MØthodes Monte Carlo & Simulation des ModŁles Financiers

(cid:19)

z2

2

dz

oø

−∞

ln s0 − ln K +

√

d =

ν

T

(cid:16)

r + ν2

2

(cid:17)

T

.

(cid:22) Et, la variance thØorique est donnØe comme suit :

σ2 ≡ V ar (cid:2)e−rT max(S − K; 0)(cid:3)

(cid:17)

√

(cid:16)

= s2

0exp (cid:0)ν2T (cid:1) N

− 2s0Kexp(−rT )N (d)

d + ν

T

+ K 2exp(−2rT )N

(cid:16)

d − ν

− θ2.

√

(cid:17)

T

2. (cid:201)valuation d’un portefeuille : ConsidØrons deux titres A et B, et soient Sa(t) et Sb(t) les prix au

temps t des titres A et B. Au temps t = 0, on achŁte na unitØs de A et nb unitØs de B. Alors, la richesse

initiale est :

Et si on suppose qu’il n’ y a pas de transactions durant [0, T ], la richesse (cid:28)nale est :

W0 = naSa(0) + nbSb(0)

WT = naSa(T ) + nbSb(T )

Supposons de plus que Sa ∼ GBM (µa, σa), Sb ∼ GBM (µb, σb), et Sa et Sb sont indØpendantes.

(cid:20) WT

W0

(cid:201)crire un algorithme permettant d’estimer P

en utilisant les mØthodes Monte Carlo ? (C’est-

≤ 0.9

(cid:21)

(cid:224)-dire que la valeur du portefeuille diminue de 10%).

Indication :

Sa ∼ GBM (µa, σa) ⇔

Sa(T ) = Sa(0) exp

µa −

Sb ∼ GBM (µb, σb) ⇔

Sb(T ) = Sb(0) exp

µb −

(cid:26)(cid:18)

(cid:26)(cid:18)

avec Za et Zb sont des MB indØpendants.

1

1

2

1

2

(cid:19)

(cid:27)

T + σaZa(T )

σ2

a

(cid:19)

σ2

b

(cid:27)

T + σbZb(T )

3. (cid:201)valuer le quantile d’ordre respectivement α = 0.25 et α = 10−3 pour une taille de l’Øchantillon Øgale (cid:224)

n = 10, 102, 103, 104, 105, 106 ?

4. Supposons que la taille de l’Øchantillon est 100000 et que θ = 1%. DØterminer un intervalle de con(cid:28)ance

respectivement (cid:224) un niveau de 80%, 90% et 99%.

5. (cid:201)valuation d’une option dans le contexte NGARCH On va reprendre la tari(cid:28)cation des options

en utilisant comme modŁle de marchØ un processus NGARCH simulØ sur une base quotidienne. Le prix

St de l’actif sous-jacent (cid:224) la tiŁme journØe, sous la mesure neutre au risque Q, est, ∀t ∈ {0, 1, 2, ...},

ln

(cid:19)

(cid:18) St+1

St

= ρ −

1

2

ht+1 + (cid:112)ht+1.(cid:15)t+1

oø {(cid:15)t : t ∈ N} est une suite de variables alØatoires gaussiennes (d’espØrance nulle et de variance unitaire)

indØpendantes sous la mesure Q.

(cid:22) Le Processus h reprØsente la variance conditionnelle du rendement quotidien du titre :

ht+1 = V arQ

t

(cid:19)(cid:21)

(cid:20)

ln

(cid:18) St+1

St

(cid:22) Les paramŁtres sont choisis de sorte que ce modŁle de marchØ ait un comportement similaire (cid:224) celui

de Black & Scholes utilisØ dans l’exemple.

1. S0 = 100.

2. Le taux d’intØrŒt sans risque ρ est quotidien. Ainsi ρ×365 = r, d’oø ρ = 0.05/365 = 1.3699×10−4.

3. On prends des valeurs typiquement observØes pour les paramŁtres β : β0 = 0.00001, β1 = 0.8 et

β2 = 0.1.

4. La variance stationnaire est h∗ = β0

. Pour que la variance stationnaire

(quotidienne) soit Øquivalente (cid:224) celle utilisØe dans le cadre de Black & Scholes, on pose h∗ =

1 − β1 − β2

(cid:110)

(cid:104)

1 + ˜λ2(cid:105)(cid:111)−1

(cid:110)

β0

1 − β1 − β2

(cid:104)

1 + ˜λ2(cid:105)(cid:111)−1

5. Finalement, on pose h1 = h∗ = 1.0959 × 10−4.

= υ2/365 ce qui implique que ˜λ = 0.29580.

On vous demande de :

1. Les prix des options d’achat d’une maturitØ de 6 mois dont les prix d’exercices sont respectivement

0.8 × S0, 0.9 × S0, S0, 1.1 × S0 et 1.2 × S0 (cid:224) l’aide d’une simulation MontØ-Carlo pour des tailles

d’Øchantillon Øgales (cid:224) 5000, 10000, 25000 50000 et 100000.

2. Construire les intervalles de con(cid:28)ance autour de ces prix.

3. Noter les temps de calcul nØcessaires pour chaque taille d’Øchantillon.

4. Produisez un graphe prØsentant la marge d’erreur en abscisse et le temps de calcul en ordonnØe.

6. (cid:201)valuation d’une option Asiatique : On veut Øvaluer le prix d’un call europØen asiatique en recourant

(cid:224) la simulation Monte-Carlo. Le payo(cid:27) d’une telle option est de : (cid:0) ¯S − X(cid:1)+

, oø ¯S est la moyenne du

prix du sous-jacent calculØe sur la durØe de vie de l’option. L’option asiatique dØpend donc du sentier

suivi par l’action jusqu’(cid:224) l’ØchØance de l’option. On dit en anglais qu’elle est path-dependant. Le prix de

l’option asiatique est Øgal (cid:224) l’espØrance neutre au risque suivante :

C(t, s) = e−r(T −t)EQ (cid:2)( ¯S − X)+(cid:3)

EQ Øtant une intØgrale, on l’Øvalue par la simulation Monte-Carlo. En termes discrŁtes, le prix de l’option

se ramŁne (cid:224) l’expression suivante, qui est directement calculable par la simulation de Monte-Carlo :

¯C = e−r(T −t)

(cid:35)

CFi

(cid:34) n

(cid:88)

t=1

1

n

n Øtant le nombre d’itØrations de la simulation et CFi(T ) : [ ¯Si(T ) − K]+, oø Si(T ) est la moyenne des

prix de l’action lors de l’itØration i, qui est une variable alØatoire. Pour e(cid:27)ectuer la simulation, on se

donne d’abord une reprØsentation log-normale du prix de l’action :

St+1 = Ste(r− 1

2 σ2)∆t+σ

√

∆t.(cid:15)

2

oø (cid:15) ∼ N (0, 1). L’Øquation prØcØdente est une solution du mouvement brownien gØomØtrique suivant

dont il est supposØ pour le prix de l’action dans l’univers neutre au risque :

dS = rSdt + σSdZ

oø dZ = (cid:15)dt. Les Øtapes de calcul du prix d’un call europØen asiatique par la mØthode de simulation de

Monte-Carlo sont les suivantes :

1. Diviser la durØe T de l’option en m pas ∆t =

. ∆t est dØ(cid:28)nie sur une base annuelle puisque tous

T

m

les paramŁtres du call sont exprimØs sur une base annuelle.

2. GØnØrer un premier nombre alØatoire (cid:15) et calculer S1 (cid:224) partir de S0 (connu).

3. GØnØrer d’une fa(cid:231)on sØquentielle d’autres variables alØatoires et les substituer dans le processus du

prix de l’action.

4. On obtient en bout de piste, une trajectoire (path) de S. On calcule alors sa moyenne sur la trajectoire :

¯Si =

(cid:88)

Sj

1

m

5. On calcule le cash-(cid:29)ow (cid:28)nal de l’option asiatique pour cette trajectoire :

CFi = ( ¯Si − K)+

On e(cid:27)ectue N itØrations et on obtient un cash-(cid:29)ow respectif pour chaque itØration.

6. On obtient (cid:28)nalement le prix du call asiatique :

L’Øcart-type de cette estimation est le suivant :

ˆC = e−r(T −t) CFi

N

ˆs2 =

1

n − 1

(cid:88) (cid:16)

C − i − ˆC

(cid:17)2

oø Ci = e−r(T −t)CFi, i symbolisant l’itØration.

On vous demande de faire une application numØrique :

1. S0 = 80, K = 85, T = 1 an, r = 0.05, σ = 0.2, n = 1000. InterprØter ?

2. DØterminer le prix des options d’achat d’une maturitØ de 6 mois dont les prix d’exercice sont respec-

tivement 0.8 × S0, 0.9 × S0, S0, 1.1 × S0, 1.2 × S0 (cid:224) l’aide d’une simulation Monte Carlo pour des

tailles d’Øchantillon Øgales (cid:224) 5000, 10000, 25000, 50000 et 100000.

3. Construire les intervalles de con(cid:28)ance autour de ces prix.

4. Noter les temps de calcul pour chaque taille d’Øchantillon.

5. Produisez un graphe prØsentant la marge d’erreur en abscisse et le temps de calcul en ordonnØe.

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