Ondes électromagnétiques dans le
vide (MP)
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Chapitre 1
Ondes électromagnétiques dans le vide
I – Les équations de propagations du champ EM dans le vide :
Soit une distribution (D) de charges localisées autour d’un point O, dont les densités
sont fonction du temps (exemple : une antenne métallique).
Selon les équations de Maxwell-Gauss et de Maxwell-Ampère, cette distribution (D)
r
est la source de champs E
variables dans le temps qui vont s’établir dans tout le
voisinage de O.
r
et B
2
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Un point M de ce voisinage, bien que situé en dehors de (D), est lui-même source de
r
champs en raison des termes en
« provenant de O » qui jouent un rôle
tE ∂
∂ /
de sources dans les équations de Maxwell-Faraday et de Maxwell-Ampère.
r
tB ∂
∂ /
et
Les points P du voisinage de M sont à leur tour dans leur propre voisinage des sources
de champs variables dans le temps …
On conçoit ainsi que le champ EM se propage en faisant penser à des rides se
transmettant de proche en proche à la surface de l’eau.
« Le couplage qui est introduit dans les équations de Maxwell par la présence des deux
r
tB ∂
∂ /
dérivées partielles par rapport au temps
est à l’origine du phénomène
de propagation du champ EM. »
r
tE ∂
∂ /
et
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Obtention des équations de propagation du champ EM :
On calcule le rotationnel de l’équation de Maxwell-Faraday :
r
Erot
(
)
rot
−=
r
)Brot
(
∂
t
∂
Or :
r
Erot
(
)
rot
r
Ediv
=
ρ
ε
0
r
Brot
=
et
Avec
r
j
µεµ
+
0
0
0
r
(
Ediv
)
r
E
∆−
grad
, il vient :
=
r
E
∂
t
∂
r
j
+
µεµ
0
0
0
r
E
∂
t
∂
Soit, finalement :
grad
ρ
ε
0
r
E
∆−
−=
∂
t
∂
5
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r
E
−∆
µε
0
0
2
∂
t
∂
r
E
2
=
1
ε
0
grad
+
µρ
0
r
j
∂
t
∂
De manière symétrique, on élimine E au profit de B en calculant le rotationnel de
MA :
r
Brot
(
)
rot
=
grad
r
(
Bdiv
)
r
B
=∆−
µ
0
rot
r
j
+
µε
0
0
r
)Erot
(
∂
t
∂
Soit :
Finalement :
grad
( )
0
r
B
=∆−
r
j
+
µε
0
0
µ
0
rot
∂
t
∂
−
r
B
∂
t
∂
r
B
−∆
µε
0
0
r
B
2
2
∂
t
∂
−=
µ
0
rot
r
j
Dans une région sans charges ni courants (
r
jet
r
0
=
ρ
=
0
) :
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r
E
−∆
µε
0
0
2
∂
t
∂
r
0
=
et
r
B
−∆
µε
0
0
2
∂
t
∂
r
E
2
r
B
2
r
0
=
Ces équations sont les équations de propagation du champ EM.
Si l’on note s(t) l’une des six coordonnées des champ EM (Ex,…., Bx,…), alors :
s
−∆
µε
0
0
2
∂
t
∂
s
2
=
0
soit
s
−∆
1
2
v
2
∂
t
∂
s
2
=
0
(
1
2
v
=
µε
0
0
)
C’est l’équation de d’Alembert (équation classique de propagation des ondes, encore
appelée équation des cordes vibrantes) établie au XVIIIème siècle pour modéliser les
vibrations d’une corde tendue. Comme le montre le paragraphe suivant, les solutions
de cette équation traduisent un phénomène de propagation de célérité v.
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- Solutions de l’équation de d’Alembert :
On va donner les formes générales des solutions de l’équation de d’Alembert
unidimensionnelle :
2
∂
x
∂
s
2
−
1
2
v
2
∂
t
∂
s
2
=
0
On montre que ces solutions sont de la forme :
s
=
qf
)(
+
pg
(
)
=
f
t
(
−
x
v
)
+
tg
(
+
x
v
)
Interprétation physique : on considère une fonction de la forme :
On constate que :
s
+
tx
),(
=
f
t
(
−
x
v
)
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f
t
(
−
x
v
)
=
f
t
(
t
−∆+
x
x
∆+
v
)
pour tout couple ∆x et ∆t vérifiant :
tv
∆=∆
x
.
Ainsi, s+(x,t) représente un signal qui se propage sans déformation à la vitesse v le long
de l’axe (Ox) dans le sens positif.
s
+
tx
),(
=
f
t
(
−
x
v
)
tv
∆=∆
x
O
Instant
t
Instant
t+∆∆∆∆t
x
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s
tx
),(
=
f
(
t
+
La solution
la vitesse v le long de l’axe (Ox) dans le sens négatif.
−
x
v
)
représente un signal qui se propage sans déformation à
On se propose maintenant de résoudre l’équation de d’Alembert tridimensionnelle :
s
−∆
1
Advertisement
2
v
2
∂
t
∂
s
2
=
0
r
trs
),(
avec
=
tzyxs
,(
,
),
On vérifie que des fonctions de la forme :
s
x
,
±
tzyx
,(
,
),
=
tf
(
m
x
v
)
;
s
y
,
±
tzyx
,
,(
),
=
tf
(
m
y
v
)
;
s
z
,
±
tzyx
,(
,
),
=
tf
(
m
z
v
)
sont solution de l’équation tridimensionnelle (ces solutions sont appelées ondes planes
r
u
,
de directions de propagations respectives
, dans le sens positif ou négatif).
r
uet
r
u
y
x
z
11
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l’équation de d’Alembert
Des ondes sphériques sont également solution de
tridimensionnelle : on cherche, par exemple, des solutions à symétrie sphérique s(r,t).
En utilisant la forme du laplacien en coordonnées sphériques, il vient :
1
r
2
∂
2
r
∂
(
rs
)
−
1
2
v
Soit encore :
2
∂
t
∂
s
2
=
0
2
∂
2
r
∂
(
rs
)
−
1
2
v
2
∂
2
t
∂
(
rs
)
=
0
On constate alors que la fonction rs(r,t) est solution de l’équation unidimensionnelle
de d’Alembert. Par conséquent :
Soit :
rs
tr
),(
=
f
(
t
−
r
v
)
+
tg
(
+
r
v
)
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trs
),(
=
1
r
f
(
t
−
r
v
)
+
1
r
tg
(
+
r
v
)
Les deux termes de cette somme représentent des ondes sphériques respectivement
divergente et convergente.
On constate que le signal ne se propage pas sans déformation en raison de
l’affaiblissement exprimé par le facteur 1 / r.
On choisit, dans la suite :
Pour une onde plane s(z,t), l’équation de d’Alembert devient :
2
∂
z
∂
s
2
−
µε
0
0
2
∂
t
∂
s
2
=
0
ou
2
∂
z
∂
s
2
−
1
2
c
2
∂
t
∂
s
2
=
0
Cette fonction s(z,t) peut s’écrire sous la forme :
tzs
),(
=
f
+
tg
+
z
c
t
−
z
c
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Compléments (Ondes stationnaires) :
On cherche des solutions de l’équation de d’Alembert de la forme (méthode de
séparation des variables) :
txs
),(
=
tgxf
)(
)(
En substituant dans l’équation de d’Alembert :
2
∂
x
∂
s
2
−
1
2
c
2
∂
t
∂
s
2
=
0
Il vient :
D’où :
f
tgx
)()("
−
1
2
c
&&
tgxf
)()(
=
0
1
xf
)(
f
x
)("
=
1
2
c
&&
tg
)(
tg
)(
14
=
cste
=
K
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On obtient ainsi deux équations différentielles :
1
xf
)(
f
x
)("
=
K
et
1
2
c
&&
tg
)(
tg
)(
=
K
Ou encore :
f
x
)("
−
xKf
)(
=
0
et
&&
tg
)(
−
c
2
tKg
)(
=
0
Si K > 0, la solution de la deuxième équation différentielle est de la forme :
tg
=)(
Ae
tKc
−
tKc
+
Be
Cette solution est à rejeter : en effet, elle correspond soit à une solution divergente soit
à une solution transitoire.
Dans la suite, on suppose K < 0 ; alors, en posant
− Kc
2 ω=
2
:
tg
)(
=
A
cos(
t
)
ϕω −
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La 1ère équation donne alors :
f
x
)("
+
2
ω
2
c
xf
)(
=
0
soit
xf
)(
=
B
cos
ω
c
x
ψ
−
La solution globale de l’équation de d’Alembert est alors :
txs
),(
=
C
cos
ω
c
x
−
ψ
cos
)ϕω
(
t
−
On pose dans la suite
k
=
ω
c
, alors :
txs
),(
=
C
(
kx
cos
16
)ϕωψ
(
cos
−
−
)
t
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Ce type de solutions, appelé onde plane stationnaire est très différent d’une onde plane
progressive : les dépendances spatiale et temporelle interviennent séparément ; la
dépendance spatiale intervient dans l’amplitude de l’oscillation temporelle et non plus
dans la phase, de telle sorte que tous les points de la corde vibrent en phase ou en
opposition de phase.
L’allure de la corde à différents instants est représentée sur la figure suivante. Certains
points de la corde sont fixes et sont appelés nœuds de vibrations ; d’autres ont une
amplitude de vibration maximale et sont appelés ventres de vibrations.
s(x,t)
x
Les courbes en gras correspondent aux instants où la vibration est
extrémale ; la courbe en pointillés correspond à un instant quelconque.
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Position des nœuds :
Elle s’obtient en écrivant que :
cos
(
kx
)
−
ψ
=
0
soit
Advertisement
kx
n
−
ψ
=
2(
n
+
)1
π
2
Soit, avec
=k
π2
λ
:
xn
=
1
2
n
+
4
λ+
ψ
k
λ
La distance entre deux nœuds successifs est égale à : 2
.
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Position des ventres :
Elle s’obtient en écrivant que :
)
ψ
−
(
kx
cos
Soit :
1
±=
soit
kx
v
πψ
−
=
n
xv
=
n
2
λ+
ψ
k
λ
La distance entre deux ventres successifs est égale à : 2
.
λ
La distance entre un nœud et un ventre successif est égale à : 4
.
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II – Ondes planes EM dans le vide :
1 – Ondes planes électromagnétiques :
Une onde plane EM de direction de propagation
r
r
dans laquelle les coordonnées des champs E
et B
r
zu
sont des fonctions de la forme :
est une structure du champ EM
tzs
),(
=
f
t
−
z
c
Toute coordonnée du champ a, à un instant donné, même valeur en tout point d’un
plan z = cste. Un tel plan, orthogonal à la direction de propagation
plan d’onde.
r
zu
, est appelé
Une source (par exemple, une station radiophonique) émet a priori des ondes
sphériques ; cependant, à grande distance de celle-ci, l’onde reçue pourra être
localement assimilée à une onde plane progressive
20
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2 – Caractère transverse d’une onde plane dans le vide :
1ère démonstration :
On s’intéresse à une onde plane de la forme :
r
tzyxE
),
,(
,
=
r
tzE
),(
et
r
tzyxB
),
,(
,
r
tzB
),(
=
Les équations de Maxwell donnent :
• Equation de Maxwell – Gauss :
r
Ediv
=
0
soit
• Equation de Maxwell – flux :
r
Bdiv
=
0
soit
21
E
∂
z
z
∂
B
∂
z
z
∂
=
0
)1(
=
0
)2(
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• Equation de Maxwell - Faraday :
r
Erot
−=
r
B
∂
t
∂
soit
• Equation de Maxwell - Ampère :
r
Brot
=
r
E
∂
t
∂
1
2
c
soit
−
+
E
∂
y
z
∂
E
∂
x
z
∂
−=
−=
0
−=
B
∂
x
t
∂
B
∂
y
t
∂
B
∂
z
t
∂
)3(
)4(
)5(
−
+
B
∂
y
z
∂
B
∂
x
z
∂
=
=
1
2
c
1
2
c
0
−=
1
2
c
22
E
∂
t
∂
E
∂
x
y
t
∂
E
∂
t
∂
z
)6(
)7(
)8(
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Les équations (1) et (8) donnent :
par conséquent :
E z
∂
z
∂
0=
et
E z
∂
t
∂
0=
0=zE
(les champs statiques n’interviennent pas ici lors du phénomène de propagation).
De même, les équations (2) et (5) montrent que :
0=zB
Ainsi, les coordonnées du champ EM parallèles à la direction de propagation
nulles : le champ EM est transversal.
r
zu
sont
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r
Relation entre les normes des champs E
r
et B
:
En notant
tzE
),(
x
=
tE
x
−
z
c
tzB
),(
x
=
et
tB
x
−
z
c
, on constate que :
E
∂
x
z
∂
−=
1
c
x
E
∂
t
∂
et
B
∂
x
z
∂
−=
1
c
B
∂
x
t
∂
Il en est de même pour les coordonnées selon (Oy).
Ainsi,
−
+
E
∂
y
z
∂
E
∂
x
z
∂
−=
−=
B
∂
x
t
∂
B
∂
y
t
∂
)3(
)4(
donnent
E
∂
y
z
∂
E
∂
x
z
∂
−=
=
c
24
c
B
∂
x
z
∂
B
∂
y
z
∂
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En intégrant sans tenir compte de coordonnées d’intégration constantes :
Par conséquent :
E
y
−=
cB
x
et
E
x
=
cB
y
r
r
r
ucBE
∧=
z
ou
r
B
=
r
u
z
c
r
E
∧
Finalement, les champ EM d’une onde plane progressive sont orthogonaux à la
rrr
cBE
,
,
r
zuc
=
)
est
direction de propagation et orthogonaux entre eux ; le trièdre (
direct et E = Bc.
25
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___________________________________________________________________________________
r
E
r
zuc
z
Plan d’onde
z=cste
r
E
r
B
r
zuc
r
B
Le champ EM est uniforme dans un plan d’onde.
26
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La force exercée par l’onde EM sur une particule de charge q et de vitesse v
r est :
r
f
r
r
r
fBvqEq
r
=∧
Advertisement
+
=
r
f
m
+
e
Par conséquent, le rapport de la force électrique sur la force magnétique vaut :
f
f
e
m
=
E
vB
=
c
v
Par conséquent, pour une particule non relativiste (v << c), la force magnétique est
négligeable vis-à-vis de la force électrique.
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2ème démonstration :
En notant
tzE
),(
x
=
tE
x
−
z
c
et
tzB
),(
x
=
tB
x
−
z
c
On constate, de manière symbolique, que :
∂
x
∂
=
0
;
∂
y
∂
=
0
;
∂
z
∂
−=
1
∂
tc
∂
Ainsi, l’opérateur gradient (ou le vecteur nabla) peut s’écrire :
r
−=∇=
grad
r
zu
1
∂
tc
∂
Les équations de Maxwell deviennent alors, compte tenu de ce formalisme :
28
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r
r
Eu
.
z
=
0
r
r
Bu
.
z
=
0
−
−
−
−
1
∂
tc
∂
1
∂
tc
∂
1
∂
tc
∂
1
∂
tc
∂
r
u
r
u
z
z
r
E
−=∧
r
B
=∧
r
B
∂
t
∂
r
E
∂
t
∂
1
2
c
soit (avec
r
u z =
cste
)
(
∂
t
∂
∂
t
∂
1
∂
tc
∂
∂
t
∂
−
r
r
Eu
(
.
z
)
=
0
r
r
Bu
).
z
=
0
r
u
z
(
r
E
∧
)
=
r
u
(
∧
z
r
B
)
=
r
B
∂
t
∂
r
E
1
∂
c
t
∂
En annulant les constantes d’intégration, les deux premières équations donnent :
r
r
Eu
.
z
=
0
et
r
r
Bu
.
z
=
0
On retrouve la caractère transversal du champ EM.
29
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___________________________________________________________________________________
Les deux dernières équations donnent, après intégration :
Soit :
r
u
(
∧
z
r
E
)
=
r
B
1
c
r
r
r
ucBE
∧=
z
et
ou
r
u
z
r
B
−=∧
r
E
1
c
r
B
=
r
u
z
c
r
E
∧
On retrouve les mêmes relations que lors de la 1ère démonstration.
r
E
Plan d’onde
z=cste
r
E
r
B
r
zuc
r
B
r
zuc
z
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III – Ondes planes progressives monochromatiques (ou harmoniques) :
1 – Solutions sinusoïdales de l’équation de propagation de d’Alembert :
L’équation de propagation est linéaire ; par conséquent, l’analyse de Fourier permet
d’affirmer que toute solution de cette équation est la somme de fonctions sinusoïdales
du temps.
On se limite ici à des solutions harmoniques de l’équation de d’Alembert, c’est-à-dire
des solutions de la forme :
txs
),(
=
A
cos
(
ω
t
−
z
c
)
Ces solutions correspondent à des ondes planes progressives harmoniques (OPPH).
π2
Ces fonctions, de période temporelle ω
=T
possèdent une période spatiale :
appelée longueur d’onde.
λ
=
cT
2=
π
c
ω
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r
On définit le vecteur d’onde k
r
uk
tel que :
avec
r
k
k
=
=
z
πω 2
=
c
λ
L’OPPH est alors de la forme :
txs
),(
=
A
(
t
cos
ω
−
kz
))
En notation réelle, le champ électrique pourra s’écrire :
r
tzE
),(
=
r
E
0
cos(
t
(
ω
−
r
E
0
))
=
z
c
cos(
t
ω
−
kz
)
Avec :
r
k
r
uk
z
=
=
r
ω
u
c
z
(vecteur d’onde)
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En notation complexe, on notera le champ EM sous la forme :
r
tzE
),(
=
r
ieE
0
t
(
ω
−
kz
)
et
r
tzB
),(
=
r
ieB
0
t
(
ω
−
kz
)
Si la direction de l’onde est quelconque, dans la direction du vecteur unitaire u
r
tzyxE
),
,(
,
où :
r
ieE
0
=
rr
rkt
).
−
(
ω
et
r
k
r
uk
=
r
tzyxB
),
,(
,
r
ieB
0
=
r :
rr
rkt
).
−
(
ω
r
( u
vecteur unitaire donnant le sens de propagation) est le vecteur d’onde et :
Advertisement
r
r =
OM
(O, origine du repère et M le point d’observation).
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L’expression du Laplacien devient :
r
E
=∆
2
∂
x
∂
Par ailleurs :
r
E
2
r
E
2
r
E
2
+
2
∂
y
∂
+
2
∂
y
∂
−=
(
k
2
x
+
k
2
y
+
k
2
z
)
r
E
r
2
Ek
−=
r
E
2
2
∂
t
∂
2
ω−=
r
E
L’équation d’onde de d’Alembert donne alors (relation de dispersion dans le vide) :
r
2
Ek
(
−
)
−
1
2
c
r
E
)
=
0
2
−
ω
(
soit
2
k
=
2
ω
2
c
D’où :
k
=
ω
c
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2 – Structure des ondes planes progressives monochromatiques :
Compte tenu du choix de la notation complexe, les opérateurs vectoriels se simplifient.
En effet, en remarquant que :
r
E
∂
t
∂
r
E
=
i
( ω
)
;
r
E
∂
x
∂
r
Eik
x
−=
En effet :
r
r
EE
=
Il vient :
i
exp(
t
(
ω
−
0
rr
uk
.
))
=
r
E
0
i
exp(
t
(
ω
−
xk
x
−
yk
y
−
zk
z
)
r
Ediv
=
De même :
∂
E
x
x
∂
+
∂
E
y
y
∂
+
∂
E
z
z
∂
−=
Eik
x
x
−
Eik
y
y
−
Eik
z
z
rr
Eki
.−=
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r
Erot
r
r
Eki
∧
−=
et
2−=∆
r
Ek
r
E
Les quatre équations de Maxwell deviennent ensuite :
r
r
Eki
−=∧
r
Ediv
r
Bdiv
r
Erot
rr
Eki
.
rr
Bki
.
−=
−=
−=
=
=
0
0
;
;
r
Bi
(
ω
)
;
r
Brot
r
r
Bki
=∧
−=
r
Ei
(
ω
)
1
2
c
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Par conséquent, on retrouve le caractère transverse des ondes EM planes :
rr
Ek
.
=
0
et
rr
Bk
.
=
0
On retrouve également :
r
B
=
r
k
ω
r
E
=∧
r
r
Eu
∧
1
c
Remarque :
Cette relation n’est vérifiée évidemment que par des ondes planes monochromatiques
harmoniques.
Notamment, lorsque l’amplitude de l’onde dépendra des coordonnées d’espace x ou y,
la relation entre le champ E et le champ B sera différente.
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3 – Propagation de l’énergie :
Les résultats qui suivent sont valables pour une onde plane progressive, non forcément sinusoïdale (ou
harmonique).
La densité d’énergie uem pour une onde plane progressive vaut :
u em
=
r
E
2
+
1
2
ε
0
r
B
2
1
2
µ
0
1
µε
0
0
) :
Compte tenu de E = Bc, il vient (et avec
=c
uem
=
ε
0
r
E
2
=
r
B
2
1
µ
0
On remarque qu’il y a équipartition des contributions électrique et magnétique à cette
densité d’énergie.
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Le vecteur de Poynting vaut :
r
=Π
r
B
=
r
u
z
c
r
E
∧
:
Soit, avec
r
r
BE
∧
0µ
r
=Π
1
c
µ
0
r
E
r
u
(
∧
∧
z
r
E
)
=
r
r
2
uE
z
1
c
µ
0
rr
uEcar
.
(
=
)0
z
Finalement :
r
=Π
0ε
r
r
2
uEc
=
cu
em
z
r
u
z
Le vecteur de Poynting est bien colinéaire à la direction de propagation.
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Si l’on revient à la définition du vecteur densité de courant :
r
j
r
v
ρ=
r
correspondant à un mouvement d’ensemble de charges de densité ρ à la vitesse v
exprime simplement que l’onde EM plane
on constate que la relation
progressive dans le vide transporte l’énergie dans sa propre direction de propagation et
r
Π=
avec une vitesse égale à sa célérité c (
r
em u
r
=Π
r
v
em
r
uc
cu
).
=
u
EM
,
/
z
z
Remarque :
On peut retrouver ce résultat en considérant le cylindre de section droite (S) de
génératrices de longueur vemdt parallèles à la direction de propagation. L’énergie qui va
traverser cette surface pendant dt est alors uemvemSdt. Elle est par ailleurs égale au flux
du vecteur de Poynting (multiplié par dt), soit :
vu
em
em
Sdt
Π=
Sdt
soit
v
em
=
Π
u
em
=
c
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Vecteur de Poynting moyen et puissance moyenne reçue par un détecteur :
Les ondes EM ont généralement...