C O L E P O L Y T E C H N I Q U E

F D R A L E D E L A U S A N N E

Christophe Ancey

Laboratoire hydraulique environnementale (LHE)

cole Polytechnique F d rale de Lausanne

cublens

CH-1015 Lausanne

Notes de cours

M canique des uides

Une introduction lhydraulique pour les ing nieurs civils

version 13.2 du 28 f vrier 2017

TABLE DES MATI RES

Table des mati res

1 Propri t s des uides

1.1 D nition physique dun uide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1 tats de la mati re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2 Mati re divis e : dispersions, suspensions, mulsions

. . . . . . . . . . . . . . .

1.2 D nition rh ologique dun uide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Viscosit des uides

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1 Manifestation l chelle macroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.2 Origine physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.3 Fluides newtoniens et non newtoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Tension de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Similitude

2.1 Analyse dimensionnelle et th orie de la similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.1 Objet de la th orie de la similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.2

Invariance d chelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Unit s de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Principaux nombres adimensionnels

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Th or me de Vaschy-Buckingham ou th or me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.1 M thode de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.2 Th or me de Vaschy-Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.3 Application no 1 du th or me : force de tra n e . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.4 Application no 2 du th or me : puissance dune explosion nucl aire . . . . . .

2.4.5 Application no 3 du th or me : loi de Manning-Strickler . . . . . . . . . . . .

2.5 Analyse dimensionnelle et quations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6 Similitude en ing nierie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6.1 G n ralit s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6.2

Similitude en hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6.3 Courbe ma tresse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Statique des uides

3.1 Origine physique de la pression dans les uides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Loi de lhydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.1 Loi de Pascal

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.2 Principe dArchim de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.3 Calcul des forces de pression en pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TABLE DES MATI RES

3.3 Mesure de la pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 quations de bilan

4.1 Th or mes de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.1 Vue g n rale

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.2 Th or me de transport en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.3 G n ralisation et th or me de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.4 Volume de contr le xe, mat riel et arbitraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.5 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.6 Conservation de la quantit de mouvement

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.7 Conservation de l nergie, th or me de Bernoulli

. . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Quelques applications du th or me de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.1 Formule de Torricelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.2

Intrusion dun courant de gravit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.3 Tube de Pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 coulement surface libre

5.1

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1.1 G n ralit s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1.2 Un peu de vocabulaire et des notations

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2 Hydraulique des canaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2.1 Charge totale et charge sp cique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2.2 Courbes de remous obtenues par l quation de Bernoulli . . . . . . . . . . . . .

5.3 R gime permanent uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.1 Relation d quilibre pour un r gime permanent uniforme . . . . . . . . . . . . .

5.3.2 Loi de frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.3

Justication physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.4 Hauteur normale selon la section d coulement

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4 R gime permanent non-uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4.1 Canal large . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4.2 Canal quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4.3 Courbes de remous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4.4 Classication des r gimes d coulement

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4.5 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5 Courbes de remous et coulement critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5.1 Hauteur critique et r gimes associ s

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5.2 Ressaut hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5.3 Conjugaison dune courbe de remous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5.4 Eet dun obstacle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 coulements laminaires et turbulents

102

104

109

110

111

113

116

120

126

133

6.1 quations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

133

TABLE DES MATI RES

6.1.1 Bases th oriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1.2 Forme g n rique des quations de Navier-Stokes

. . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1.3 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2 Base ph nom nologique du comportement newtonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3 M thodes de r solution des quations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.1 Exp rience de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.2 Exp rience de Trouton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4 Adimensionalisation des quations

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.1 Choix des chelles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.2 R gimes d coulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.5 coulements domin s par la viscosit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.5.1

S dimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.5.2 coulement dans les milieux poreux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.5.3 Eet coin dhuile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.6 Couche limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.6.1 D nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.6.2 quation de la couche-limite

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.6.3 quation de Blasius

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.7 La turbulence ou les limites du mod le newtonien (laminaire) . . . . . . . . . . . . . .

6.8 Moyenne des quations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.9 Probl me de fermeture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.10 Exemple dapplication : coulement sur un plan inclin . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 coulements turbulents en charge

7.1

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2 coulement permanent uniforme lisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.1 quations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.2 Ph nom nologie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.3 Zone logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.4 Zone centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.5

Synth se . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3 coulement permanent uniforme rugueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3.1 quations du mouvement ; eet de la rugosit . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3.2 Calcul du d bit pour des canalisations rugueuses . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4 Dissipation d nergie dans les conduites en r gime tabli . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4.1 Bilan d nergie en r gime laminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4.2 Bilan d nergie en r gime turbulent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.5 Pertes de charge singuli res . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.5.1 Probl matique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.5.2 Principales formules de perte de charge singuli re . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.6 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

133

134

135

137

139

141

145

146

147

148

150

153

154

155

157

162

164

166

171

172

173

175

176

177

180

185

187

TABLE DES MATI RES

7.6.1 Vidange dun barrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

187

Bibliographie

189

TABLE DES MATI RES

Avant-propos

Il sagit dun recueil de notes contenant les principales notions du cours ainsi que les formules utiles

conna tre. Il ne sagit pas dun cours complet de m canique des uides. Le support complet de mon

cours peut tre trouv travers :

les deux ouvrages Hydrodynamique et Hydraulique de Graf & Altinakar ;

le manuel de cours M canique des uides de Rhyming ;

le cours m canique des uides : une introduction par Botsis & Deville ;

louvrage Constructions hydrauliques de Sinniger & Hager.

tous publi s aux PPUR (collection Trait s de G nie Civil pour les ouvrages de Graf & Altinakar

et Sinniger & Hager). Un grand nombre des donn es biographiques donn es travers les di rents

chapitres sont issues du livre du prof. Willi Hager de lETHZ Hydraulicians in Europe 18002000

publi par lInternational Association of Hydraulic Engineering and Research (Delft, 2003).

Jemploie les notations usuelles modernes :

les exemples sont le plus souvent introduits laide de

dun exemple par le symbole qed

;

Exemple. et on indique la n

les parties qui peuvent poser des probl mes dinterpr tation sont indiqu es par le symbole (cid:127) dans

la marge ;

les d monstrations un peu techniques (qui peuvent tre saut es en premi re lecture) sont signal es

par le symbole h ;

les vecteurs, matrices, et tenseurs sont en gras ;

les variables scalaires sont en italique ;

les fonctions, op rateurs, et nombres sans dimension sont en roman ;

le symbole O (O majuscule) signie est de lordre de ;

le symbole o (o minuscule) signie est n gligeable devant ;

je nemploie pas la notation D/Dt pour d signer la d riv e particulaire, mais d/dt (quil ne

faudra donc pas confondre avec la di rentielle ordinaire selon t). Je consid re que le contexte

est susant pour renseigner sur le sens de la di rentielle et pr f re garder le symbole D/Dt

pour dautres op rations di rentielles plus complexes ;

veut dire proportionnel ;

le symbole

les unit s employ es sont celles du syst me international : m tre pour les longueurs, seconde

pour le temps, et kilogramme pour la masse. Les unit s sont pr cis es entre crochets ;

veut dire peu pr s gal ;

pour la transpos e dune matrice ou dun vecteur, jemploie le symbole

dire transpos e de A .

en exposant : A veut

Remerciements pour les relecteurs suivants : Damien Bouard, Steve Cochard, Nicolas

Andreini, S bastien Wiederseiner, Martin Rentschler, Maxime Trolliet, Madeleine Bouchez, Jonas

Haller, Scott Favre, Fran ois Gallaire, Roberto Siccardi, Arnaud Eggimann.

Ce travail est soumis aux droits dauteurs. Tous les droits sont r serv s ; toute copie, partielle ou

compl te, doit faire lobjet dune autorisation de lauteur.

La gestion typographique du fran ais a t r alis e avec LATEX laide du package french.sty de

Bernard Gaulle.

Nomenclature

TABLE DES MATI RES

variable

signication

rayon dune particule

largeur au miroir

coecient de Ch zy

coecient de frottement

c l rit des ondes

tenseur des taux de d formation

diam tre dune conduite

nergie interne massique

coecient de frottement (Darcy-Weissbach)

acc l ration de la gravit

hauteur d coulement

hauteur critique

hauteur normale

charge de l coulement

charge sp cique

pente dun bief

vecteur courant (p. ex. ux de chaleur)

pente de frottement

vecteur normal unitaire

nergie cin tique massique

conductivit hydraulique

rugosit

coecient de Manning-Strickler

chelle de longueur

largeur

longueur de m lange

longueur caract ristique

masse dune particule

vecteur normal unitaire

pression

hauteur de pelle (pour un seuil)

chelle de pression

d bit

chaleur

d bit par unit de largeur

rayon de courbure

constante des gaz parfaits

rayon hydraulique

nombre de Reynolds

section d coulement

entropie

tenseur des extra-contraintes (appel encore partie

d viatorique)

temps

temp rature

vitesse, composante de la vitesse dans la direction

vitesse de glissement, vitesse de cisaillement

vitesse moyenn e selon la hauteur d coulement

vitesse moyenn e dans le temps

vitesse

uctuation de vitesse

TABLE DES MATI RES

variable

signication

chelle de vitesse

vitesse de s dimentation

vitesse, composante de la vitesse dans la direction

vitesse quadratique moyenne

vitesse

volume de contr le

tenseur des taux de rotation

Symboles grecs et autres

variable

signication

diusion thermique

p rim tre mouill

fonction de Dirac

petite variation

d formation

tension de surface

taux de cisaillement

rapport daspect

conductivit thermique

constante de von K rm n

viscosit dynamique

potentiel de vitesse

fonction de dissipation

fonction de vitesse

potentiel gravitaire

nergie totale

nombre sans dimension

masse volumique

contrainte

contrainte normale

angle de pente

contrainte de cisaillement

contrainte de cisaillement la paroi

variable de similitude

tenseur identit

op rateur nabla

1Propri t s des uides

1.1 D nition physique dun uide

1.1.1 tats de la mati re

Il y a trois tats de la mati re (voir gure 1.1) pour un corps simple :

solide : mat riau faible temp rature ;

liquide : mat riau temp rature moyenne et pression susamment lev e ;

gaz : mat riau temp rature susamment lev e et faible pression.

b b

(a)

(b)

(c)

Figure 1.1 : repr sentation id alis e des trois tats de la mati re : (a) solide (r seau ordonn de mol -

cules/atomes), (b) uide (collection dense et d sordonn e de mol cules), (c) gaz (collection dilu e et tr s

agit e de mol cules).

Les di rents tats occup s par un corps simple peuvent tre repr sent s dans un diagramme p,

T , V comme le montre la gure 1.2. Les surfaces gris es repr sentent des tats purs o un seul tat

subsiste, alors que la surface blanche repr sente lensemble des tats o deux phases peuvent co-exister.

Le point C est appel point critique.

L tat solide est un tat organis de la mati re : les arrangements entre mol cules pr sentent un

ordre relativement stable dans le temps. Les tats gazeux et liquide repr sentent la mati re en d sordre :

il nexiste pas dordre privil gi dans lagencement des mol cules car celles-ci sont perp tuellement en

mouvement. Un uide au repos l chelle humaine est en fait, l chelle mol culaire, en perp tuelle

agitation.

Les tats gazeux et liquide pr sentent des similarit s : ce sont des uides. Un uide na pas de forme

propre : plac dans un r cipient, il adopte les formes du r cipient. Il existe galement des di rences

notables : un liquide a une surface libre ; si lon place un liquide dans un bol, on observe une interface

nette, appel e surface libre, entre ce liquide et le gaz environnant. Un gaz a tendance occuper tout

le volume qui sore lui. Un gaz na donc pas de surface libre.

l chelle atomique, ces di rences peuvent sexpliquer assez simplement : un gaz est une collection

tr s dilu e de mol cules ou datomes. Si d repr sente la taille dune mol cule, alors la distance entre deux

mol cules est de lordre de 10d. Dans le cas dun liquide, cette distance intermol culaire est beaucoup

plus faible, de lordre de d en g n ral. Cela a des r percussions consid rables sur les interactions

1. Propri t s des uides

S/L

Fluide

L/G

S/G

Figure 1.2 : diagramme sch matique des phases dun corps simple dans un espace pression (p), temp rature

(T ), et volume (V ).

entre mol cules : pour un gaz, les mol cules se rencontrent rarement et interagissent principalement au

moment des collisions par des changes de quantit de mouvement. Pour un liquide, les interactions sont

bien plus fr quentes et sont dune nature di rente : il sagit le plus souvent dinteraction lectrostatique

dattraction ou de r pulsion. La gure 1.3 montre le potentiel dinteraction V (r), dit de Lennard-

Jones 1, et la force dinteraction qui en d coule

V (r) = 4

(cid:18)

(cid:19)

(cid:18)

(cid:19)

o r est la distance depuis le centre de la mol cule et est le potentiel dadh sion de deux mol cules

kT pour du m thane ou de largon). Aux faibles distances r/d < 1, linteraction est une tr s

(

d la force devient n gative :

forte r pulsion qui soppose linterp n tration des atomes, puis vers r

deux mol cules voisines se sentent attir es, mais cette force dattraction diminue tr s rapidement

avec r. Il sagit des forces de Van der Waals 2. Les mol cules polyatomiques simples (comme leau)

peuvent galement porter des charges lectriques, qui donnent naissance des forces lectrostatiques

dattraction ou de r pulsion sensiblement plus fortes que les forces de Van der Waals dues aux atomes

qui les composent.

Notre connaissance des propri t s dun gaz est bien plus avanc e que celle des liquides. D s la

n du xixe si cle, reprenant des id es formul es par de nombreux physiciens de Bernoulli Clausius,

les physiciens Maxwell et Boltzmann 3 ont labor les bases de la th orie dite th orie cin tique des

1. Edward Lennard-Jones (18941954) tait un math maticien anglais, consid r comme un des pionniers de la chimie

mol culaire. Ses travaux ont port sur les forces intermol culaires, la valence, la catalyse de surface...

Mécanique des fluides: Une introduction à l’hydraulique pour les ingénieurs civils

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