Universit´e Paris 7 - Master 1 Informatique - Intelligence Artificielle
Partiel du 18 novembre 2004 - Dur´ee : 1 heure et demie
Informations : Tous les documents reli´es sont autoris´es. Le bareme est donn´e a titre indicatif et peut ˆetre modifi´e.
Exercice 1 Algorithmes de recherche (8 points)
Consid´erez la carte suivante. Le but est de trouver le chemin le plus court de A vers I.
A
5
5
D
6
2
E
C
3
H
4
3
F
2
G
3
3
3
4
I
5
B
5
Le coˆut de chaque connexion est indiqu´e. Deux heuristiques h1 et h2 sont donn´ees comme suit :
Noeud
h1
h2
h∗
h3
A B C D E
10
5
10
9
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8
10
10
7
12
10
8
10
10
11
12
11
5
2
5
5
F G H I
0
3
0
6
0
6
0
6
3
4
4
4
3
3
3
3
1. Est-ce que h1 et h2 sont admissibles ? Justifiez.
On calcule d’abord h∗, le vrai cˆout (donn´e dans le tableau). On v´erifie qu’on a toujours h1(n) ≤
h∗(n) pour tout n mais h2(C) > h∗(C), donc h1 admissible mais pas h2
2. Est-ce que h1 domine h2 ou h2 domine h1 ? Justifiez.
Ni l’un ni l’autre. D’apr`es le cours, on ne peut parler de domination que si les deux heuristiques
sont adminissibles. Ou alors, on a h1(B) > h2(B) et h2(C) > h1(C).
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3. Est-ce que h3 = max(h1, h2) est admissible ?
Non. h3(C) > h∗(C)
4. Appliquez la recherche gloutonne en utilisant h2.
On peut donner un arbre ou la liste des noeuds. Ici:
(A,10)
(C,8)(D,11)
(B,2)(H,4)(F,6)(A,10)(D,11)
(I,0)(G,3)(H,4)(F,6)(E,9)(A,10)(D,11)
Et on s’arrˆete avec I et le chemin A,C,B,I
5. Appliquez la recherche A∗ en utilisant h1. Donnez la suite des noeuds d´evelopp´es.
On indique pour chaque noeud sa valeur f = g + h:
(A,10=0+10)
(C,10=5+5)(D,15=5+10)
(F,10=5+2+3)(H,11=5+3+3)(B,13=5+3+5)(D,15)(A,20=5+5+10)(D,21=5+6+10)
(H,11)(G,13=5+2+3+3)(B,13)(C,14=5+2+2+5)(B,15=5+2+3+5)(D,15)(A,20)(D,21)
(I,12=5+3+4)(G,13)(B,13)(C,14)(B,15)(D,15)(C,16=5+3+3+5)(A,20)(D,21)
Et on s’arrˆete avec I et le chemin A,C,H,I.
1
6. Appliquez la recherche A∗ en utilisant h2. Donnez la suite des noeuds d´evelopp´es.
On pourrait dire qu’on ne peut pas faire A∗ puisque h2 n’est pas admissible (car A∗ est d´efinie
avec des heuristiques adminissible), ou alors on donne:
(A,10=0+10)
(C,13=5+8)(D,16=5+11)
(B,10=5+3+2)(H,12=5+3+4),(F,13=5+2+6)(D,16)(A,20=5+5+10)(D,22=5+6+11)
(H,12),(I,13=5+3+5+0)(F,13)(G,15=5+3+4+3)(D,16)(F,17=5+3+3+6)(C,19=5+3+3+8)(A,20)(E,22=5+3+5+9)(D,22)
(I,12=5+3+4),(I,13)(F,13)(G,15)(C,16=5+3+3+5)(D,16)(F,17)(C,19)(A,20)(E,22)(D,22)
Et on s’arrˆete avec I et le chemin A,C,H,I.
7. Appliquez la recherche A∗ en utilisant h3. Donnez la suite des noeuds d´evelopp´es.
On pourrait dire qu’on ne peut pas faire A∗ puisque h3 n’est pas admissible (car A∗ est d´efinie
avec des heuristiques adminissible), ou alors on donne:
(A,10=0+10)
(C,13=5+8)(D,16=5+11)
(H,12=5+3+4)(F,13=5+2+6)(B,13=5+3+5)(D,16)(A,20=5+5+10)(D,21=5+6+10)
(I,12=5+3+4+0)(F,13)(B,13)(D,16)(C,19=5+3+3+8)(A,20)(D,21)
Et on s’arrˆete avec I et le chemin A,C,H,I.
8. Montrez que pour deux heuristiques admissibles h1 et h2, h3 = max(h1, h2) est admissible.
h1 et h2 admissible implique pour tout noeud n h1(n) ≤ h∗(n) et h2(n) ≤ h∗(n). Donc pour tout
noeud n on a max(h1(n), h2(n)) ≤ h∗(n) donc max(h1, h2) est admissible.
9. Si vous avez le choix entre trois heuristiques admissibles h1, h2 et h3 = max(h1, h2) laquelle choisissez-vous ?
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Justifiez bri`evement.
h3 puisque elle estime le mieux la vraie distance h∗.
Exercice 2 Jeux (7 points)
1. Consid´erez l’arbre de jeux suivant :
MAX
A
MIN
B
E
H
MAX
C D
F
G
I
a b c d e f g h i j k l m n o p q
Donnez des valeurs aux feuilles a jusqu’`a q de sorte que l’algorithme α-β coupe exactement les branches in-
diqu´ees. Appliquez l’algorithme sur l’arbre avec vos valeurs.
Par exemple: a 5, b 2, c 6, e 7, f 1, g 1, h 8, j 1, k 1, l 1
Les autres feuilles peuvent avoir n’importe quelle valeur: D´eroulement de l’algorithme: On
commence avec A et (α, β) = (−∞, ∞). Ensuite B(−∞, ∞), C(−∞, ∞),C(5, ∞),B(−∞, 5),D(−∞, 5),
D(6, 5), on coupe, B(−∞, 5), A(5, ∞),E(5, ∞), F (5, ∞), F (7, ∞), E(5, 7), G(5, 7), G(8, 7), on coupe ,
E(5, 7),A(5, ∞),H(5, ∞),I(5, ∞),H(5, 5),on coupe...
2
2. Consid´erez l’arbre de jeux suivant :
MAX
MIN
MAX
3 7 10 10 5 15 11 13 15 3 7 15 9 3 7 9 15
• Appliquez l’algorithme α-β sur cet arbre en commen¸cant avec les valeurs α = 9 et β = 14.
alpha-beta coupe les deux 10, le 11, et le troisi`eme fils de la racine ! R´esultat: 14
• Appliquez l’algorithme α-β sur cet arbre en commen¸cant avec les valeurs α = 16 et β = 21.
alpha-beta coupe le deuxieme fils de chaque noeud min, et le troisieme le cas ´echeant.
R´esultat: 16
• Les r´esultats obtenus ont quelles significations ?
Pr´emier r´esultat: la vrai valeur est ≥ 14. Deuxi`eme r´esultat: la vrai valeur est ≤ 16.
• Sous quelle condition le r´esultat de l’algorithme α-β avec des valeurs initiales α = a et β = b donne le mˆeme
r´esultat qu’avec les valeurs initiales α = −∞ et β = ∞ ?
condition: a ≤ le vrai r´esultat ≤ b
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3. Pourquoi les algorithmes pour les jeux recherchent toujours `a partir de la position courante en avant plutˆot que
de rechercher en arriere a partir du but ?
Plusieurs r´eponses possibles: Il y a plusieurs buts. Comment d´efinir max et min ? , etc.
Exercice 3 Jeux (5 points)
Soit un arbre de jeux complet de profondeur p avec facteur de branchement b1 (chaque noeud a b1 fils) pour les
noeuds MAX et facteur de branchement b2 (chaque noeuds a b2 fils) pour les noeuds MIN. La racine est un noeud
MAX.
• Donnez le nombre exactes de feuilles dans l’arbre
– pour une profondeur p impaire
b(p+1)/2
1
b(p−1)/2
– pour une profondeur p pair
2
bp/2
1
bp/2
2
• Donnez le nombre minimum exacte de feuilles qui sont ´evalu´ees (c.-`a-d. pour lesquelles la fonction e(x) est
appliqu´ee) dans l’algorithme SSS∗
– pour une profondeur p impaire
2 − 1: La premi`ere passe de l’algorithme va ´evaluer bp/2
1
noeuds. Ensuite, pour confirmer le r´esultat
1 + bp/2
bp/2
on doit ´evaluer encore bp/2
– pour une profondeur p pair
+ b(p−1)/2
b(p+1)/2
1
− 1
2
2 − 1 noeuds.
Justifiez vos r´eponses.
3