110)
X (cid:54) b
(cid:32)
(cid:110)
X (cid:54) b
= lim
n +
P
(cid:33)
(cid:111)
1
n
(cid:33)
(cid:111)
1
n
= lim
n +
FX
(cid:18)
b
(cid:19)
.
1
n
(cid:73) Exercice :
Nous consid rons la fonction de r partition suivante :
FX (x) =
0,
x/2,
2/3,
11/12,
1,
si x < 0,
si
si
si
si
0 (cid:54) x < 1,
1 (cid:54) x < 2,
2 (cid:54) x < 3,
3 (cid:54) x.
a) Calculer P(X < 3).
b) Calculer P(X = 1).
c) Calculer P(X > 1/2).
Solution.
(a) P(X < 3) = lim
n +
FX (3
1
n
) = FX (3) =
11
12
.
(b) P(X < 1) = P(X (cid:54) 1) P(X = 1).
lim
n +
FX
(cid:16)
1
(cid:17)
1
n
= FX (1) P(X = 1)
1
2
=
P(X = 1) =
2
3
2
3
P(X = 1)
1
2
=
1
6
.
(c)
P (cid:0)X >
1
2
(cid:1) = 1 P (cid:0)X (cid:54) 1
2
(cid:1) = 1
= 1 FX
(cid:1)
(cid:0) 1
2
1
4
=
3
4
.
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Yousri HENCHIRI
Universit De La Manouba
Distribution et densit de probabilit
(cid:230) La fonction de masse ou la distribution de probabilit dune variable al atoire discr te :
Soit X une variable al atoire discr te dont les valeurs sont x1, x2, . . . , xn. On pose
pX (xi) = P(X = xi),
i = 1, 2, . . . , n,
et on appelle distribution de probabilit , ou fonction de masse de X, ou loi de probabilit de
X, lensemble des couples (xi, pX (xi)), o les pX (xi) v riant
(cid:17) pX (xi) (cid:62) 0.
(cid:17)
+
(cid:88)
i=1
pX (xi) = 1.
Dans ce cas discret, la fonction de r partition FX est d nie par
FX (x) = P(X (cid:54) x) =
(cid:88)
xi(cid:54)x
pX (xi) (cid:44) (cid:88)
xi(cid:54)x
P(X = xi).
Cette fonction est constante par intervalles (ou en escalier).
Figure 7 Illustration de la fonction de r partition dune variable al atoire discr te.
(cid:73) Exercice :
Une urne contient 20 boules num rot es de 1 20. On pige 5 boules au hasard, sans
remise. Calculer la probabilit quau moins une boule soit sup rieure 14.
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-2-10120.00.20.40.60.81.0ecdf(x)xFn(x)Yousri HENCHIRI
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Solution. Posons X : max des boules tir es. On cherche
P(X (cid:62) 15) = 1 P(X < 15) = 1 P(X (cid:54) 14) = 1
(cid:1)
(cid:0)14
5
(cid:1) .
(cid:0)20
5
(cid:230) Densit de probabilit
Figure 8 Illustration de la densit dune variable al atoire continue.
Pour une variable al atoire continue, la probabilit dapparition de l v nement X = x1 est
nulle, autrement dit, P(X = x1) = 0, car il est impossible de tomber exactement sur cette
valeur. La fonction masse pX (x) na donc aucun sens pour les variables continues. Il faut donc
consid rer la probabilit que X soit compris dans un intervalle, P(x1 (cid:54) X (cid:54) x2). Lorsque
cet intervalle tend vers 0, la valeur de dFX (x)
tend vers une fonction que lon appelle fonction
densit de probabilit . Cette fonction est donc la d riv e de la fonction de r partition. Elle
s crit :
dx
dFX (x)
dx
= F (cid:48)
X (x) = fX (x).
La densit joue la m me r le qui la joue la fonction de masse dans le cadre discret. Pour
r sumer, une densit de probabilit est une fonction qui v rie :
(cid:17) x,
(cid:17) (cid:82)
fX (x) (cid:62) 0,
R fX (t) dt = (cid:82) +
fX (t) dt = 1.
Dans ce cas continu, la fonction de r partition FX est donn e par
FX (x) = P(X (cid:54) x) = pX (] , x]) (cid:44)
(cid:90) x
f (t) dt.
Les moments dune variable al atoire
La loi de probabilit dune variable al atoire peut tre consid r e comme lanalogue sur le plan
th orique de la distribution dun caract re sur le plan exp rimental. En cons quence, certaines
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468101214160.000.050.100.150.20xf(x)Yousri HENCHIRI
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Figure 9 Illustration de la fonction de r partition dune variable al atoire continue.
grandeurs associ es la distribution dun caract re poss dent leurs analogues pour une loi de
probabilit . Nous consid rons successivement le cas des variables discr tes et celui des variables
continues.
(cid:17) Variable al atoire discr te
Soit X une variable al atoire discr te pouvant prendre les valeurs xi avec les probabili-
t s pX (xi), i = 1, . . . , n, on appelle esp rance math matique de la variable al atoire X le
nombre :
m1 (cid:44) E(X) =
xipX (xi).
n
(cid:88)
(cid:16)
X E(X)
(cid:17)
La variable
nulle, cest dire
i=1
est appel e variable centr e. Son esp rance math matique est
Advertisement
E(X E(X)) = 0.
Nous appelons moment dordre k de la loi de probabilit de X (ou esp rance math ma-
tiques de X k), le nombre
mk (cid:44) E(X k) =
n
(cid:88)
i=1
xk
i pX (xi).
Nous pouvons aussi consid rer le moment centr dordre k, cest dire :
E((X E(X))k) =
n
(cid:88)
(xi m)kpX (xi).
i=1
La variance de la variable X, est le moment centr dordre 2 de X, est donn e par
V ar(X) = E((X m)2) =
n
(cid:88)
i=1
(xi m)2pX (xi) =
n
(cid:88)
i=1
x2
i pX (xi)
(cid:16) n
(cid:88)
i=1
(cid:17)2
xipX (xi)
.
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468101214160.00.20.40.60.81.0xF(x)Yousri HENCHIRI
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(cid:73) Exercice :
Soit X une variable al atoire qui prend les valeurs 1, 2, . . . , n, avec
pX (xi) = 1/n,
i = 1, . . . , n.
Calculer E(X) et V ar(X).
Solution.
E(X) = (1/n)(1 + 2 + . . . + n) =
n(n + 1)/2
n
=
n + 1
2
.
E(X 2) =
2n2 + 6n 1
6
.
V ar(X) = E(X 2)
(cid:16)
(cid:17)2
E(X)
=
n2 1
12
.
(cid:17) Variable al atoire continue
Nous supposons que la loi de probabilit dune variable al atoire X est d nie au moyen
dune densit fX (x). Les d nitions et les r sultats qui pr c dent se transposent facilement,
le symbole de sommation (cid:80) tant remplac par le symbole dint gration (cid:82) +
. Ainsi, nous
avons :
et le moment dordre k est :
E(X) (cid:44)
E(X k) (cid:44)
(cid:90) +
(cid:90) +
xfX (x) dx,
xkfX (x) dx.
(cid:73) Exercice :
Soit la densit de probabilit de X suivante :
fX (x) =
(cid:40) 1
ba ,
0,
si
sinon.
a (cid:54) x (cid:54) b,
D terminer lesp rance math matique de X et son moment centr dordre 2.
Solution.
E(X) =
(cid:90) +
xfX (x) dx =
(cid:90) b
a
x
b a
dx =
1
b a
x2
2
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
b
a
=
a + b
2
.
E(X 2) =
(cid:90) +
x2fX (x) dx =
(cid:90) b
a
x2
b a
dx =
b3 a3
3(b a)
.
V ar(X) = E(X 2)
(cid:16)
E(X)
(cid:17)2
=
(b a)2
12
.
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Exemples
(cid:73) Exercice :
Une urne contient 11 boules, dont 3 blanches, 3 rouges et 5 bleues. Vous pigez 3 boules
sans remise. Vous gagnez 1$ pour chaque boule rouge choisie et vous perdez 1$ pour chaque
boule blanche choisir. Combien esp rez-vous gagner dargent ce jeu ?
Solution.
Nous posons X : "montant gagn ". La fonction de masse de X est
pX (3) = pX (3) =
pX (2) = pX (2) =
pX (1) = pX (1) =
pX (0) =
(cid:1) .
1
(cid:0)11
3
2.5
(cid:1) .
(cid:0)11
3
3.3 + 3.(cid:0)5
(cid:1)
2
(cid:0)11
(cid:1)
3
(cid:1) + 5.3.3
(cid:1)
(cid:0)11
3
(cid:0)5
3
.
.
Le montant que lon peut esp rer gagner est la moyenne des valeurs de X pond r e par la fonction
de E(X) =
3
(cid:88)
xpX (x) = 0, par sym trie de la fonction de masse autour de 0, et donc le jeu est
x=3
parfaitement quitable ici.
(cid:73) Exercice :
Soit la densit de probabilit
fX (x) =
(cid:26) c x,
0,
si
sinon.
0 (cid:54) x (cid:54) 4,
(a) D terminer c.
(b) D terminer P(1 (cid:54) X (cid:54) 2).
(c) D terminer E(X) et V ar(X).
Solution.
(a) fX est une densit de probabilit alors
(cid:90) +
fX (x) dx = 1
(cid:90) 4
0
(cid:90) 4
fX (x) dx = 1
c x dx = 1
0
(cid:90) 4
x dx = 1
c
c
0
x2
2
donc
c =
4
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
0
1
8
= 1.
.
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(b) P(1 (cid:54) X (cid:54) 2) = (cid:82) 2
(c) E(X) = (cid:82) +
xfX (x) dx = 1
E(X 2) = (cid:82) 4
x3
8 dx = 1
0
V ar(X) = E(X 2) (cid:0) E(X)(cid:1)2
(cid:12)
4
(cid:12)
(cid:12)
0
x4
4
8
= 8.
1 f (x) dx = 3
16 .
(cid:82) 4
0 x2 dx = 8
3 .
8
= 8 (cid:0) 8
3
(cid:1)2
= 8
Advertisement
9 .
(cid:73) Exercice :
Nous supposons X admet une densit de probabilit
fX (x) =
(cid:26) 3 x2,
0,
si
sinon.
0 (cid:54) x (cid:54) 1,
Calculer la densit de fY (y) o Y = 1 X 4.
Solution.
On a
FY (y) = P(Y (cid:54) y) = P(1 X 4 (cid:54) y)
= P(1 y (cid:54) X 4)
= P((1 y)1/4 (cid:54) X)
(cid:90) 1
=
3x2 dx
= 3
Alors
(1y)1/4
x3
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
3
1
(1y)1/4
= x3(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
1
(1y)1/4
= 1 (1 y)1/4,
avec
y (0, 1).
fY (y) =
dFY (y)
dy
=
3
4
1
(1 y)1/4
1(y (0, 1)) =
3
4
1
(1 y)1/4
1(0,1)(y).
(cid:73) Exercice :
Soit X une variable al atoire continue, caract ris e par la fonction de r partition FX et la
densit fX . Trouver la densit de la variable al atoire Y, avec Y = 2X.
Solution.
On a
Alors
FY (y) = P(Y (cid:54) y) = P(2X (cid:54) y) = P(X (cid:54) y/2) = FX (y/2).
fY (y) =
dFY (y)
dy
=
dFX (y/2)
dy
=
1
2
fX (y/2).
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(cid:73) Exercice :
Soit la densit de probabilit de X est donn e par
fX (x) =
(cid:26) 1,
0,
si
sinon.
0 (cid:54) x (cid:54) 1,
Trouver E(exp(X)).
Solution.
Soit Y = exp(X). x (0, 1) et y (1, e).
FY (y) = P(Y (cid:54) y) = P(exp(X) (cid:54) y)
= P(X (cid:54) log(y)) = FX (log(y))
(cid:90) log(y)
=
fX (x) dx
0
(cid:12)
log(y)
(cid:12)
(cid:12)
0
= x
= log(y) avec
y (1, e).
Donc la densit de la variable Y est donn e par :
fY (y) =
dFY (y)
dy
=
1
y
1(y (1, e)) =
1
y
1(1,e)(y).
Alors,
E(exp(X)) = E(Y ) =
(cid:90) +
yfY (y) dy
=
(cid:90) e
1
1 dy = y
(cid:12)
e
(cid:12)
(cid:12)
1
= e 1.
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2 Lois associ es aux variables de comptage (Lois discr tes)
Dans ce chapitre nous passons en revue certaines lois discr tes connues.
2.1 Loi uniforme discr te
Une variable al atoire X suit une loi uniforme discr te si elle prend ses valeurs dans lensemble
{1, . . . , n} et que la loi de probabilit (la fonction de masse) de X est donn e
pX (k) = P(X = k) (cid:44) 1
n
,
k = 1, . . . , n.
Les v nements {X = k} sont donc tous quiprobables sur lensemble & = {1, . . . , n} et on a
X(&) =
d signe lensemble des entiers naturels de 1 n).
1, n
(cid:75)
(cid:74)
(
(cid:74)
1, n
(cid:75)
Proposition 2.1. Si X suit une loi uniforme sur lensemble {1, . . . , n} alors
E(X) = (n + 1)/2, E(X 2) = ((2n + 1)(n + 1))/6
et V ar(X) = (n2 1)/12.
D monstration. Laiss e en exercice.
Proposition 2.2. Si X suit une loi uniforme sur lensemble {1, . . . , n} alors sa fonction
de r partition, FX , est donn e par
FX (k) (cid:44) k
n
1(k
) =
1, n
(cid:75)
(cid:74)
k
n
1(1(cid:54)k<n) + 1(k(cid:62)n) =
0,
k
n ,
1,
si
(cid:98)k(cid:99) < 1,
si 1 (cid:54) (cid:98)k(cid:99) < n,
si n (cid:54) (cid:98)k(cid:99).
D monstration. Laiss e en exercice.
Figure 10 La fonction de masse pour la loi uniforme : U{1,...,4} et U{1,...,6}.
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1.02.03.04.0kP(X=k)=0.25123456kP(X=k)=0.1666667Yousri HENCHIRI
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Figure 11 La fonction de masse et la fonction de r partition pour la loi uniforme U{1,...,8}.
(cid:73) Exercice :
Soit la variable al atoire X le nombre indiqu sur un jeu de d roul . Calculer E(X), E(X 2)
et V ar(X).
Solution.
E(X) = 21
6 = 7
2 , E(X 2) = 91
6
et V ar(X) = 91
6 ( 7
1 )2 = 35
12 .
2.2 Loi Bernoulli
On consid re une seule preuve donnant lieu un succ s avec probabilit gale p (pour un
certain 0 (cid:54) p (cid:54) 1). Posons X la variable al atoire binaire qui prend la valeur 1 si lissue de
lexp rience est un succ s et 0 sinon. Dans ce cas, on crit X < Ber(1, p) ou X < Ber(p). La
fonction de masse (La loi de probabilit ) de X est donn e par
pX (k) = P(X = k) =
(cid:26)
p, si k = 1,
1 p, si k = 0.
ou
pX (k) = P(X = k) (cid:44)
(cid:19)
(cid:18)1
k
pkq1k, p + q = 1, k = 0, 1,
avec (cid:0)1
k
(cid:1) =
1!
k!(1k)! et X(&) = {0, 1}.
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12345678kP(X=k)=0.125024680.00.20.40.60.81.0kP(Xdk)Yousri HENCHIRI
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Figure 12 La fonction de masse pour la loi Bernoulli : Ber(1, 0.2), Ber(1, 0.5) et Ber(1, 0.8).
Proposition 2.3. Si X suit une loi de Bernoulli de param tre p alors sa fonction de
r partition, FX , est donn e par
FX (k) (cid:44) (1 p)1(0(cid:54)k<1) + 1(k(cid:62)1) =
si
0,
1 p si
si
1,
(cid:98)k(cid:99) < 0
0 (cid:54) (cid:98)k(cid:99) < 1
1 (cid:54) (cid:98)k(cid:99).
D monstration. Laiss e en exercice.
Proposition 2.4. Si X suit une loi de Bernoulli de param tre p alors
E(X) = p, E(X 2) = p
et V ar(X) = E(X 2) (E(X))2 = p(1 p).
D monstration. Laiss e en exercice.
Remarque 2.1. Lorsque X = 1 et X = +1 avec P(X = 1) = p et P(X = 1) = 1 p, on parle
de loi de Rademacher de param tre p, not X < R(p).
(cid:73) Exercice :
On lance un d une fois. La variable X est le nombre de 6 obtenu. Alors
X < Ber(1, 1/6).
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0.00.20.40.60.81.00.20.30.40.50.60.70.8kP(X=k)0.00.20.40.60.81.00.30.40.50.60.7kP(X=k)0.00.20.40.60.81.00.20.30.40.50.60.70.8kP(X=k)Yousri HENCHIRI
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2.3 Loi binomiale
Advertisement
On consid ...