Lois générales de l’électricité en régime continu

R1

I3

R3

r

R3

r

R2

J3

I3

R3

r

R3

r

I

=

I

1

+

I

2

+

I

3

=

'I

+

I

3

"Michel Piou" - 23/05/2005

Lois générales de l’électricité en régime continu - 5

4 THEOREMES DE THEVENIN ET DE NORTON EN REGIME CONTINU.

Réseau

linéaire

A

i

u

B

Réseau

électrique

Soit un réseau électrique linéaire (3) constituant un

dipôle, mis en relation avec un autre réseau électrique

(linéaire ou non) par l’intermédiaire de deux nœuds A

et B.

On pourrait montrer (on ne le démontrera pas) que la

caractéristique u( i ) de ce dipôle est du type :

u

0

i

On en déduit, d’après le § 2 que ce dipôle linéaire peut être modélisé par un dipôle équivalent de

Thévenin ou par un dipôle équivalent de Norton :

0 V 0 A

ETH

ETH

A vide :

Rien n’est

relié aux

bornes AB

A

B

A

Réseau

linéaire

Req

B

0 A

Req

A

B

Icc

0 V

Req

ETH

A

B

Icc

Req

A

B

ETH est la tension vue entre les deux bornes A et B

lorsque le dipôle est à vide. (réseau linéaire non relié au

second réseau électrique).

u

ETH

0

i

Icc est le courant de court-circuit entre les deux bornes

A et B.

Icc

u

En court-circuit, le courant dans

eqR

est

nul.

(3 ) Voir le chapitre 1.

0

Icc

i

"Michel Piou" - 23/05/2005

Lois générales de l’électricité en régime continu - 6

Les modèles de Thévenin et de Norton sont reliés par la relation

I =

cc

E

TH

R

eq

(voir §2.2 )

Par ailleurs, on pourrait démontrer (on ne le démontrera pas) que :

eqR est la résistance vue entre les deux bornes du dipôle AB lorsque toutes les sources

indépendantes sont remplacées par leur résistance interne.

En résumé :

Le théorème de Thévenin affirme que :

Tout réseau linéaire constituant un dipôle en régime continu peut être remplacé par un dipôle

équivalent constitué d’une source de tension

en série avec une résistance

tels que :

ETH

eqR

ETH est la tension vue entre les deux bornes du dipôle lorsqu’il est à vide. (dipôle linéaire non relié

au second dipôle électrique).

eqR est la résistance vue entre les deux bornes du dipôle lorsque toutes ses sources indépendantes

sont remplacées par leur résistance interne.

Le théorème de Norton affirme que :

Tout réseau linéaire constituant un dipôle en régime continu peut être remplacé par un dipôle

équivalent constitué d’une source de courant indépendant

eqR

en parallèle avec une résistance

Icc

tels que .

Icc est le courant de court-circuit entre les deux bornes de ce dipôle.

eqR est la résistance vue entre les deux bornes du dipôle lorsque toutes ses sources indépendantes

sont remplacées par leur résistance interne.

Ces théorèmes sont à connaître par cœur même s’il est difficile de bien les comprendre dans un

premier temps.

"Michel Piou" - 23/05/2005

Lois générales de l’électricité en régime continu - 7

Exemple d’application du théorème de Thévenin :

Soient trois dipôles linéaires en série remplacés par leur dipôle équivalent de Thévenin :

E1

R1

E2

R2

E3

R3

A

En appliquant le théorème de Thévenin,

déterminer

le dipôle équivalent de

Thévenin de l’ensemble du dipôle AB.

(Réponse 9:)

B

En conclusion : Lorsque des dipôles sont en série, il est conseillé d’utiliser le Théorème de

Thévenin.

Exemple d’application du théorème de Norton :

Soient trois dipôles linéaires en parallèle remplacés par leur dipôle équivalent de Norton :

I1

I2

I3

R1

R2

R3

En appliquant le théorème de Norton,

déterminer

le dipôle équivalent de

Norton de l’ensemble du dipôle AB.

(Réponse 10:)

B

A

En conclusion : Lorsque des dipôles sont en parallèle, il est conseillé d’utiliser le Théorème de

Norton.

5 EXEMPLE D’APPLICATION DES THEOREMES:

A

R2

R1

E1

I2

On veut déterminer un schéma équivalent au dipôle AB. Nous

disposons maintenant de plusieurs outils qui peuvent grandement

simplifier l’étude des réseaux linéaires :

1° solution: Calculer

eqR

et

Icc

par la loi des mailles et des nœuds .

B

En déduire

ETH

.

(Réponse 11:)

2° solution: Convertir le générateur

en son équivalent de

Norton, puis convertir l’ensemble des générateurs en équivalent de

Thévenin. En déduire

E1 R1

,

.

ETH

3° solution: Calculer

fléchage correct des tensions.

ETH

à partir de la définition de la tension équivalente de Thévenin et d’un

"Michel Piou" - 23/05/2005

Lois générales de l’électricité en régime continu - 8

6 EXERCICES SUR LES RESEAUX LINEAIRES EN COURANT CONTINU

Chap 2. Exercice 1 : Théorème de Thévenin.

Objectif: mettre en œuvre le théorème de Thévenin.

appliquer la formule du pont diviseur de tension.

R1

A

R2

E1

R3

E2

B

i2

E1 = 10 V, E2 = 5 V

R1 = 15 Ω, R2 = 10 Ω et R3 = 5 Ω

On veut exprimer le courant i2 en fonction des

éléments du montage. Pour ce faire, on peut remplacer

tout le montage par un schéma plus simple, sauf la

branche qui contient i2 :

a) Calculer le schéma équivalent de Thévenin du

dipôle AB (constitué de E1, R1 et R3). (Penser au pont

diviseur de tension...).

b) Après avoir remplacé E1, R1 et R3 par ce dipôle

équivalent, en déduire la valeur de i2 par la loi des

mailles

Comparer cette solution avec la résolution du même exercice effectuée précédemment par les lois

de Kirchhoff.

Chap 2. Exercice 2 : Théorèmes de Thévenin et Norton.

Objectif: mettre en œuvre les théorèmes de Thévenin et Norton.

R1

A

R2

On veut exprimer i3, en fonction de E1, E2, R1, R2, et R3.

E1

R3

i3

B

E1 = 10 V, E2 = 5 V

R1 = 15 Ω, R2 = 10 Ω et R3 = 5 Ω

E2

Pour ce faire, on peut remplacer tout le montage par un

schéma équivalent plus simple, sauf la branche qui

contient i3.

Calculer le schéma équivalent de Norton du dipôle AB

(constitué de E1, E2, R1 et R2). En déduire le schéma

équivalent de Thévenin de ce dipôle.

En déduire la valeur de i3.

Comparer cette solution avec la résolution du même

exercice effectuée précédemment par

lois de

Kirchhoff.

les

"Michel Piou" - 23/05/2005

Lois générales de l’électricité en régime continu - 9

Chap 2. Exercice 3 : Théorèmes de superposition.

Objectif: Mettre en œuvre le théorème de superposition. Appliquer la formule du pont diviseur de

courant.

R1

A

R2

On veut exprimer i3, en fonction de E1, E2, R1, R2, et

R3.

E2

Pour ce faire, on peut appliquer le théorème de

superposition :

E1

R3

i3

B

E1 = 10 V, E2 = 5 V

R1 = 15 Ω, R2 = 10 Ω et R3 = 5 Ω

R1

i1

R2

R1

i’1

R2

R1

R2

E1

R3

i3

E2

E1

R3

i’3

R3

i’’3

E2

Calculer i’1.

En déduire i’3 par la formule du pont diviseur de courant. Procéder de même pour calculer i’’3.

En utilisant le théorème de superposition, en déduire la valeur de i3.

Chap 2. Exercice 4 : Problème de méthode:

Pour le schéma ci-dessous, déterminer par application du théorème de THEVENIN, le dipôle

équivalent entre les bornes A et B.

E

+

-

Cet exercice peut paraître compliqué et

c’est volontaire. Il est destiné à mettre

l’accent sur la nécessité d’avoir une

approche méthodique.

R

E

+

-

R

R

R

+

-

E

R

A

B

Repérer les dipôles en série et les

remplacer par leur schéma équivalent

de Thévenin.

Le résultat demandé s’obtient alors

sans aucun calcul …

"Michel Piou" - 23/05/2005

Lois générales de l’électricité en régime continu - 10

Chap 2. Exercice 5 : Problème de méthode

A

On considère le réseau représenté par le schéma ci-contre:

R1

R2

En utilisant le théorème de Thévenin, calculer le courant

dans la résistance R.

E1

E2

R

E3

R3

B

On donne:

E1 = 3 V. R1 = R2 = R3 = 2Ω .

E2 = 1 V. R = 5 Ω .

E3 = 2 V.

Méthode :

Indiquer les valeurs numériques directement sur le schéma

(C’est possible ici car les valeurs sont simples et il y a peu

de composants).

Identifier les dipôles en parallèle et les dipôles en série et utiliser la dualité Thévenin Norton.

Déterminer le modèle équivalent de Thévenin du dipôle AB, puis utiliser la loi des mailles

Chap 2. Exercice 6 : Travail avec des schémas successifs.

Par application du théorème de THEVENIN, calculer le modèle équivalent entre les bornes A et B à

l’ensemble du réseau dont le schéma encadré est ci-dessous.

En déduire le courant I.

A1

2.R

A2

R

2.E

E

A

2.E

R

2.R

2.R

R

B1

B2

B

I

Méthode :

Avancer en simplifiant le

schéma de proche en

proche en partant de la

gauche :

Déterminer

schéma

équivalent au dipôle à

gauche de A1B1. Faire

de même avec A2B2. Puis

faire de même avec AB.

le

"Michel Piou" - 23/05/2005

Lois générales de l’électricité en régime continu - 11

Chap 2. Exercice 7 : Transformation Thevenin-Norton 1

2.R

2.E

R

2.I

E

2.R

I

R

R1

I1

Calculer le courant dans la

résistance R1 en fonction

de E, I, R et R1.

Méthode : Pour simplifier

les dipôles en parallèle,

les mettre sous forme de

schémas équivalents de

Norton. Pour simplifier

les dipôles en série, les

forme de

mettre sous

schémas équivalents de

Thévenin

Chap 2. Exercice 8 : Transformation Thevenin-Norton 2

2.R

E

R

I

2.E

2.R

I

4.E

R

R

I1

Chap 2. Exercice 9 : Source de courant commandée.

En

la

appliquant

transformation THEVENIN

⇔ NORTON et une loi des

mailles, calculer le courant I1

en fonction de E, I, R.

a) vb et ic sont des sources indépendantes (qui ne dépendent

d’aucun élément du schéma).

Déterminer la résistance équivalente du dipôle A’B’ ci-

contre.

Rc

ic

A’

B’

b) Le coefficient β est constant.

β.ib

Rc

Attention la source de courant

dépendante !

bi.β

est linéairement

vb

vb

Rb

ib

Rb

ib

A

Re

ie

B

Calculer la tension équivalente de Thévenin et le courant

équivalent de Norton du dipôle AB ci-contre (ensemble du

montage sauf Re).

En déduire la résistance équivalente du dipôle AB. Pourquoi est-elle différente de celle du dipôle

A’B’ ?

En utilisant le modèle équivalent de Thévenin du dipôle AB, Exprimer ie en fonction de vb , Rb , Re

et β. Retrouver ce résultat en appliquant la loi des mailles.

"Michel Piou" - 23/05/2005

Lois générales de l’électricité en régime continu - 12

7 CE QUE J’AI RETENU DE CE CHAPITRE.

L’objectif de ce questionnaire est d’aider l’étudiant à évaluer lui-même sa connaissance du cours. Il

est conseillé de répondre sur une feuille de papier et de ne pas se contenter du sentiment d’avoir

« entendu parler ».

1. Soit une source « réelle » dont la caractéristique u(i) est une droite. Faire

figurer sur celle-ci le courant de court-circuit et la tension à vide.

Représenter son modèle équivalent de Thévenin et son modèle équivalent

de Norton. Préciser la valeur de sa résistance interne, de sa tension

équivalente de Thévenin et de son courant équivalent de Norton.

u

0

i

u

i

2. Ecrire le théorème de superposition. (Le théorème doit être énoncé sans oublier un seul des mots

mis en gras dans le texte du cours) (il est conseillé d’illustrer celui-ci par un petit exemple).

3. Ecrire la définition de la tension équivalente de Thévenin, de la résistance équivalente et du

courant équivalent de Norton. Quelle relation existe entre ces trois grandeurs ?

"Michel Piou" - 23/05/2005

Lois générales de l’électricité en régime continu - 13

8 REPONSES AUX QUESTIONS DU COURS

Réponse 1: U à vide = Uo

Réponse 2:

I en court-circuit = Io

Réponse 3:

u = – (Uo/Io).i + Uo

u = – Rin.i + Uo

Réponse 4:

Par identification avec l’équation « u = – (Uo/Io).i + Uo », on en déduit que la résistance interne

Rin doit avoir la valeur Rin = Uo/Io pour que le schéma de Thévenin soit équivalent au dipôle

« source non-idéale » précédemment décrite.

Réponse 5: Par la loi des nœuds : i = Io – u/Rin ⇔ u = – Rin.i + Rin .Io

Par identification avec l’équation « u = – (Uo/Io).i + Uo », on en déduit que la résistance interne

Rin doit avoir la valeur Rin = Uo/Io pour que le schéma de Norton soit équivalent au dipôle « source

non-idéale » précédemment décrite.

Réponse 6: Une source de tension idéale peut être modélisée par un schéma équivalent de

Thévenin à condition de faire disparaître sa résistance interne en série (en la remplaçant par un

court-circuit ; c’est à dire un simple conducteur), donc : Rin = 0.

i

-

+

Rin = 0

Uo

U = Uo

La résistance interne d’une source de tension idéale est nulle.

Réponse 7: Une source de courant idéale peut être modélisée par un schéma équivalent de

Norton à condition de faire disparaître sa résistance interne en parallèle (en la remplaçant par un

circuit ouvert (c’est à dire une résistance infinie)).

Io

i

Rin = ∞

U est indéfini

La résistance interne d’une source de courant idéale est infinie.

"Michel Piou" - 23/05/2005

Lois générales de l’électricité en régime continu - 14

Réponse 8:

R

Io

R

Eo

R

V

Eo

R

Eo/2

R

R

Io

−

R

2

Io.

La source de courant

est remplacée par un

circuit ouvert

La source de tension

est remplacée par un

court-circuit

V

=

Eo

2

−

R

2

Io.

Réponse 9:

A vide (I = 0) : A

E1

0

R1

0

E2

E3

R2

0

R3

0

B

ETH = E1 - E2 + E3

Si E1, E2 et E3 sont remplacées par leur résistance interne (c’est à dire une résistance nulle) :

A

R1

R2

R3

B

Req = R1 + R2 + R3

Réponse 10:

En court-circuit (VAB = 0) :

I1

0

I2

0

I3

0

B

R1

R2

R3

Icc

A

Icc = I1 - I2 + I3

Si I1, I2 et I3 sont remplacées par leur résistance interne (c’est à dire une résistance infinie) :

R1

R2

R3

B

A

R

eq

=⇒

⎛

⎜⎜

⎝

1

R

1

+

1

R

2

+

1

R

3

⎞

⎟⎟

⎠

1

−

(

R

1

1

−

=

1

−

+

R

2

+

R

3

) 1

−−

1

"Michel Piou" - 23/05/2005

Lois générales de l’électricité en régime continu - 15

Réponse 11:

1° solution : Calcul de Req : En appliquant la définition de la résistance équivalente On remplace

les deux générateurs indépendants par leur résistance interne : E1 est remplacé par un court-circuit

et I2 par un circuit ouvert. (voir la figure 1) . On obtient :

R

R

=

.

A

R2

Req

B

R1

Fig 1

eq

2

+

R

1

I2 - Icc

R1

E1

I2

Fig 2

R2

A

B

Icc

Calcul de Icc :Le courant de court-circuit est le courant qui passe entre les bornes A et B

lorsqu’elles sont « court-circuitées » (c’est à dire qu’elles sont reliées par un simple conducteur).

IR

+

21

R

+

Par la loi des mailles on obtient (voir la figure 2) :

I

=⇔

cc

(

IR

1

I.R

2

E

+

=

−

cc

cc

)

I

2

1

E

1

R

1

2

.

En conséquence :

2° solution :

E

TH

=

I.R

eq

cc

=

E

1

+

I.R

21

R2 A

R2 A

R1

R2 A

E

R

1

1

R1

I2

E

R

1

1

+

I

2

R1

⎛

⎜⎜

⎝

E

R

1

1

I

+ 2

⎞

1R.⎟⎟

⎠

B

B

B

En appliquant l’équivalence Thévenin Norton (transformations successives du schéma), on

obtient presque sans calcul:

et

R

R

E

E

.

+

=

+

=

2

TH

1

I.R

1

2

eq

R

1

3° solution :

I2

0

A

0

R2

R1 I2

R1

E1

I2

THE

B

La tension équivalente de Thévenin est la tension aux bornes du dipôle lorsqu’il est à vide c’est à

dire lorsque rien n’est relié à l’extérieur des bornes AB.

Par la loi des mailles, on obtient :

E

E

=

+

TH

1

I.R

1

2

En conclusion, il n’existe pas une méthode unique pour résoudre un problème de réseaux linéaires.

Pour faire les choix les plus judicieux, il convient de s’entraîner.

"Michel Piou" - 23/05/2005