Logique des Pr dicats
Interpr tation de formules
En logique des pr dicats un terme
)
(5a
5V
peut tre un des trois types:
constante 5N, 5O, 5P
variable 5e, 5f, 5g ...
fonction 5S(5a1, 5a2, 5a3,...)
Une proposition simple s crit:
5C(5a1, 5a2, 5a3, ...)
avec
5a5R5_5Z5R
5C: 5C5_ 5Q5V5P5N5a 5R5a 5a
5V
Exemple: 2+2=4: Egale(4, plus (2,2))
5C5_ 5Q5V5P5N5a: 5T5N5Y5R 5Q5\5[5a 5Y5R5` 5a5R5_5Z5R5`: 5a
1
: 5S5\5[5P5a5V5\5[ 5C5Y5b5` (2, 2)
= 4 : 5P5\5[5`5a5N5[5a5R; 5R5a 5a
2
5\ 2 5R5a 2 5`5\5[5a 5Y5R5` 5a5R5_5Z5R5` 5Q5R 5Y5N 5S5\5[5P5a5V5\5[ 5C5Y5b5`.
Proposition avec quantificateurs:
5`5\5[5a 5Y5R5` 5a5R5_5Z5R5` 5e, 5c5N5_5V5N5O5Y5R 5R5a 5^5b5N5[5a5V5S5V5P5N5a5R5b5_ 5b5[5V5c5R5_5`5R5Y
,....) 5\5b 5C: 5C5_ 5Q5V5P5N5a 5R5a 5a
5e 5C(5e, 5a
5V
5V
5`5\5[5a 5Y5R5` 5a5R5_5Z5R5` 5f, 5c5N5_5V5N5O5Y5R 5R5a 5^5b5N5[5a5V5S5V5P5N5a5R5b5_ 5b5[5V5c5R5_5`5R5Y
,....) 5\5b 5C: 5C5_ 5Q5V5P5N5a 5R5a 5a
5f 5C(5f, 5a
5W
5W
Une formule mettrait en connection ( en utilisant les connecteurs de bases ) des
propositions:
,....)
, 5a
,....) 5P5\5[5[5R5P5a5R5b5_ 5D(5a
, 5a
5C(5a
2
1
2
1
ou encore: 5e 5C(5e, 5a
,....)
,....) 5P5\5[5[5R5P5a5R5b5_ 5f 5C(5f, 5a
5W
5V
en utilisant les connecteurs de base : , (, ', ,
Objectif: Interpr ter une propositions ou une formule selon le point de vue de la logique
des pr dicats cest d terminer la valeurs de v rit proposition/ formules:
1- Pr senter la mani re dinterpr ter en logique des pr dicats.
2- Interpr tation des termes (pr ciser les images des terms dans le domaine
dinterpr tation)
3-interpr tation de propositions de base
proposition simple 5C(5a1, 5a2, 5a3, ...) > 5<(5C(5a1, 5a2, 5a3, ...)) = 5c/5S?
proposition avec quantificateur (
)
5R5a
5e5C(5e, 5a5V, 5a5W, ...) 5\5b 5R5[5P5\5_5R 5e5C(5e, 5a5V, 5a5W, ...)
;
5<(5e5C(5e, 5a5V, 5a5W, ...) = 5c/5S? 5<(5e5C(5e, 5a5V, 5a5W, ...)) = 5c/5S?
4- Interpr tation de formules: c d des propositions connect es entre elles par des
connecteurs logiques. 5<((5C(5a
)) = 5c/5S?
) 5P5\5[5[5R5P5a5R5b5_ 5D(5a
5W
5V
1- Interpr tation en logique des pr dicats:
Pour interpr ter une proposition ou une formule il faut se donner tout dabord:
un vocabulaire 5d{ 5P5\5[5`5a5N5[5a5R5` , 5c5N5_5V5N5O5Y5R, 5S5\5[5P5a5V5\5[5`, 5C5_ 5Q5V5P5N5a5`}
un domaine dinterpr tation, qui est un ensemble non vide 57{5Q
,....}
, 5Q
, 5Q
3
2
1
une fonction dinterpr tation telle que
5<
limage de chaque constante par I dans D
5<(5P5\5[5`5a5N5[5a5R(5`)) 57
Advertisement
5<(5c5N5_5V5N5O5Y5R5`(5`)) 57
5<(5S5\5[5P5a5V5\5[5`(5`)) 57
5R5a 5P5N5^5b5R 5]5_ 5Q5V5P5N5a 5b5[5R 5_5R5Y5N5a5V5\5[ 5Q5N5[5` 57
2- Interpr tation des termes:
Interpr ter les termes dans D selon une fonction dinterpr tation I
Exemple
5?5R 5c5\5P5N5O5b5Y5N5V5_5R 5J { 5N, 5O, 5P, 5Q : 5P5\5[5`5a5N5[5a5R5`; 5e, 5f: 5c5N5_5V5N5O5Y5R5` 5R5a 5S: 5b5[5R 5S5\5[5P5a5V5\5[, (5C5_ 5Q5V5P5N5a5`?)}
5?5R 5Q5\5Z5N5V5[5R 5Q5V5[5a5R5_5]5_ 5a5N5a5V5\5[ 57 = {0, 1, 2, 3}
585a 5`5\5V5a 5Y5N 5S5\5[5P5a5V5\5[ 5Q5V5[5a5R5_5]5_ 5a5N5a5V5\5[ 5< 5a5R5Y5Y5R 5^5b5R:
5<(5N) = 0, 5<(5O) = 1, 5<(5P) = 2 5R5a 5<(5Q) = 3
5<(5e) = 1 5R5a 5<(5f) = 0
5<(5S)(0, 0) = 0, 5<(5S)(0, 1) = 0, 5<(5S)(1, 0) = 2, 5<(5S)(2, 3) = 2, 5<(5S)(3, 3) = 3, 5<(5S)(...,...) = 3
Interpr ter :
1.
2.
3.
4.
donn e dans l nonc
donn e dans l nonc
5<(5N) =?
5<(5f) =?
5<(5S(5N, 5e)) =?
5<(5S(5f, 5S(5N, 5O)) =?
5<(5S)(5<(5f), 5<(5S(5N, 5O)) = 5<(5S)(0, 5<(5S)(5<(5N), 5<(5O))) = 5<(5S)(0, 5<(5S)(0, 1)) = 5<(5S)(0, 0) = 0.
5<(5S)(5<(5N), 5<(5e)) = 5<(5S)(0, 1) = 0
5<(5N) = 0
5<(5f) = 0
5. 5S(5e, 5S(5f, 5O)) = ?
5S 5N 5Q5R5b5e 5a5R5_5Z5R : 5e 5R5a 5S(5f, 5O)
5<(5S(5f, 5S(5O, 5e)) = 5<(5S)(5<(5e), 5<(5S(5f, 5O)) = 5<(5S)(1, 5<(5S) (5<(5f), 5<(5O)) = 5<(5S)(1, 5<(5S)(0, 1)) = 5<(5S)(1, 0) = 2
3- Interpr tation dune proposition (lui attribuer une valeur de v rit )
Interpr ter les propositions selon une fonction dinterpr tation I:
Proposition simple 5C(5a
,....)
, 5a
2
1
), 5<(5a
(
,...)) = 5c 5`5`5V 5<(5a
, 5a
5<(5C(5a
2
1
1
Proposition quantifi e
),....) 5<(5C)
2
,....)) = 5c 5`5`5V 5]5\5b5_ 5a5\5b5a 5Q 57, 5<
5<(5e 5C(5e, 5a
5V
,....)) = 5c 5`5`5V 5V5Y 5R5e5V5`5a5R 5Q 57, 5<
5<(5e 5C(5e, 5a
5V
5e=5Q
..) = 5c
(5C(5e, 5a
5V
5e=5Q
..) = 5c
(5C(5e, 5a
5V
Exemple:
Soient:
le vocabulaire 5J{5N, 5O: 5P5\5[5`5a5N5[5a5R5`, 5S: 5S5\5[5P5a5V5\5[, 5C: 5C5_ 5Q5V5P5N5a}
le domaine d'interpr tation 57{1, 2}
la fonction dinterpr tation 5<
5<(5N) = 1; 5<(5O) = 2
5<(5S(1)) = 2; 5<(5S(2)) = 1
5<(5C(2, 1)) = 5S5N5b5e; 5<(5C(2, 2)) = 5S5N5b5e; 5<(5C(1, 2)) = 5c5_5N5V; 5<(5C(1, 1)) = 5c5_5N5V
est une proposition simple dont le pr dicat est P et les termes sont b et f(b) - le
5C(5O, 5S(5O))
1- Interpr ter 5C(5O, 5S(5O))
Or
premier terme est une constante et le second est une fonction.
5<(5C(5O, 5S(5O)) = 5c/5S?
5<(5C(5O, 5S(5O)) = 5c 5`5`5V 5<(5O), 5<(5S(5O))
(
5<(5C(5O, 5S(5O)) = 5c 5`5`5V 2, 5<(5S)(5<(5O)
5<(5C(5O, 5S(5O)) = 5c 5`5`5V 2, 5<(5S)(2)
5<(5C(5O, 5S(5O)) = 5c 5`5`5V (2, 1) 5<(5C)
or
et par cons quent
Advertisement
5<(5C(2, 1)) = 5S5N5b5e
(2, 1) 5<(5C)
) 5<(5C)
) 5<(5C)
) 5<(5C)
donc
(
(
5<(5C(5O, 5S(5O)) = 5S5N5b5e
2. Interpr ter 5C(5S(5N), 5O))
5<(5C(5S(5N), 5O)) = 5c/5S?
5<(5C(5S(5N), 5O)) = 5c 5`5`5V (5<(5S(5N)), 5<(5O)) 5<(5C)
5<(5C(5S(5N), 5O)) = 5c 5`5`5V (5<(5S)(5<(5N)), 5<(5O)) 5<(5C)
5<(5C(5S(5N), 5O)) = 5c 5`5`5V (5<(5S)(1), 2) 5<(5C)
5<(5C(5S(5N), 5O)) = 5c 5`5`5V (2, 2) 5<(5C)
or
5<(5C(2, 2)) = 5S5N5b5e
(2, 2) 5<(5C)
donc
et par cons quent
5<(5C(5S(5N), 5O)) = 5S5N5b5e
3. 5<(5C(5N, 5O)) = 5c/5S?
(
5<(5C(5N, 5O)) = 5c 5`5`5V 5<(5N), 5<(5O)
5<(5C(5N, 5O)) = 5c 5`5`5V 1, 2(
donc
5\5_ 5<(5C(1, 2)) = 5c5_5N5V
) 5<(5C)
) 5<(5C)
5<(5C(5N, 5O)) = 5c
) = 5c 5`5`5V 5]5\5b5_ 5a5\5b5a 5Q 57 5\5[ 5N 5<
(5C(5O, 5e)) = 5c
4. 5<(5e5C(5O, 5e)) = 5c/5S?
(
5< 5e5C(5O, 5e)
or 5Q {1, 2} 5Q5\5[5P 5\5[ 5N
(
5< 5e5C(5O, 5e)
) = 5c 5`5`5V 5<
5e=1
) = 5c 5`5`5V 5<
5e=1
(5C(5O, 5e)) = 5c
et
(5C(5O, 5e)) = 5c
5< 5e5C(5O, 5e)
(
(5C(5O, 1)) = 5c
(5C(5O, 2)) = 5c
5e=5Q
5<
5e=2
5<
5e=2
et
or 5<
(5C(5O, 1) = 5c 5`5`5V (5<(5O), 1) 5<(5C)
5e=1
(5<(5O), 1) = (2, 1)
(2, 1) 5<(5C) 5Q5\5[5P 5<
or
5e=1
(5C(5O, 1)) = 5S5N5b5e 5R5a 5]5N5_ 5P5\5[5` 5^5b5R5[5a 5< 5e5C(5O, 5e)
(
) = 5S5N5b5e
5. 5<(5e5C(5N, 5e)) = 5c/5S?
(
5< 5e5C(5N, 5e)
) = 5c 5`5`5V 5V5Y 5R5e5V5`5a5R 5Q 57 5a5R5Y 5^5b5R 5<
(5C(5N, 5e)) = 5c
5e=5Q
5< 5e5C(5N, 5e)
(
) = 5c 5`5`5V 5V5Y 5R5e5V5`5a5R 5Q {1, 2} 5a5R5Y 5^5b5R 5<
(5C(5N, 5e)) = 5c
5e=5Q
c d 5Q = 1 5\5b 5Q = 2
5\5_ 5<
5e=5Q
(5C(5N, 5e)) = 5c 5`5`5V (5<(5N), 5Q) 5<(5C)
), ....
), 5<(5a
...)) = 5c 5`5`5V 5<(5a
, 5a
, 5a
Advertisement
5R5[ 5N5]5]5Y5V5P5N5a5V5\5[ 5Q5R 5Y5N 5_ 5T5Y5R : 5<(5C(5a
2
1
3
2
1
(
) 5<(5C)
)
or
(1, 5Q) ? 5<(5C)
; pour
5Q = 1 5\5[ (1, 1) 5<(5C) 5P5N5_ 5<(5C(1, 1)) = 5c5_5N5V 5Q5\5[5P 5<(5e5C(5N, 5e)) = 5c
6- 5<(5e5C(5S(5O), 5e)) = 5c/5S?
(
5< 5e5C(5S(5O), 5e)
) = 5c 5`5`5V 5V5Y 5R5e5V5`5a5R 5Q 57 5\5[ 5N 5<
(5C(5S(5O), 5e)) = 5c
5e=5Q
5< 5e5C(5S(5O), 5e)
(
) = 5c 5`5`5V 5V5Y 5R5e5V5`5a5R 5Q {1, 2} 5\5[ 5N 5<
(5C(5S(5O), 5Q)) = 5c
5e=5Q
or 5<
(5C(5S(5O), 5Q)) = 5c 5`5`5V (5<(5S(5O)), 5Q) 5<(5C)
5e=5Q
5\5_ (5<(5S)(5<(5O)), 5Q) = (5<(5S)(2), 5Q) = (1, 5Q)
5Q5\5[5P 5< 5e5C(5S(5O), 5e)
on conclut que 5<(5e5C(5S(5O), 5e)) = 5c
(
) = 5c 5`5`5V 5V5Y 5R5e5V5`5a5R 5Q {1, 2} 5\5[ 5N (1, 5Q) 5<(5C) 5]5\5b5_ 5Q = 1 5\5b 5R5[5P5\5_5R 5Q = 2
7- 5<(5e5C(5e, 5S(5N))) = 5c/5S?
(
5< 5e5C(5e, 5S(5N))
) = 5c 5`5`5V 5V5Y 5R5e5V5`5a5R 5N5b 5Z5\5V5[5` 5Q {1, 2} 5a5R5Y 5^5b'5\5[ 5N 5<
(5C(5e, 5S(5N))) = 5c
5e=5Q
or 5<
(5C(5e, 5S(5N))) = 5c 5`5`5V (5Q, 5<(5S(5N))) 5<(5C)
5e=5Q
or (5Q, 5<(5S(5N))) ? 5<(5C) (5Q, 5<(5S)(5<(5N)) (5Q, 5<(5S)(1)) (5Q, 2)
5<
5e=5Q
(5C(5e, 5S(5N))) = 5c 5`5`5V (5Q, 2) 5<(5C) ?
est-ce quil existe 5Q {1, 2} 5a5R5Y 5^5b5R (5Q, 2) 5<(5C) 5\5_ 5]5\5b5_ 5Q = 1 5\5[ 5N (1, 2) 5<(5C)
et donc 5< 5e5C(5e, 5S(5N))
) = 5c 5P5N5_ 5]5\5b5_ 5Q = 1 5a5R5Y 5^5b'5\5[ 5N 5<
(5C(5e, 5S(5N))) = 5c
(
5e=1
8- 5<(5e5f5C(5e, 5f)) = 5c/5S?
(
5< 5e(5f5C(5e, 5f)
) = 5c 5`5`5V 5V5Y 5R5e5V5`5a5R 5N5b 5Z5\5V5[5` 5Q {1, 2} 5a5R5Y 5^5b'5\5[ 5N 5<
(5f5C(5e, 5f)) = 5c
5e=5Q
(5C(5e, 5f)) = 5c
5e=5Q, 5f=5Q'
or 5<
(5f5C(5e, 5f)) = 5c 5`5`5V 5]5\5b5_ 5a5\5b5a 5Q' {1, 2} 5\5[ 5N 5<
5e=5Q
5<
5<
5e=5Q, 5f=1
(5C(5e, 5f)) = 5c
et
5<
5e=5Q, 5f=2
(5C(5e, 5f)) = 5c
(5C(5e, 2)) = 5c
(5C(5e, 1)) = 5c
5e=5Q, 5f=1
et
5<
5e=5Q, 5f=2
(5Q, 2) 5<(5C)
et
5Q {1, 2}
(5Q, 1) 5<(5C)
est ce quil existe
or dapr s l nonc pour
Donc on peut conclure que 5<(5e5f5C(5e, 5f)) = 5c
NB:
(
Advertisement
5< 5e(5f5C(5e, 5f)
5Q = 1 5\5[ 5N (1, 1) 5<(5C)
or 5<
(5f5C(5e, 5f)) = 5c 5`5`5V 5]5\5b5_ 5a5\5b5a 5Q' {1, 2} 5\5[ 5N 5<
5e=5Q
qui v rifie la condition susmentionn e ?
et
(1, 2) 5<(5C)
) = 5c 5`5`5V 5V5Y 5R5e5V5`5a5R 5N5b 5Z5\5V5[5` 5Q {1, 2} 5a5R5Y 5^5b'5\5[ 5N 5<
(5f5C(5e, 5f)) = 5c
5e=5Q
(5C(5e, 5f)) = 5c
5e=5Q, 5f=5Q'
cette criture est quivalente dire :
(
5< 5e(5f5C(5e, 5f)
) = 5c 5`5`5V 5V5Y 5R5e5V5`5a5R 5N5b 5Z5\5V5[5` 5Q {1, 2}, 5R5a 5]5\5b5_ 5a5\5b5a 5Q' {1, 2} 5\5[ 5N 5<
(5C(5e, 5f)) = 5c
5e=5Q, 5f=5Q'
9- 5<(5e5f5C(5e, 5f)) = 5c/5S?
(
5< 5e(5f5C(5e, 5f)
) = 5c 5`5`5V 5]5\5b5_ 5a5\5b5a 5Q {1, 2}, 5V5Y 5R5e5V5`5a5R 5Q' {1, 2} 5\5[ 5N 5<
(5C(5e, 5f)) = 5c
5e=5Q, 5f=5Q'
5C(5e, 5f) = 5c
et
5C(5e, 5f) = 5c
5<
5<
5e=1,5f=5Q'
5e=1,5f=5Q'
5<
5e=2,5f=5Q'
5<
5e=2,5f=5Q'
5C(1, 5Q') = 5c
et
5C(2, 5Q') = 5c 5`5`5V (1, 5Q') 5R5a (2, 5Q') 5<(5C)
en dautres termes est ceque il existe 5Q' {1, 2} 5a5R5Y 5^5b5R (1, 5Q') 5R5a (2, 5Q') 5<(5C)
or l nonc 5<(5C(2, 1)) = 5S5N5b5e; 5<(5C(2, 2)) = 5S5N5b5e; 5<(5C(1, 2)) = 5c5_5N5V; 5<(5C(1, 1)) = 5c5_5N5V
5`5V 5Q' = 1 (1, 1) 5<(5C) 5Z5N5V5` (2, 1) 5<(5C) 5R5a 5`5V 5Q' = 2 5\5[ 5N (1, 2) 5<(5C) 5Z5N5V5` (2, 2) 5<(5C)
donc nexiste pas et pas suite
5Q'
5<(5e5f5C(5e, 5f)) = 5S5N5b5e
4- Interpr tation de formule
1- 5<(5e5f5C(5e, 5f) 5C(5N, 5O)) = 5c/5S?
on cherche tout dabord linterpr tation des propositions:
5<(5e5f5C(5e, 5f)) = 5c/5S? 5R5a 5<(5C(5N, 5O)) = 5c/5S?
voir l'exemple pr c dent
5<(5e5f5C(5e, 5f)) = 5c
5<(5C(5N, 5O)) = 5c 5`5`5V (5<(5N), 5<(5O)) 5<(5C)
(5<(5N), 5<(5O)) = (1, 2) 5<(5C) 5Q5\5[5P 5<(5C(5N, 5O)) = 5c
on applique la valeur de v rit du connecteur
On 5c 5c 5Q5\5[5[5R 5c 5Q5\5[5P 5<(5e5f5C(5e, 5f) 5C(5N, 5O)) = 5c
2- 5<(5e5f5C(5e, 5f) 5C(5S(5N), 5O)) = 5c/5S?
Interpr tation de chaque proposition :
5<(5C(5S(5N), 5O)) = 5S5N5b5e
5<(5e5f5C(5e, 5f)) = 5c 5`5`5V 5]5\5b5_ 5a5\5b5a 5Q {1, 2} 5R5a 5Q' {1, 2} 5\5[ 5N 5<
- voir l'exemple ci-dessus-
5C(5e, 5f) = 5c
5e=5Q,5f=5Q'
5<
5e=1,5f=1
5C(5e, 5f) = 5c
et
5<
5e=1,5f=2
5C(5e, 5f) = 5c
et
5<
5e=2,5f=1
5C(5e, 5f) = 5c
et
5<
5e=2,5f=2
5C(5e, 5f) = 5c
(1, 1) 5R5a (1, 2) 5R5a (2, 1) 5R5a (2, 2) 5<(5C) 5\5_ 5Q'5N5]5_ 5` 5Y' 5[5\5[5P (2, 1) 5R5a (2, 2) 5<(5C)
Donc 5<(5e5f5C(5e, 5f)) = 5S5N5b5e
Appliquer la valeur de v rit du connecteur
5S5N5b5e 5S5N5b5e 5Q5\5[5[5R 5c5_5N5V
5<(5e5f5C(5e, 5f) 5C(5S(5N), 5O)) = 5c5_5N5V