Mécanique des fluides - Travaux Dirigés N°1 et N°2

trouve :

En appliquant

l quation de

lhydrostatique entre

les points C et D on

trouve :

En appliquant l quation de lhydrostatique entre les points D et B on trouve :

AN :

.

• Exercice 2:

On a : pN = pM + rl.g. h

Avec :

,

(le poids du cylindre A est n gligeable),

L quation devient :

(

)

AN : on trouve pour g = 9.81 m/s2 : F = 377.685 N.

• Exercice 3:

1/- D termination de lintensit de la force de pression agissante sur la surface AB :

On a F = r.g.hG.S avec hG = 4,7m et S = (AB) x l = 5 m2

Do F = 235 KN.

A.U. :2013-2014 42

()ACeauACZZgpp-=-..r()xhgppeauAC++=..r()CDmercureCDZZgpp-=-..r()hgdppeauCD- +=..r()()hgdxhgppeaueauAD- +++=....rr()dghxgppeaueauAD- + +=1...rr()DBeauDBZZgpp-=-..rygppeauDB..r+=()ygdghxgppeaueaueauAB..1...rrr+- + +=()()dghyxgppeaueauAB- ++ +=1...rr()()()dgyxgppheaueauAB-+ +-=1...rrmh1,272=

M canique des fluides ISET Nabeul

• D termination de la position de la force de pression :

On a

avec

Do ZC = 4,77 m.

2/- D termination de la force totale de pression qui sexerce sur la face inf rieure BC du

r servoir :

On a F1 = r.g.hG1.S1 avec hG1 = 5,7m et S1 = (BC) x l = 15 m2

Do F1 = 855 KN.

3/- D termination de la force totale de pression qui sexerce sur la face sup rieure AD du

r servoir :

On a F2 = r.g.hG2.S2 avec hG2 = 3,7m et S2 = S1-A = 14,9 m2

Do F2 = 551,3 KN.

4/- D termination du poids total de leau dans le r servoir :

On a P = r.g.VT avec VT = l x S1 + A x (DE)

Do P = 303,7 KN.

• Exercice 4:

1/- D termination de la r sultante des efforts de pression

:

On a

avec

et SAB = AB x l

Do R1 = 840 KN.

2/- D termination du centre de pouss e de la r sultante de pression

:

On a

avec

et

et SAB = AB x l

Do ZC1 = 7,42 m.

3/- D termination de la r sultante des efforts de pression

:

On a

avec

et SCD = (CD x DQ)/2.

Do R2 = 699,41 KN.

A.U. :2013-2014 43

GGGyCZSZIZ+=.12).(3ABlIGy=1RrxShgRABGrr...11r-=211ABAOhG+=1Rr111.GABGGxCZSZIZ+=12).(3ABlIGx=211ABAOZG+=2RrxShgRCDGrr...22r=)45sin(.322CDhhCG+=

M canique des fluides ISET Nabeul

4/- D termination du centre de pouss e de la r sultante de pression

:

avec

et

et SCD = (CD x

On a

DQ)/2.

Do ZC2 = 6,17 m.

5/- D termination des deux composantes

et

:

On a

=

=

x sin (45)

Do R2x = R2z = 494,55 KN.

• Exercice 6:

1/- D termination de lintensit de la force de pression exerc e par le liquide 1 sur la surface

carr e :

avec :

Do :

AN :

.

2/- D termination de la position du centre de pouss e Cp1 sur laxe

:

On a

avec :

o

AN :

.

A.U. :2013-2014 44

2Rr2222.GCDGGCZSZIZ+=36.3hbIGx=)45sin(.322CDZZCG+=2x Rr 2zRr2x Rr 2zRr2RrnShgFGrr =111r2aS=()asin21 +=ABOAhG()() + =aarsin2sin211aOAagFrKNF219,121=rzr()1121sin1GGGyCpCphShIhZ+ ==a124aIGy=()asin21 +=ABOAhGa=sin2OA2aS=m07,3Z1Cp=

M canique des fluides ISET Nabeul

• D termination de la position du centre de pouss e Cp1 sur laxe

:

AN :

.

3/- D termination de lintensit de la force de pression exerc e par le liquide 2 sur la surface

carr e :

avec :

Do :

AN :

.

4/- D termination de la position du centre de pouss e Cp2 sur laxe

:

On a

avec :

o

AN :

.

• D termination de la position du centre de pouss e Cp1 sur laxe

:

AN :

.

A.U. :2013-2014 45

1zra=sinZZ1Cp1Cp1m179,3Z1Cp=nShgF2G22rr r-=2aS=()5,0sin22- +=aABOAhG()() - + =5,0sin2sin222aaraOAagFrKNF841,832=r1zr1G11G1Gy1Cp1ZS.ZIZ+=12aI4Gy=2ABOAZ1G1+=a=sin2OA2aS=m17,3Z1Cp1=zra =sinZZ1Cp11Cpm06,3Z1Cp=

M canique des fluides ISET Nabeul

• Exercice 7:

1/- Bilan des actions ext rieures :

Le solide est soumis son propre poids :

et la pouss e dArchim de :

A l quilibre :

+

=

;

La pouss e dArchim de :

Avec

Le poids du tronc :

Avec

En galisant entre (1) et (2) on aura :

.

2/- A l quilibre :

+

+

=

La pouss e dArchim de :

;

Avec

Le poids du tronc :

Compte tenu de l quation (3) :

3/-

;

;

; or

A.U. :2013-2014 46

P PA P PA 0 P P A= g v g m PeaueaueauA = =(1) 4D l 21 2V V2teauP ==g v g m Pttt = =) 2 ( 4D l V2tP =mKg/ 500 2 3eaut== P PA F1 0 (3) 0 P - F P A1=+ g v g m PeaueaueauA = = ) d - D ( 4 l 21 2V V22teauP ==) d - D( 4 l g v g m P22tttt P = = =g ) 2 ( ) d - D ( 4 g l P - P Fteau22A 1- P == 0 F 2 1eaut= =an O 0 P - F P A2=+. N 1560 ) ( ) d - D ( 4 g l P - P Fteau22A 2=- P ==

M canique des fluides ISET Nabeul

TRAVAUX DIRIGES N 2

dynamique des fluides Incompressibles

• Exercice 1:

Un tage est aliment en eau laide dune pompe entra n e par un moteur lectrique

Voir figure .La pompe puise de leau dun r servoir de grande dimension et ouvert lair libre et

le refoule lair libre .Le d bit assur est 1 l /s .Le diam tre de la conduite daspiration est da =

32 mm et celui du refoulement est dr = 18 mm .On donne en plus :ha = 5 , hr = 15 m , le

rendement de la pompe hp = 0.6 et celui du moteur hp = 0.85 .Calculer :

1/ L nergie par unit de volume fournie par la pompe leau ;

2/ La puissance lectrique consomm e ;

3/ Les pressions absolues et effectives lentr e et la sortie de la pompe.

• Exercice 2:

On consid re la vidange dun grand r servoir ouvert lair libre et contenant de leau. La

conduite de vidange a un diam tre D = 40 mm et elle est termin e par une tuy re (r tr cissement

progressif) tel que le diam tre de sortie soit d = 25 mm voir figure .

On donne hE = 3 m et hS = 5 m

En supposant que leau comme tant un fluide parfait, calculer :

1/ Le d bit de vidange ;

2/ La pression en E et la pression lentr e de la tuy re en B ;

3/ La pression en E lorsque la tuy re est bouch e.

A.U. :2013-2014 47

M canique des fluides ISET Nabeul

Correction du Travaux Dirige s N 2

• Exercice 1:

1/- On applique le th or me de Bernoulli lentr e et la sortie de la pompe :

Calculons alors les vitesses l'entr e et la sortie :

On a :

;

= 3,93 m/s ;

= 1,24 m/s ;

do

;

L nergie par unit de volume

fournie par

la pompe

leau

est

alors :

Pfluide = 206,9 w

2/- Le rendement sur la pompe est :

Le rendement sur larbre de transmission est :

La puissance lectrique consomm e est alors :

3/- On applique le th or me de Bernoulli entre les points ( 3 ) et ( 4 ) :

La vitesse v4 tant juste la sortie de la conduite donc v4 = v3 et z4 z3 = hr .

Do p3 = p4 + r . g . hr .

Et p3 = psabs = 105 + 104 * 15 = 2,5 105 Pa

psabs = 2,5 bar

A.U. :2013-2014 48

()()vFluideeses2e2sqP p p )z (z g v v 21=-+- +-d qv 4 v2 P =d qv 4 v2s P =d qv 4 v2e P =()()vFluideatat3223qP p p ) (-5) (15 10 10 1.24 93,3 10 21=-+- +-vFluidevFluideq * 206953,4 P Pa 206953,4 E qP = == w344,85 6,0206,9 P P PP phhp=== =hmPP = w405,7 85,0344,85 P P mh ===()()0 p p )z (z g v v 2134342324=-+- +-

M canique des fluides ISET Nabeul

ps effe = 1,5 bar

*On applique le th or me de Bernoulli entre les points ( 1 ) et ( 2 ) :

Or v1 = 0 (vitesse nulle la surface du liquide)

et p2 = peabs

peabs = 105 0,5 .103 .1.242 +104.(-5) = 0,49 bar

peeffe = 0.49 1 = - 0,51 bar

• Exercice 2:

1/- On applique le th or me de Bernoulli entre les points A ( point de la surface du liquide ) et le

point S .

Or vA 0 et pA = pS = patm .

AN : la sortie on a : vs = 10 m / s.

Le d bit volumique est alors qv = V.S = 4,9 l /s .

2/- La pression au point E :

On applique le th or me de Bernoulli entre le point E te le point A on aura :

pE = 1,224 bar

On applique le th or me de Bernoulli entre E et B, on aura :

A.U. :2013-2014 49

()()0 p p )z (z g v v 2112122122=-+- +-()()21122122p p )z (z g v v 21 =+- +--S S2SAA2Ap zg 2v p zg 2v + + =+ + h . g . 2 v 2v p )z -z ( g s2SA SA = =+ v SS . v v qvqv4D .4d . . SBSSBBS22== = s / m 3,9 D2 d . v v :A.N 2SB==A) EA2EEp z - z( g 2v - p + + =

M canique des fluides ISET Nabeul

pB = 1,424 bar

3/- Lorsque la tuy re est bouch e :

A.U. :2013-2014 50

EBEBp ) z - z( g p + =bar 1,3 p h g p' AEE=+ =

M canique des fluides ISET Nabeul

TRAVAUX DIRIGES N 3

dynamique des fluides re els

• Exercice 1:

Du p trole qui coule travers un coude horizontal 90 . P1=2 bars, la pression chute S2 de

1,2m de p trole (masse volumique 872 kg.m-3). Le d bit est de 0,86 m3.s-1, le diam tre du coude

de 0,5m et le poids de fluide sera n glig .

1/ Calculer la pression P2 la sortie du coude

2/ En appliquant le th or me dEuler, d terminer la r sultante des actions exerc es par un

coulement de p trole

• Exercice 2:

Une station dalimentation dun ch teau deau utilise une pompe immerg e de puissance P

d terminer.

Cette pompe refoule leau dans une conduite verticale de hauteur h = z2-z1 = 40m et de diam tre

d = 120mm.

La vitesse d coulement dans la conduite est : v2 = v1 = 5m/s. Les pressions deau (absolues)

mesur es avec un manom tre aux points 0, 1 et 2 sont :

p0 = 105 Pa, p1 = 5,4 105 Pa, p2 = 1,2 105 Pa

On donne la viscosit cin matique de leau : n = 10-6 m2/s. On n glige les pertes de charge

singuli res et on donne g = 10 m/s2.

A.U. :2013-2014 51

M canique des fluides ISET Nabeul

z

0

1/ Calculer le d bit volumique et le d bit massique de la pompe.

2/ Calculer le nombre de Reynolds dans la conduite et en d duire la nature de l coulement.

3/ Calculer la perte de charge lin aire DJ12 entre les sections extr mes 1 et 2 de la conduite.

On donne :

4/ Calculer le coefficient lr de perte de charge lin aire dans la conduite.

5/ Calculer le travail W chang entre la pompe et la masse de 1 Kg deau qui la traverse. On

n glige les pertes de charge singuli res au niveau de la pompe.

On donne :

6/ Calculer la puissance m canique Pm fournie la pompe sachant que le rendement de celle ci

est h = 0,85.

• Exercice 3 :

Dans une station dalimentation dun ch teau deau on utilise un groupe lectropompe de

puissance hydraulique Ph d terminer. La pompe aspire leau du point G et le refoule laire

libre au point O.

On admet que les conduites daspiration et de refoulement poss dent le m me diam tre d = 120

mm. La vitesse d coulement dans ces conduites est V = 0,5m/s. La pression de leau (absolues)

mesur e avec un manom tre au point G est : pG = 1,5 105 Pa.

Afin de relier les diff rentes conduites on a utilis e 4 coudes 90 de rayon de courbure R0 = 100

mm.

A.U. :2013-2014 52

()()()1212122122121JzzgppVVD-=-+-+-rrvqPW=

M canique des fluides ISET Nabeul

On donne :

LT = 68,6 m longueur totale des conduites lin aires entre les points O et G.

Kv = 0,24 coefficient de pertes de charges au niveau de la vanne papillon.

KG = 0,15 coefficient de pertes de charges au niveau de laspiration de leau.

KC = KC = 0,45 coefficient de pertes de charges au niveau des raccords lentr e et la sortie

de la pompe.

1/- Calculer le d bit volumique et le d bit massique de la pompe.

2/- Calculer le nombre de Reynolds dans la conduite. D duire la nature de l coulement.

3/- Calculer la perte de charges lin aire totale des conduites lin aires.

4/- Calculer la perte de charges singuli res totale dans cette installation hydraulique.

5/- D duire la perte de charges totale le long du circuit hydraulique DpGO.

6/- Calculer la puissance m canique Pm fournie la pompe par le moteur lectrique sachant que

le rendement de celle-ci est h = 0,85.

7/- On d sire changer le groupe lectropompe par un groupe moteur thermique + pompe , la

puissance m canique d livr e par le moteur thermique est Pm = 3,2 KW. Pour transmettre le

mouvement du moteur vers la pompe on utilise un organe de transmission de puissance.

D terminer le rendement h0 de cet organe afin de maintenir la m me puissance hydraulique

d livr e par le groupe lectropompe (utilis ant rieurement) sachant que le rendement de la

pompe utilis e est hp = 0,75.

On prendra : g = 10 m/s2, reau = 103 kg/m3, n = 10 -6 m2/s.

Les coudes utilis s dans cet exercice poss dent le m me rayon de courbure.

A.U. :2013-2014 53

zR0yBOA'E'GF'FEDCAPVC'D'B'R0R0R0

M canique des fluides ISET Nabeul

• Exercice 4 :

Soit un groupe turbine-alternateur, de puissance de turbinage Ph = 600 106 W, utilis pour la

production de l nergie lectrique dans un barrage. Ce groupe est plac entre deux bassins de

d nivellation de 1695 m 740 m. Le d bit d coulement de leau travers la turbine est de

262,8 106 l/h (fig.1).

La conduite est de diam tre int rieur constant gale 3 m.

On supposera quen 1 et en 5 leau est la pression atmosph rique patm (patm = 105 Pa).

On donne : z1 = 1695 m, z2 = 1590 m, z3 = 1505 m, z4 = 787 m, z5 = 740 m, a =20 , hT= 0,8 et

ha= 0,7.

1/ Calculer la vitesse de l coulement de leau dans la conduite.

2/ Calculer le nombre de Reynolds, d duire le type de cet coulement.

3/ Dans le trajet 1 5 calculer la somme des pertes de charges Dp15.

4/ Supposons que les pertes de charges, trouv es dans la question pr c dente, soient localis es

comme des pertes de charges lin aires dans la conduite entre 3 et 4.

a)- D terminer le coefficient de pertes de charges lin aires l34.

b)- Calculer la pression p4 lentr e de la turbine.

5/ L nergie lectrique produite par lalternateur sera utilis e pour lalimentation des groupes

lectropompes utilis s pour lirrigation des terres agricoles. En supposant que ces lectropompes

poss dent les m mes caract ristiques, d terminer le nombre maximal des lectropompes quon

peut alimenter par l nergie produite.

On donne : la puissance hydraulique d velopp e par une pompe est Ph = 20 KW, hh= 0,85 et

he= 0,75.

A.U. :2013-2014 54

z54321zzzzz54321Ta

M canique des fluides ISET Nabeul

• Exercice 5:

Une pompe, de puissance utile 36 KW, remonte de leau entre un bassin et un r servoir travers

une conduite de diam tre 135 mm (fig.2). La vitesse d coulement de leau dans la conduite est

de 6 m/s.

On donne : z1 = 0, z2 = z3 = 20 m, z4 = 35 m, p1 = p4 = 1,013 bar.

La viscosit dynamique de leau est 1 x 10-3 Pa.s.

On n gligera les pertes de charge singuli res dans les coudes et dans la pompe.

1/ Calculer le d bit volumique de leau dans la conduite.

2/ Calculer le nombre de Reynolds, d duire le type de cet coulement.

3/ Calculer la diff rence de pression entre la sortie et lentr e de la pompe.

4/ Calculer les pertes de charge syst matiques dans la conduite entre les points 1 et 4.

5/ Calculer le coefficient de perte de charge syst matique dans la conduite de longueur gale

65 m.

6/ Sachant que le rendement de la pompe est 84 %, calculer la puissance absorb e par la pompe.

NB : Pour tous les exercices on n glige les pertes de charges dues aux forces de pesanteur.

Formulaire :

Le coefficient de pertes de charges des coudes arrondis est d termin par la relation suivante :

= [ 0,13 + 1,85 (D/(2 Ro)) 7/2 ] . /90

A.U. :2013-2014 55

M canique des fluides ISET Nabeul

Correction du Travaux Dirige s N 3

• Exercice 1:

1/- V1 = V2 = Qv / S = 0,86 . 4 / 0,52. P = 4,38 m. s-1

S = S1 = S2 = 0,52. P /4 =0,19635 m2

Qm = r . QV = 872 . 0,86 =750 kg.s-1

P2 = P1 pertes = 200000 r . g . h = 200000 872 . 9,81 . 1,2 =189735 Pa

2/- Th or me de lEuler appliqu au fluide du coude isol (

exerc es par le coude sur le fluide):

est la r sultante des actions

Projection sur x:

• Rx + P1S1 = - Qm . V1

RX = P1S1 + Qm . V1 = 200000 . 0,19635 + 750 . 4,38 =42555 N

Projection sur y:

Ry - P2S2 = - Qm . V2

Ry = P2S2 + Qm . V2 = 189735 . 0,19635 + 750 . 4,38 =40539 N

• Exercice 2:

1/- D termination du d bit volumique :

On a :

avec

Donc

A.N. :

• D termination du d bit massique :

On a :

A.N. :

2/- On a :

A.N. :

> 105 le r gime d coulement est un r gime turbulent rugueux.

3/- On a :

A.N. :

avec :

A.U. :2013-2014 56

Rr()122211.VVQRSPSPFm-=++= NRRRyx5877322=+=SVqv.=4.2dSp=4..2dVqVp=slsmqV/5,56/0565,03==r.Vmqq=skgqm/5,56=ndVRe.=5106=eR()()()1212212212121zzgppVVJ-+-+-=D-r21VV=kgJJ/2012=D

M canique des fluides ISET Nabeul

4/- On a :

A.N. :

5/- On a :

et

Donc on peut crire :

avec :

,

et

A.N. :

6/- On a :

avec

Donc on peut crire :

A.N. :

• Exercice 3 :

1/- D termination du d bit volumique :

On a :

avec

Donc

A.N. :

• D termination du d bit massique :

On a :

A.N. :

2/- On a :

A.N. :

3/- On a :

A.N. :

[3000 ; 105] le r gime d coulement est un r gime turbulent lisse.

avec

4/- On a :

avec

O : Kq = [ 0,13 + 1,85 (D/(2 Ro)) 7/2 ] . /90

A.U. :2013-2014 57

lVdJr..2.212D=l3108,4-=rlr.VqPw=()()()rr.12101012021VqPzzgppVV=-+-+-()()()01012021121zzgppVVw-+-+-=r01ZZ=smV/00=Pappatm5010==kgJw/5,452=mhPP=hmVhqwqwP...==rhmmqwP.=KWPm077,30=SVqv.=4.2DSp=4..2DVqVp=slsmqV/65,5/00565,03==r.Vmqq=skgqm/65,5=ndVRe.=5106,0=eRDLVpTll.2...2rl=D25,0).100(-=elRlPapl16,1429=D2..2VKpsr =D ++++= 90'.4KKKKKKCCGV

M canique des fluides ISET Nabeul

A.N. :

5/- On a :

A.N. :

6/- D termination de la puissance hydraulique :

On applique le th or me de Bernoulli entre les points O et G :

et

avec :

Donc

A.N. :

• D termination de la puissance m canique :

On a :

A.N. :

7/- On a :

A.N. :

• Exercice 4 :

1/- On a :

avec

Donc

A.N. :

2/- On a :

A.N. :

> 105 le r gime d coulement est un r gime turbulent Rugueux.

3/- On applique le th or me de Bernoulli entre les points 1 et 5 :

avec :

(surface libre de grand dimension) et

L quation de Bernoulli devient :

A.U. :2013-2014 58

Paps75,380=DslTpppD+D=DPapT91,1809=D()()()TVhGOGOGOpqPzzgppVVD-=-+-+-..2122rrsmVVVOG/==PappatmO510==)).(..(GatmTGOVhpppZZgqP-+D+-=rWPh72,1987=hhmPP=WPm5,2338=0..hhpmhPP=pmhPPhh.0=83,00=hSVqv.=4.2DSp=2..4DqVVp=smV/32,10=nDVRe.=61096,30=eR()()()1515152125..21pqPzzgppVVVD-=-+-+-rrsmVV/015==Papppatm51510===()1515..pqPzzgVD-=-r

M canique des fluides ISET Nabeul

Donc

A.N. :

4/-

a)- On a :

A.N. :

avec

b)- On applique le th or me de Bernoulli entre les points 1 et 4 :

avec :

,

et

Donc

A.N. :

5/- La puissance lectrique d velopp e par le groupe turbine-alternateur est :

La puissance lectrique absorb e par le groupe lectropompe est :

et ona aussi

o N est le nombre maximal des groupes lectropompes.

A.N. :

lectropompes.

A.U. :2013-2014 59

()1515..zzgqPpV--=Drbarp30,1315=DDLVpp.2...342343415rl=D=D3421534...2.LVDprlD=acos4334ZZL-=098,034=l()()()1414142124..21pzzgppVVD-=-+-+-rrsmV/01=smVV/32,104==3414ppD=D()1414214...21zzgpVpp--D--=rrbarp9,774=aThePPhh..=ehhePPhh.''=NPPee=''....hehaThPPNhhhh=10710=N