Méthodes Monte Carlo & Simulation des Modèles Financiers

(b) m représente le nombre de trajectoires simulées.

Loi= Wti−1 + (cid:112)ti − ti−1Zi où

(a) {Zi : i = 1, 2, ..., n} est une suite de vecteurs aléatoires de loi N (0m×1, Im),

(b) Im est la matrice identité de dimension m.

L’avantage avec cette méthode est qu’il est possible de simuler le processus seulement

aux dates pertinentes sans avoir à le simuler à des dates intermédiaires.

4

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3.2 MB multidimensionnel

3.2.1 Simulation d’un vecteur aléatoire gaussien

Introduction

– Affin de simuler un mouvement brownien multidimensionnel et, plus généra-

lement, les processus de diffusion, il faut d’abord pouvoir simuler un vecteur

aléatoire X de loi N (0k×1, Σ) où

σ1

σ2











Σ =





















ρ11

ρ12

...

ρ2k

ρ12

ρ22

...

ρ2k





















ρ1k

ρ2k

...

σk

. . .

. . .

. . .

σk

σ1

σ2











. . .

σk

Décomposition de Choleski

– Nous présentons deux méthodes :

2. Les composantes principales.

1. La décomposition de Cholesky ;

1. Nous voulons simuler X de loi N (0k×1, Σ).

2. Puisque Σ est définie-positive, il existe une matrice triangulaire inférieure C de

dimension k × k, appelée la décomposition de Cholesky, telle que CCT = Σ.

DRAFT

Version

X.

3. Par conséquent X Loi= CZ où

(a) Z est N (0k×1, Ik),

(b) Ik est la matrice identité de dimension k.

(a) Simuler un vecteur Z dont les k composantes sont i.i.d. N (0, 1).

(c) Répéter les deux étapes précédentes m fois affin d’obtenir m scénarios pour

4. Algorithme de simulation

(b) X = CZ.

1. Nous voulons simuler X de loi N (0k×1, Σ).

2. L’idée maitresse est d’utiliser une diagonalisation de la matrice de variances-

Décomposition en composantes principales

3. Puisque Σ est symétrique et de dimension k × k, alors elle possède k valeurs

propres réelles notées λ1 ≥ ... ≥ λk et parce que Σ est définie-positive, ces

valeurs propres sont positives.

4. Il y a k vecteurs propres (un par valeur propre) v1, ..., vk, satisfaisant

covariances Σ.

Preliminary

i vi = 1,

i vj = 0 si i (cid:54)= j et

(a) vT

(b) vT

(c) Σvi = λivi.

5

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5. Si V = (v1, ..., vk) est la matrice k × k dont les colonnes sont formées par les

vecteurs propres, et Λ est la matrice diagonale formée à partir des valeurs propres

(Λij = Λi si i = j et 0 sinon), alors :

(a) VVT = Ik.

(b) Σ = VΛVT .

(c) Si A = V Λ

1

2 , alors

AAT = V Λ

1

2

(cid:16)

1

2

V Λ

(cid:17)T

= V Λ

1

2 Λ

1

2 V T = V ΛV T = Σ.

(d) Puisque Λ est diagonale, alors Λ

1

2

ij =

(cid:112)

Λisi i = j et 0 sinon.

6. Ainsi, X Loi= AZ =

ajZj où

k

(cid:88)

7. Algorithme de simulation

1

2

j=1

(a) X de loi N (0k×1, Σ).

(b) Z est N (0k×1, Ik),

(c) Ik est la matrice identité de dimension k et

(d) A = VΛ

(e) aj = (cid:112)Λjvj est la jième colonne de la matrice A.

DRAFT

– Tarification d’une option asiatique : on peut simuler le sous-jacent aux dates

les plus pertinentes plutôt qu’à toutes les dates sur lesquelles porte la moyenne.

– Évaluation de la Valeur à Risque : cela permet d’identifier les principaux fac-

teurs qui influencent la valeur du portefeuille plutôt que de simuler toutes les

composantes du portefeuille.

(a) Simuler un vecteur Z dont les k composantes sont iid N (0, 1).

(b) X = AZ.

(c) Répéter les deux étapes précédentes m fois affin d’obtenir m scénarios pour

Version

– Utile lorsque l’on utilise des suites à discrépance faible pour lesquelles la di-

X.

– Exemples d’application :

mension de l’intégrale à résoudre est problématique.

3.2.2 Travail pratique

Preliminary

1. Étudiez les dimensions k ∈ {2, 3, 5, 8}.

2. Commentez vos résultats.

Comparer l’efficacité des algorithmes de simulation basés sur (1) la décomposition de

Cholesky et (2) la décomposition en composantes principales.

3. Pour tout i, σi =1,ρii = 1 et si j > i, ρij =

i

j

.

(a) Mise en garde. Lorsque vous vous définissez des matrices de variances-

covariances, assurez-vous quelles sont déffinies positives.

6

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(b) Rappel.



σ1

Σ =









σ2

. . .





















ρ11

ρ12

...

ρ2k

ρ12

ρ22

...

ρ2k

ρ1k

ρ2k

...

. . .

. . . ρkk





















σk

σ1

σ2











. . .

σk

3.2.3 Définition

Définition 3.1.

1. Soit {W(t) : t ≥ 0} où W(t) = (W1(t), ..., Wk(t)) est formé de k

mouvements browniens indépendants.

2. Soit X(t) = X(0) +

(cid:90) t

0

µ(u)du +

(cid:90) t

0

A(u)dW(u) où

(cid:19)

Σ(u)du

où

3. {X(t) : t ≥ 0} est un mouvement brownien de dimension d × 1 satisfaisant :

s

s

(cid:90) t

(cid:18)(cid:90) t

µ(u)du,

(a) Trajectoires continues.

(b) Pour tout 0 ≤ s < t, X(t) − X(s) est de loi N

(c) Incréments indépendants : ∀0 ≤ t1 < t2 ≤ t3 < t4,

(a) les composantes de W sont indépendantes,

(b) µ(u) est un vecteur déterministe de dimension d × 1,

(c) A(u) est une matrice déterministe de dimension d × k.

Σ(u) = A(u)AT (u).

Cov[X(t4) − X(t3), X(t2) − X(t1)] = 0d×d.

DRAFT

Version

rélées entres elles.

i. Σ = AAT .

ii. Corr (Xi(t), Xj(t)) = Σij.

iii. Cov (Xi(t), Xj(t)) = tΣij.

rement triangulaire).

culier suivant est souvent utilisé.

(a) µ(u) = µk×1

(b) A(u) = A est une matrice déterministe de dimension k × k (pas nécessai-

(c) X(t) − X(s) = µ(t − s) + A(W(t) − W(s)).

(d) {X(t) : t ≥ 0} est un mouvement brownien dont les composantes sont cor-

4. En pratique, il faut estimer µ(t) et A(t) pour tout t. Par conséquent, le cas parti-

Preliminary

loi N (0, Σ).

3. Algorithme de simulation

Simulation à l’aide de la décomposition de Cholesky

1. Puisque Σ est définie-positive, il existe une matrice triangulaire inférieure C de

dimension k × k, appelée la décomposition de Cholesky, telle que CCT = Σ.

2. Si Z est N (0, Ik) et Ik est la matrice identité de dimension k, alors CZ est de

(a) Xt0 = 0k×1

(b) Xti = Xti−1 + µ(ti − ti−1) + (cid:112)ti − ti−1CZi où {Zi : i = 1, 2, ..., n} est

une suite de vecteurs aléatoires indépendants, tous de loi N (0, Ik).

(c) Répéter les deux étapes précédentes m fois affin d’obtenir m trajectoires.

7

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3.3 Le mouvement brownien géométrique (MBG)

Définition 3.2 (Le mouvement brownien géométrique (MBG)).

1. Le processus {S(t) : t ≥ 0}

est un mouvement brownien géométrique (MBG) de dimension d si {ln S(t) : t ≥ 0}

est un mouvement brownien de dimension d.

2. Par conséquent, il suffit de simuler le mouvement brownien avec les algorithmes

que nous avons présentés et de prendre l’exponentielle par la suite.

Propriétés du processus de dimension 1

1. dS(t) = µ(t)S(t)dt +

(cid:88)

(t)S(t)dW (t)

(a) µ(t) et Σ(t) étant des fonctions déterministes du temps.

, ...,

S(tn) − S(tn−1)

S(tn−1)

4. Et1[S(t2)] = S(t1)exp

2. S(t2) = S(t1) exp

(cid:18)(cid:90) t2

(µ(u) −

σ2(u))du +

(cid:90) t2

(cid:19)

σ(u)dW (u)

.

1

2

3. Ne peut pas prendre de valeurs négatives en autant que S(0) ≥ 0.

5. Si t1 < t2 < ... < tn, les rendements

sont indépendants.

6. Un cas fréquemment utilisé est µ(t) = µ et σ(t) = σ.

t1

t1

,

.

t1

(cid:19)

(cid:18)(cid:90) t2

µ(u)du

S(t3) − S(t2)

S(t2)

S(t2) − S(t1)

S(t1)

DRAFT

Version

1 (t), ..., BQ

r(t) déterministe.

i (t) où

corrélées

d (t)

BQ

(cid:17)T

(cid:16)

être simulés en monde neutre au risque.

2. dSi(t) = r(t)Si(t)dt + σi(t)Si(t)dBQ

(a) BQ(t) =

et

(b) (cid:8)BQ(t) : t ≥ 0(cid:9) est une Q − M B sans dérive dont les composantes sont

1. Lors de la tarification de produits dérivés, les prix des titres sous-jacents doivent

(c) r(t) est le taux spot sans risque au temps t. Pour l’instant, nous supposons

En monde neutre au risque

3. Si le droit contingent (produit dérivé) est accessible (c’est-à-dire qu’il existe une

stratégie d’investissement autofinancée répliquant les flux monétaires du droit

contingent), alors sa valeur au temps t < t1 est :

Preliminary

(cid:18)

(cid:90) tj

n

(cid:88)

j=1

EQ[β(t, tj)fj(S, tj)]

(cid:19)

où β(t, tj) = exp

−

r(u)

est le facteur d’actualisation sans risque pour

la période (t, tj] et fj(S, tj) est le flux monétaire versé à la date tj.

t

1. Exemples

8

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(a) Option d’achat asiatique sur le premier titre : EQ

β(t, T ) max











S1(tj) − K, 0





1

n

n

(cid:88)

j=1

où T est la date d’échéance du contrat et K est le prix d’exercice.

(b) Obligation payant coupon :

n

(cid:88)

CEQ [β(t, tj)] + F β(t, tn) où C est le

j=1

coupon, F est la valeur faciale et les tj sont les dates de coupon.

(c) Option panier : EQ

β(t, T ) max

(cid:34)

(cid:32) d

(cid:88)

(cid:33)(cid:35)

wiSi(t) − K, 0

où T est l’échéance

i=1

du contrat, K est le prix d’exercice et les wi sont les poids accordés à cha-

cun des titres du panier.

3. Par convention, ce prix est tel que la valeur initiale du contrat est nulle :

Inclure les prix des contrats à terme - taux d’intérêt déterministe

1. Dans bien des cas, particulièrement pour les matières premières, nous n’obser-

vons pas seulement le prix initial S(0) du titre mais aussi une collection de prix

de contrats à terme.

2. Soit F (0, T ) le prix spécifié par le contrat initié au temps 0 à être payé à la date

T .

EQ

0 [S(T )].

0 = EQ

= F (0, T )EQ

0 [β(0, T )] − EQ

0 [β(0, T )(F (0, T ) − S(T ))]

DRAFT

Version

2 (tj −tj−1)+σ(W Q(tj )−W Q(tj−1))

0 [β(0, T )S(T )].

= S(tj−1)e

r(u)du− σ2

S(tj)

(cid:82) tj

tj−1

2 (tj −tj−1)+σ(W Q(tj )−W Q(tj−1))

e− σ2

5. Supposons que nous observons les prix F (0, t1), ..., F (0, tn) de n contrats à

terme de maturité t1 < ... < tn.

6. Puisque dS(t) = r(t)S(t)dt + σS(t)dW Q(t), alors

4. Si le taux spot est déterministe, le facteur d’actualisation le sera aussi et F (0, T ) =

7. Par conséquent,

=

S(tj−1)β(0, tj−1)

β(0, tj)

Preliminary

(a) F (0, tj) =

(b) β(0, tj) =

EQ

0

(cid:104)

,

S(0)

β(0, tj)

S(0)

F (0, tj)

1

F (0, tj−1)

(c) S(tj) =

2 tj +σW Q(tj )(cid:105)

e− σ2

=

S(0)

β(0, tj)

,

S(tj−1)F (0, tj)e− σ2

2 (tj −tj−1)+σ(W Q(tj−1)−W Q(tj−1)).

(d) La simulation du processus à partir de l’équation précédente permet d’être

cohérent avec le prix des contrats à terme observés.

9

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3.4 Taux d’intérêt stochastique

Notation

Dans ce qui suit,

– rt désigne le taux d’intérêt spot sans risque au temps t.

(cid:32)(cid:90) T

(cid:33)

– β(t, T ) = exp

rudu

est le facteur d’actualisation sans risque pour la

t

période (t, T ].

– P (t, T ) = EQ

t [β(t, T )] est le prix au temps t d’une obligation zéro-coupon

payant une unité monétaire à la date T .

3.4.1 Ornstein-Uhlenbeck

Présentation des modèles

1. Dans le modèle de Vasicek, le taux sans risque est modélisé par un processus

2. L’extension proposée par Ho & Lee permet de reproduire la structure par terme

initiale des prix des obligations zéro-coupon observés Pobs(0, T ), T ≥ 0 :

d’Ornstein-Uhlenbeck :

où κ, θ et σ sont des constantes positives.

drt = κ(θ − rt)dt + σdW Q

t .

DRAFT

Version

(b) La fonction déterministe {θt : t ≥ 0} est choisie de sorte que

0 r(u)du(cid:105)

drt = κ(θt − rt)dt + σdW Q

t .

0 [β(0, T )] = EQ

Pobs(0, T ) = EQ

coupon.

e− (cid:82) t

où la constante θ est remplacée par une fonction déterministe du temps.

(cid:104)

0

.

(a) En pratique, nous n’observons que très peu de prix d’obligations zéro-

Dans les deux cas, il s’agit d’un modèle gaussien, c’est-à-dire que (rt1 , ..., rtn )T

est de loi normale multivariée. La solution forte du modèle de Ho & Lee est, pour

tj−1 < tj,

Propriétés de la solution

Preliminary

tj−1

(preuve page suivante).

Preuve.

rtj = e−κ(tj −tj−1)r(tj−1) + κ

(cid:90) tj

tj−1

e−κ(tj −u)θudu

(cid:124)

(cid:123)(cid:122)

=µr(tj−1,tj )

(cid:125)

(cid:90) tj

+ σ

e−κ(tj −u)dW Q

u

10

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Posons Yt =

(cid:90) t

0

eκudW Q

u et notons que

rt = e−κt

(cid:18)

r0 + κ

(cid:90) t

0

eκuθudu + σYt

(cid:19)

est une fonction du temps t et de Y . Ainsi, en appliquant le lemme d’Itô sur r(t) =

f (t, Yt), il vient

dr(t) =

=

dYt +

∂f

∂f

1

dt +

∂Y

∂t

2

(cid:16)

−κe−κt rt

e−κt + e−κtκeκtθt

∂2f

∂Y 2 d (cid:104)Y (cid:105)t

(cid:17)

dt + σe−κteκtdW Q

t

= κ(θt − rt)dt + σdW Q

t

Rappel :

1. L’espérance conditionnelle.

(cid:2)rtj

EQ

2. La variance conditionnelle.

rtj = e−κ(tj −tj−1)rtj−1 + µr(tj−1, tj) + σ

tj−1

tj−1

(cid:90) tj

e−κ(tj −u)dW Q

u .

(cid:3) = e−κ(tj −tj−1)rtj−1 + µr(tj−1, tj).

DRAFT

Version

1 − e−2κ(tj −tj−1)(cid:17)

e−κ(tj −u)dW Q

u

e−2κ(tj −u)du

(cid:33)2



(cid:3) = EQ

tj−1

(cid:16)

V arQ

σ2

2κ

= σ2

(cid:2)rtj

(cid:90) tj

(cid:90) tj

tj−1

tj−1

tj−1

(cid:32)

=





σ

.

Comme est un processus gaussien, alors si Z est N(0,1)

Algorithme de simulation

(cid:2)rtj

(cid:3) +

(cid:113)

V arQ

tj−1

(cid:2)rtj

(cid:3)Z

1. Algorithme de simulation. Si t1 < t2 < ... < tn, alors

Loi= e−κ(tj −tj−1)rtj−1 + µr(tj−1, tj) + σr(tj−1, tj)Zj.

rtj

Loi= EQ

Preliminary

rtj

(a) où µr(tj−1, tj) = κ

tj−1

(cid:90) tj

e−κ(tj −u)θudu,

(b) σr(tj−1, tj) =

tj−1

(cid:0)1 − e−2κ(tj −tj−1)(cid:1)

(cid:114)

σ2

2κ

(c) et Z1, ..., Zn sont iid N (0, 1).

11

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Contrairement à l’approximation d’Euler, cette façon de faire ne comporte pas d’erreur

de discrétisation.

Approximation d’Euler

drt = κ(θt − rt)dt + σdW Q

t

1. Algorithme de simulation - approximation d’Euler

ˆrt+h = ˆrt + κ(θt − ˆrt)h + σ

√

hZ.

(a) où la longueur de la période de temps h doit être petite

(b) et Z est N (0, 1).

Facteur d’actualisation

(cid:33)

.

rudu

1. Dans plusieurs cas, nous avons besoin non seulement du taux d’intérêt à certaines

L’échéance d’une obligation peut être éloignée, nous obligeant à simuler beau-

coup de points.

2. Dans le cadre de ce modèle, R(tj−1, tj) =

rudu est de loi normale.

dates mais aussi du facteur d’actualisation β(tj−1, tj) = exp

tj−1

(cid:90) tj

(cid:32)(cid:90) tj

DRAFT

Version

(cid:18) σ2

σ2

r,R(tj−1, tj)

r (tj−1, tj)

r,R(tj−1, tj) σ2

σ2

R(tj−1, tj)

(cid:18)(cid:18) µr(tj−1, tj)

µR(tj−1, tj)

1 − e−κ(tj −tj−1)(cid:17)

e−κ(tj −u)θudu

(cid:32)(cid:90) u

(cid:90) tj

(cid:90) tj

+κ

tj−1

tj−1

N

(cid:19)

(cid:16)

,

(cid:19)(cid:19)

(a) µr(tj−1, tj) = e−κ(tj −tj−1)r(tj−1) + κ

riée :

3. Conditionnellement à rtj−1 , le couple (cid:0)rtj , R(tj−1, tj)(cid:1) est de loi normale biva-

r(tj−1)

κ

1 − e−2κ(tj −tj−1)(cid:17)

(cid:16)

(cid:18)

tj − tj−1 −

(c) σ2

r (tj−1, tj) =

(b) µR(tj−1, tj) =

Preliminary

r,R(tj−1, tj) =

R(tj−1, tj) =

σ2

2κ

σ2

κ2

σ2

2κ2

(d) σ2

(e) σ2

(cid:16)

2

κ

e−κ(u−v)θvdv

(cid:33)

du,

tj−1

tj−1

,

(cid:16)

1 − e−κ(tj −tj−1)(cid:17)

(cid:16)

1 − e−2κ(tj −tj−1)(cid:17)(cid:19)

,

+

1

2κ

1 − 2e−κ(tj −tj−1) + e−2κ(tj −tj−1)(cid:17)

.

Justification des calculs

12

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µR(tj−1, tj)

= EQ

tj−1

= EQ

tj−1

(cid:34)(cid:90) tj

tj−1

(cid:34)(cid:90) tj

tj−1

(cid:35)

rudu

(cid:32)

e−κ(u−tj−1)r(tj−1) + κ

(cid:90) u

e−κ(u−v)θvdv + σ

tj−1

(cid:32)(cid:90) u

(cid:90) tj

tj−1

tj−1

(cid:33)

e−κ(u−v)θvdv

du

=

r(tj−1)

κ

(cid:16)

1 − e−κ(tj −tj−1)(cid:17)

+ κ

σ2

R(tj−1, tj)

(cid:33)

(cid:35)

e−κ(u−v)dW Q

v

du

(cid:90) u

tj−1

(cid:33)

(cid:35)

e−κ(u−v)dW Q

v

du

= V arQ

tj−1

= V arQ

tj−1

= σ2V arQ

tj−1

= σ2V arQ

tj−1

(cid:34)(cid:90) tj

(cid:35)

tj−1

(cid:35)

(cid:19)

(cid:32)

(cid:33)

du

tj−1

(cid:90) u

(cid:90) u

rudu

(cid:32)(cid:90) u

tj−1

(cid:35)

tj−1

(cid:34)(cid:90) tj

e−κ(u−v)du

tj−1

(cid:34)(cid:90) tj

tj−1

(cid:34)(cid:90) tj

tj−1

(cid:18)(cid:90) tj

e−κ(u−v)dW Q

v

e−κ(u−v)θvdv + σ

e−κ(u−tj−1)r(tj−1) + κ

DRAFT

Version

(cid:18) 1 − e−κ(tj −v)

κ

1 − e−2κ(tj −tj−1)(cid:17)(cid:19)

1 − e−κ(tj −tj−1)(cid:17)

rudu, rtj

dW Q

v

(cid:34)(cid:90) tj

(cid:34)(cid:90) tj

1

2κ

2

κ

(cid:19)2

tj−1

tj−1

dv

+

(cid:16)

(cid:16)

(cid:35)

(cid:35)

v

= σ2EQ

tj−1

(cid:18)

=

σ2

κ2

tj − tj−1 −

σ2

r,R(tj−1, tj)

= CovQ

= CovQ

σ

(cid:32)

tj−1

(cid:90) u

tj−1

(cid:34)(cid:90) tj

tj−1

(cid:34)(cid:90) tj

Preliminary

tj−1

(cid:18)(cid:90) tj

(cid:34)(cid:90) tj

(cid:18)(cid:90) tj

tj−1

tj−1

tj−1

tj−1

= σ2CovQ

= σ2EQ

v

v

(cid:33)

e−κ(u−v)dW Q

v

du, σ

(cid:35)

e−κ(tj −v)dW Q

v

(cid:90) tj

tj−1

e−κ(u−v)du

(cid:19)

(cid:35)

e−κ(tj −v)dW Q

v

dW Q

v ,

(cid:90) tj

tj−1

(cid:35)

(cid:19)

e−κ(u−v)du

e−κ(tj −v)dv

(cid:90) tj

(cid:16)

1 − e−κ(tj −v)(cid:17)

e−κ(tj −v)dv

tj−1

(cid:16)

1 − 2e−κ(tj −tj−1) + e−2κ(tj −tj−1)(cid:17)

.

=

=

σ2

κ

σ2

2κ2

13

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3.4.2 Travail pratique

But de l’exercice. Comparer l’efficacité de la méthode de simulation exacte par rapport

à l’approximation d’Euler.

– Considérons un prêt d’un montant F = 104 d’une durée de T = 3 années.

– Pour la première année, le taux d’intérêt est r0 . Il y aura donc un paiement de

Fr0 à effectuer au temps t = 1.

– Pour les deux autres années, nous avons l’option d’échanger le taux courant par

la moyenne des taux au cours de l’année précédente, c’est-à-dire qu’aux temps

t ∈ {2, 3}, les paiements d’intérêt seront F min

rt−1,

Travail pratique 1 II

(cid:18)

(cid:90) t−1

(cid:19)

.

rudu

t−2

4. Commentez la précision de vos estimations ainsi que les temps de calcul. Faites

3. Évaluez la valeur de cette option par simulation en utilisant la méthode exacte et

2. Pour l’approximation d’Euler, expliquez comment vous calculez le facteur d’ac-

1. Donnez l’équation théorique permettant d’évaluer l’option.

l’exercice avec différentes tailles de simulation.

– r0 = 0.06, κ = 0.5, θ = 0.07,et σ = 0.05.

tualisation.

l’approximation d’Euler.

DRAFT

Version

drt = κ(θ − rt)dt + σ

rtdW Q

t .

√

où κ, θ et σ sont des constantes positives.

3.4.3 Processus racine-carrée

Présentation des modèles

modèle de taux :

2. En remplaçant la constante θ par une fonction déterministe du temps, il est

possible que le prix d’obligation donné par le modèle corresponde aux prix

Pobs(0, T ), T ≥ 0 observés sur les marchés :

1. Cox, Ingersoll et Ross utilisent le processus racine-carré étudié par Feller comme

drt = κ(θt − rt)dt + σ

√

rtdW Q

t .

Preliminary

lution forte.

Propriétés

1. Un avantage est que l’unique solution forte nous donne des taux d’intérêt positifs.

2. Malheureusement, nous ne pouvons pas écrire explicitement ce qu’est cette so-

(a) Analogie : la fonction de répartition de la loi normale ;elle existe mais nous

n’avons pas de "formule".

3. Cependant, nous connaissons la fonction de densité de rtj sachant rtj−1 , 0 ≤

tj−1 < tj à une constante près, il s’agit de celle d’une khi-deux non centrale.

14

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Khi-deux non- centrale

1. χ2

ν,λ est une variable aléatoire de loi khi-carré avec ν degrés de liberté et un

Fχ2

(y) = P (cid:0)χ2

paramètre de non-centralité λ si sa fonction de répartition est

ν,λ ≤ y(cid:1) 1y>0

(cid:1)j

(cid:0) λ

2

2 + j(cid:1)

2 +jΓ (cid:0) ν

= e− λ

∞

(cid:88)

j!2 ν

(cid:90) y

ν,λ

z

0

ν

2

j=0

2 +j−1e− z

2 dz1y>0

2. Pour tout 0 ≤ tj−1 < tj,

rtj =

1

4κ

(cid:16)

σ2 (cid:16)

1 − e−κ(tj −tj−1)(cid:17)(cid:17)

χ2

ν,λtj−1

2. Xν,λ =

(Zi +ai)2 est de loi du khi-deux à ν degrés de liberté et de paramètre

Simuler une v.a. khi-deux non-centrale (nb degrés liberté >= 1)

1. Xν,0 =

où ν =

i=1

Z 2

ν

(cid:88)

4κe−κ(tj −tj−1)

(a) où ν est un entier ≥ 1

(b) et Z1, ..., Zν sont iid N (0, 1)

4κθ

σ2 et λtj−1 =

σ2 (cid:0)1 − e−κ(tj −tj−1)(cid:1) rtj−1.

i est de loi du khi-deux à ν degrés de liberté

DRAFT

Version

(a) où ν est un entier positif,

(b) a1, ..., aν sont des constantes,

(c) Z1, ..., Zν sont iid N(0,1).

ν

(cid:88)

ν

(cid:88)

a2

i

i=1

i=1

de non-centralité λ =

pourvu que X1,λ et Xν−1,0 soient indépendantes.

p.123).

Preliminary

Xν,λ

5. Algorithme de simulation( ν ≥ 1).

Loi=

(cid:16)

Z +

√

(cid:17)2

λ

+ Xν−1,0

(a) où Z et Xν−1,0 sont indépendantes,

(b) Z de loi N (0, 1)

(c) et Xν−1,0 de loi khi-deux à ν − 1 degrés de liberté.

3. Si ν est un entier > 1 alors par récursion, nous avons Xν,λ = X1,λ + Xν−1,0

4. La relation précédente est aussi valide si ν > 1 est non-entier (Glasserman,

1. N est de loi de Poisson d’espérance λ/2

15

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2. Nous considérons une distribution du khi-carré avec un nombre aléatoire de de-

grés de liberté :Xν+2N .

3. Pour tout y > 0,

P (Xν+2N ≤ y|N = j) =

1

2 +jΓ (cid:0) ν

2 ν

2 + j(cid:1)

(cid:90) y

z

0

ν

2 +j−1e− z

2 dz

4. Pour tout y > 0 , P (Xν+2N ≤ y) est la fct. de rép. d’une v. a. de loi χ2

ν,λ puisque

P (Xν+2N ≤ y) =

=

∞

(cid:88)

j=0

∞

(cid:88)

P (Xν+2N ≤ y|N = j)P (N = j)

1

2 +jΓ (cid:0) ν

2 ν

2 + j(cid:1)

j=0

0

(cid:18)(cid:90) y

z

ν

2 +j−1e− z

2 dz

(cid:19)

e− λ

2

(cid:1)j

(cid:0) λ

2

j!

.

1. On peut simuler une distribution du khi-deux (cas particulier de la loi gamma)

Simulation d’une loi de Gamma

(Glasserman,p.126)

5. Algorithme de simulation(ν > 0) :

en se basant sur la méthode du ratio d’uniformes.

(a) Simuler une variable aléatoire N de loi de Poisson d’espérance λ/2.

(b) Simuler une variable de loi du khi-deux à ν + 2N degrés de liberté.

DRAFT

Version

, k ∈ {0, 1, 2, ...} .

e−λλk

k!

P [N = k] =

donnée.

– Si N est de loi de Poisson d’espérance λ, alors

Simulation d’une loi de Poisson

Méthode lente

Algorithme de simulation (plus lent si θ = 1/λ est petit)

– Le temps écoulé entre deux évènements est de loi exponentielle d’espérance θ =

– N représente le nombre d’évènements se produisant durant une période de temps

1. Générer Xi = −

ln(Ui) à partir de variables uniformes Ui indépendantes

1/λ.

Preliminary

1

λ

2. N est le plus grand entier tel que

Simulation d’une loi de Poisson

Méthode plus efficace (Glasserman, p.128)

N

(cid:88)

i=1

Xi ≤ 1.

– Si N est de loi de Poisson d’espérance λ, alors

P [N = k] =

e−λλk

k!

, k ∈ {0, 1, 2, ...} .

16

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– Algorithme basé sur la relation

P [N = k] =

λ

k

P [N = k − 1].

Algorithme de simulation

1. Initialisation : p = e−λ ; F = p ; N = 0.

2. U est uniforme(0, 1)

3. tant que U > F ,

(a) N = N + 1

(b) p = pλ/N

(c) F=F+p

Cas unidimensionnel

4 Processus de diffusion avec sauts

Un des premiers processus de ce type employés en finance est celui de Merton :

1. où µ et σ sont des constantes,

2. W est un mouvement brownien,

3. J est un processus indépendant de W dont les trajectoires sont constantes par

dS(t) = µS(t−)dt + σS(t−)dW (t) + S(t−)dJ(t)

DRAFT

Version

S(u) est la valeur du processus au temps t, après le saut

S(u) est la valeur du processus juste avant le saut.

(a) Notons qu’en absence de saut un temps t, S(t−) = S(t).

morceaux,

4. S(t) = lim

u↓t

5. et S(t−) = lim

u↑t

4.1 Définition

Modélisation des sauts

Preliminary

1. où Y1, Y2, ... sont des variables aléatoires,

2. {N (t) : t ≥ 0} est un processus de comptage.

J(t) =

N (t)

(cid:88)

(Yi − 1)

i=1

(a) C’est-à-dire qu’il existe des temps d’arrivée aléatoires τ1 < τ2 < ... tels

que N (t) = sup {n : τn ≤ t}.

(b) Ainsi, N (t) représente le nombre d’évènements survenus au cours de la

pério...