Licence 3 économétrie – MASS

1

1

0

∀t ∈] − ∞; −10[,

(cid:90) t

−∞

[FZ (x) − FX (x)]dx = 0

∀t ∈ [−10; −1[,

(cid:90) t

−10

[FZ (x) − FX (x)]dx = 0, 2[t − (−10)]

∀t ∈ [−1; 0[,

(cid:90) t

−1

[FZ (x) − FX (x)]dx = −0, 1[t − (−1)]

∀t ∈ [0; +∞[,

(cid:90) t

0

[FZ (x) − FX (x)]dx = 0

4 - Les relations de dominances stochastiques (8)

t

] − ∞; −10[

[−10; −1[

[−1; 0[

[0; +∞[

(cid:82) t

−∞[FZ (x) − FX (x)]dx

0

2 + 0, 2t

1, 8 − 0, 1t − 0, 1

1, 7

∀t ∈ R,

(cid:90) t

−∞

[FZ (x) − FX (x)]dx ≥ 0 ⇒ X DS2 Z

4 - Les relations de dominances stochastiques (9)

X DS1 Y ⇒ X DS2 Y

X DS2 Y ⇔ ∀t ∈ R, (cid:82) t

−∞ P(X ≤ x)dx ≤ (cid:82) t

−∞ P(Y ≤ x)dx

Les classements opérés par la DS2 sont partiels

4 - Les relations de dominances stochastiques (10)

Exemple :

Reprendre l’exemple précédent, en remplaçant le 0, 6 par 0, 4

dans la fonction de répartition de Z , et vérifier que la DS2 ne

permet plus de classer X et Z

4 - Les relations de dominances stochastiques (11)

Solution :

x

FX (x)

FZ (x)

FZ (x)

−FX (x)

] − ∞; −10[

0

0

0

[−10; −1[

0

0, 2

0, 2

[−1; 0[

0, 3

0, 2

−0, 1

[0; 100[

0, 6

0, 4

−0, 2

[100; +∞[

1

1

0

∀t ∈ [0; 100[,

(cid:90) t

0

[FZ (x) − FX (x)]dx = −0, 2[t − 0]

∀t ∈ [100; +∞[,

(cid:90) t

0

[FZ (x) − FX (x)]dx = 0

4 - Les relations de dominances stochastiques (12)

t

] − ∞; −10[

[−10; −1[

[−1; 0[

[0; 100[

[100; +∞[

(cid:82) t

−∞[FZ (x) − FX (x)]dx

0

2 + 0, 2t

1, 8 − 0, 1t − 0, 1

1, 7 − 0, 2t

−18, 3

On ne peut pas écrire Z DS2 X car

(cid:90) −1

−∞

[FZ (x)−FX (x)]dx = 1, 8 > 0

———————— X DS2 Z car

(cid:90) 100

−∞

[FZ (x)−FX (x)]dx = −18, 3 < 0

4 - Les relations de dominances stochastiques (13)

Y MPS X ⇔ E(X ) = E(Y ) et X DS2 Y

où MPS = Mean Preserving Spreads

et où E(ϕ(X ))

=

cas

fini

=

cas infini

dénombrable

=

cas infini

indénombrable

ϕ ?

ϕ(xi )P(X = xi )

n

(cid:80)

i=1

∞

(cid:80)

i=1

(cid:82) +∞

−∞ ϕ(x)fX (x)dx

ϕ(xi )P(X = xi )

4 - Les relations de dominances stochastiques (14)

Rothschild et Stiglitz montrent que :

Y MPS X

⇔

Y s’obtient à partir de X

par transfert de poids préservant l’espérance

Interprétation intuitive

4 - Les relations de dominances stochastiques (15)

Exemple :

x

3

P(X = x)

0

P(Y = x) 0, 5 0 0, 5

2

1

1

0

En transférant P(X = 2) sur P(X = 1) et P(X = 3), on passe

de X à Y

5 - Comportement face au risque (1)

Les actions X , Y et Z sont des variables aléatoires réelles

bornées

Comparaison entre E(X ) et X

5 - Comportement face au risque (2)

5.1 - Aversion pour le risque

(cid:73) Un agent est riscophobe ⇔ ∀X , E(X ) (cid:37) X

Interprétation

Cas où les espérances diffèrent

(cid:73) Un agent est riscophile ⇔ ∀X , X (cid:37) E(X )

(cid:73) Un agent est neutre vis-à-vis du risque ⇔ ∀X , X ∼ E(X )

Aversion / goût pour le risque au sens strict

5 - Comportement face au risque (3)

5.2 - Équivalent certain

L’équivalent certain de X est la conséquence certaine cX telle

que X ∼ cX

Interprétation

Existence et unicité

5 - Comportement face au risque (4)

5.3 - Prime de risque

La prime de risque ρX de X est telle que ρX = E(X ) − cX

Interprétation

Cas de l’agent riscophile

Un agent 1 a plus d’aversion pour le risque qu’un agent 2 ssi

∀X , ρagent 1

X

≥ ρagent 2

X

6 - Les préférences sur les conséquences (1)

6.1 - Le cas du consommateur

Le choix du consommateur en environnement certain

Notations :

revenu

prix = (prix1, . . . prixk )

x = (x1, . . . xk )

f : x (cid:55)→ f (x)

Fonction d’utilité et préférences du consommateur sur les

paniers

6 - Les préférences sur les conséquences (2)

MAX

x

f (x) sc prix x (cid:48) ≤ revenu

x ∗ (cid:55)→ f (x ∗) = f (x ∗(prix, revenu)) = v (prix, revenu)

Définition de la fonction d’utilité indirecte, pourquoi il s’agit bien

d’une fonction d’utilité

Fonction d’utilité indirecte et revenu

u est une fonction d’utilité strictement croissante de la richesse

6 - Les préférences sur les conséquences (3)

6.2 - Le cas du producteur

Les préférences du producteur sur les profits

6 - Les préférences sur les conséquences (4)

6.3 - Synthèse

Les préférences du décideur sur les conséquences peuvent

être représentées par u

Les conséquences étant monétaires, on peut écrire u(ω + x1)

Hypothèse de non satiété stricte (ou monotonicité forte)

u et g ◦ u lorsque g est une transformation strictement

croissante de u

7 - Les préférences sur les actions (1)

Dans cette section, les préférences du décideur sur les actions

peuvent être représentées par une fonction d’utilité U

7.1 - Actions et richesses

Richesse initiale, richesse finale

Cas général : Ω, X et W

Cas particuliers : ω, x et w

Une action risquée (resp. certaine) ne correspond pas

forcément à une richesse finale risquée (resp. certaine)

7 - Les préférences sur les actions (2)

Actions et richesses finales ont la même nature mathématique

W = Ω + X , action et richesse finale préférées, les préférences

associées

On raisonne sur les richesses finales plutôt que sur les actions

7 - Les préférences sur les actions (3)

7.2 - Fonction d’utilité définie sur les actions

U est telle que X (cid:37) Y ⇔ U(Ω + X ) ≥ U(Ω + Y )

On en déduit :

X ∼ Y ⇔ U(Ω + X ) = U(Ω + Y )

X (cid:31) Y ⇔ U(Ω + X ) > U(Ω + Y )

7 - Les préférences sur les actions (4)

7.3 - La fonction espérance de la richesse

U(W ) = E(W )

7 - Les préférences sur les actions (5)

Exemple :

Une entreprise peut entrer ou pas sur un marché.

Si elle entre, elle produit 3 unités pour un coût total de 1 000¤.

La quantité vendue Y est une va de loi de probabilité

y

3

P(Y = y ) 0, 1 0, 1 0, 5 0, 3

2

1

0

Chaque unité est vendue au prix de marché, égal à 500¤.

Ses autres activités assurent à l’entreprise un profit de 200¤.

Quel est le choix de l’entreprise ?

7 - Les préférences sur les actions (6)

D’après l’énoncé, E(Y ) =

yi P(Y = yi )

= 0 × 0, 1 + 1 × 0, 1 + 2 × 0, 5 + 3 × 0, 3 = 2

4

(cid:80)

i=1

Avec les notations du cours, ω = 200 X = 500Y − 1 000

Entrer procure une utilité U(ω + X )

= E(ω+X ) = E(200+500Y −1 000) = 500E(Y )−800 = 200

Ne pas entrer procure une utilité U(ω) = E(ω) = E(200) = 200

Le producteur est indifférent entre les deux alternatives.

7 - Les préférences sur les actions (7)

Propriétés :

† U est définie à une transformation strictement croissante

près

† U(W ) = E(W ) = E(E(W )) = U(E(W )) ⇔ W ∼ E(W )

Exemple d’utilisation

7 - Les préférences sur les actions (8)

Paradoxe de Saint-Pétersbourg :

On vous propose de jouer à un jeu consistant à lancer une

pièce.

Si la pièce retombe sur pile, vous gagnez 2¤. Dans le cas

contraire, et tant que la pièce n’est pas retombé sur pile, vous

la relancez et doublez votre gain précédent.

Êtes-vous prêt à donner tout ce que vous possédez pour

pouvoir jouer à ce jeu ?

7 - Les préférences sur les actions (9)

Si vos préférences sont représentables par la fonction

espérance de la richesse, vous acceptez à condition que

U(ω − ω + G) ≥ U(ω) ⇒ E(G) ≥ ω

où le gain G est une va de loi de probabilité

g

P(G = g)

21

(cid:1)1

(cid:0) 1

2

22

(cid:1)2

(cid:0) 1

2

23

(cid:1)3

(cid:0) 1

2

. . .

. . .

E(G) = 21×

(cid:18) 1

2

(cid:19)1

+22×

(cid:18) 1

2

(cid:19)2

+23×

(cid:18) 1

2

(cid:19)3

+. . . = 1+1+1+. . . = +∞

Votre richesse initiale étant finie, vous acceptez la proposition.

7 - Les préférences sur les actions (10)

7.4 - Les fonctions de Markowitz

U(W ) = f (E(W ), Var (W )) avec U (cid:48)

1(E(W ), Var (W )) > 0

où Var (X ) = E([X − E(X )]2) = E(X 2) − [E(X )]2

7 - Les préférences sur les actions (11)

Exemple :

Un individu dispose de 1 000¤.

Soit il achète pour 1 000¤ d’actions et il les revend dans la

journée. Soit il ne fait rien.

Le taux de rendement R des actions est une va de loi de

probabilité

r

P(R = r )

−0, 1

0, 3

0, 1

0

0, 4 0, 3

Ses préférences sont représentées par une fonction de

Markowitz linéaire U(W ) = E(W ) − kVar (W ) où k est un

paramètre.

Quel est le choix de cet individu ?

7 - Les préférences sur les actions (12)

D’après l’énoncé,

E(R) = 0

E(R2) = (−0, 1)2 × 0, 3 + 02 × 0, 4 + 0, 12 × 0, 3 =

6

1000

Var (R) = E(R2) − [E(R)]2 =

6

1000

Acheter et revendre procure une utilité

U(1 000[1 + R]) = E(1 000[1 + R]) − kVar (1 000[1 + R])

= 1 000[1 + E(R)] − 1 0002kVar (R) = 1 000 − 6 000k

7 - Les préférences sur les actions (13)

Ne rien faire procure une utilité

U(1 000) = E(1 000) − kVar (1 000) = 1 000

Si k < 0 (riscophile), l’individu achète et revend.

Si k = 0 (neutre), on ne sait pas ce que va faire l’individu.

Si k > 0 (riscophobe), l’individu ne fait rien.

7 - Les préférences sur les actions (14)

Propriétés :

† U est définie à une transformation strictement croissante

près

† U (cid:48)

2(E(W ), Var (W )) < 0

⇔ U(E(W )) ≥ U(W )

⇔ E(W ) (cid:37) W (cas où k > 0)

2(E(W ), Var (W )) = 0 ⇔ E(W ) ∼ W (cas où k = 0)

2(E(W ), Var (W )) > 0 ⇔ W (cid:37) E(W )

(cas où k < 0)

† U (cid:48)

† U (cid:48)

† Pour la forme linéaire, k est une mesure de l’aversion pour

le risque

7 - Les préférences sur les actions (15)

Exemple d’utilisation

Les fonctions de Markowitz mesurent le risque par la variance

La variance est une mesure objective du risque.

7 - Les préférences sur les actions (16)

Exemple :

Supposons que U(W ) = E(

√

W )

L’inégalité de Jensen dit que

f fonction concave ⇒ E(f (X )) ≤ f (E(X ))

√

U(W ) = E(

W ) ≤ (cid:112)

E(W ) ≤ E((cid:112)

E(W )) ≤ U(E(W ))

⇒ E(W ) (cid:37) W

7 - Les préférences sur les actions (17)

Supposons les richesses finales W et W (cid:48) de lois de probabilité

w

4

P(W = w) 0, 5 0, 5

0

et

w (cid:48)

9

P(W (cid:48) = w (cid:48)) 7/8 1/8

1

E(W ) = E(W (cid:48)) = 2

E(W 2) = 8

Var (W ) = 4

E(W (cid:48)2) = 11

Var (W (cid:48)) = 7

√

U(W ) = E(

W ) = 1

U(W (cid:48)) = E(

√

W (cid:48)) =

5

4

7 - Les préférences sur les actions (18)

Quand est-ce que la variance est un bon indicateur du risque

perçu ?

II – THÉORIE DE L’ESPÉRANCE

D’UTILITÉ ET CONCEPTS ASSOCIÉS

1. Les fonctions d’utilité espérée

2. Retour sur les concepts et les outils de la prise de décision

dans le risque

3. Mesures de l’aversion pour le risque

4. Fonctions d’utilité espérée usuelles et fonctions de

Markowitz

5. Conclusion

Dans la TEU, le décideur fait face à une situation de risque

1 - Les fonctions d’utilité espérée (1)

1.1 - Mélange d’actions

L’action Z = αX + (1 − α)Y est telle que

∀A, P(Z ∈ A) = αP(X ∈ A) + (1 − α)P(Y ∈ A)

Première utilisation

1 - Les fonctions d’utilité espérée (2)

Exemple :

Le décideur peut choisir la loterie à deux étapes Z .

À la première étape, l’action X ou l’action Y est sélectionnée

selon les probabilités α = 1

10 et 1 − α

À la deuxième étape, une conséquence est sélectionnée selon

la loi de probabilité de l’action concernée.

X et Y ont pour loi de probabilité

x

90

P(X = x) 0, 5 0, 5

0

et

y

P(Y = y )

0 990

5

9

4

9

1 - Les fonctions d’utilité espérée (3)

D’après la définition précédente, Z a pour loi de probabilité

z

990

0

P(Z = z) 0, 55 0, 05 0, 4

90

1 - Les fonctions d’utilité espérée (4)

Deuxième utilisation

Exemple :

La loterie Z s’écrit

0, 5510 + 0, 05190 + 0, 41990

où 1c est la loterie donnant c avec une probabilité de 1

1 - Les fonctions d’utilité espérée (5)

1.2 - Construction intuitive des fonctions d’utilité espérée

W , WX , WY et WZ sont des variables aléatoires réelles

bornées

Si W est une loterie, W =

n

(cid:80)

i=1

1wi P(W = wi )

L’utilité associée à 1wi est u(wi )

On défini U par

U(W ) =

n

(cid:88)

i=1

u(wi )P(W = wi ) = E(u(W ))

1 - Les fonctions d’utilité espérée (6)

On généralise U(W ) = E(u(W ))

On suppose que cette fonction U existe et qu’elle vérifie :

X (cid:37) Y ⇔ U(WX ) ≥ U(WY )

U est une fonction d’utilité espérée

1 - Les fonctions d’utilité espérée (7)

Exemple :

La richesse initiale est égale à ω = 10

L’action Z a déjà été décrite.

La richesse finale est égale à WZ = ω + Z

La fonction d’utilité sur les conséquences vérifie u(w) = log w

Quelle est l’utilité espérée de la richesse finale ?

1 - Les fonctions d’utilité espérée (8)

WZ a pour loi de probabilité

w

100

P(WZ = w) 0, 55 0, 05

10

1 000

0, 4

u(WZ ) = log(WZ ) a pour loi de probabilité

log w

3

P(u(WZ ) = log w) 0, 55 0, 05 0, 4

2

1

U(WZ ) = E(log(WZ )) = 0, 55 × 1 + 0, 05 × 2 + 0, 4 × 3 = 1, 85

1 - Les fonctions d’utilité espérée (9)

1.3 - Concavité de la fonction d’utilité sur les conséquences

Aversion pour le risque et concavité de u

1 - Les fonctions d’utilité espérée (10)

Idée :

Le décideur a de l’aversion pour le risque

⇔ ∀W , E(W ) (cid:37) W

⇔ ∀W , U(E(W )) ≥ U(W )

⇔ ∀W , u[E(W )] ≥ E(u[E(W )]) ≥ E(u[W ])

⇔ u est une fonction concave

(sa courbe est au-dessus de ses cordes) (cid:3)

1 - Les fonctions d’utilité espérée (11)

FIGURE: Aversion pour le risque

1 - Les fonctions d’utilité espérée (12)

Décideur

Fonction d’utilité u

Riscophobe au sens strict strictement concave

Riscophobe

Neutre vis-à-vis du risque

Riscophile

Riscophile au sens strict

concave

affine

convexe

strictement convexe

1 - Les fonctions d’utilité espérée (13)

1.4 - Propriétés des fonctions d’utilité espérée

U est définie à une transformation affine strictement croissante

près

1 - Les fonctions d’utilité espérée (14)

Exemple :

Si U(W ) = E(u(W )) ⇒ U(WX ) ≥ U(WY ) ⇒ X (cid:37) Y

alors g(U(W )) = [E(u(W ))]2 ⇒ g(U(WX )) ≥ g(U(WY ))

⇒ X (cid:37) Y

Le classement est identique mais g(U(W )) n’est pas une

espérance

Inversement, avec a > 0, aU(W ) + b = aE(u(W )) + b

= E(au(W ) + b) = E(v (W )) est bien une utilité espérée

1 - Les fonctions d’utilité espérée (15)

u est définie à une transformation affine strictement croissante

près

1 - Les fonctions d’utilité espérée (16)

Exemple :

√

√

Si u(w) =

alors le décideur est tantôt riscophobe tantôt riscophile

w et g(u(w)) = (

w)4 = w 2

Inversement, avec a > 0, au(w) + b ne modifie pas la

concavité de la fonction u

1 - Les fonctions d’utilité espérée (17)

En fin de compte, les préférences se mesurent comme la

température !

u(w) = aw + b, où a > 0, et la fonction identité

On peut toujours poser u(wmin) = 0 et u(wmax ) = 1

2 - Retour sur les concepts et les outils de la prise de

décision dans le risque (1)

2.1 - Dominance stochastique d’ordre 1

Équivalence au fait que WX DS1 WY

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (2)

Idée :

WX DS1 WY

⇔ ∀x ∈ R, FWX (x) ≤ FWY (x)

⇔ ∀x ∈ R, 1 − P(WX > x) ≤ 1 − P(WY > x)

⇔ ∀x ∈ R, P(WX > x) ≥ P(WY > x)

Par ailleurs, u(cid:48)(w) > 0

L’action X conduit donc à pondérer les utilités les plus grandes

par de plus grandes probabilités que ne le fait l’action Y . Ainsi,

E(u(WX )) ≥ E(u(WY )) ⇔ U(WX ) ≥ U(WY ) ⇔ X (cid:37) Y (cid:3)

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (3)

Exemple :

w

1

P(WX = w)

0

P(WY = w) 0, 5

16

9

4

0, 3 0, 3 0, 4

0, 1 0, 4

0

⇒ WX DS1 WY

√

U(W ) = E(

W ) ⇒ U(WX ) =

√

√

1×0+

√

4×0, 3+

√

9×0, 3+

16×0, 4

⇒ U(WX ) = 3, 1 et U(WY ) = 2, 4

U(W ) = E(W ) ⇒ U(WX ) = 10, 3 et U(WY ) = 7, 8

U(W ) = E(W 2) ⇒ U(WX ) = 131, 5 et U(WY ) = 111

Le décideur est tour-à-tour riscophobe, neutre vis-à-vis du

risque, riscophile mais il préfère toujours l’action X

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (4)

Intérêt d’avoir établi que WX DS1 WY

Si la dominance est stricte et que l’on ne peut ni écrire

WX DS1 WY ni écrire WY DS1 WX

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (5)

2.2 - Dominance stochastique d’ordre 2

Existence d’une bonne mesure du risque perçu

Équivalence au fait que WY MPS WX

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (6)

Idée (avec des lois non absolument continues, l’écriture diffère

mais la logique reste la même) :

WY MPS WX ⇔ Y s’obtient à partir de X par transfert de poids

préservant l’espérance

Notons f (w) la fonction qui à la richesse w associe le transfert

de poids. Puisque ce transfert préserve l’espérance

(cid:90) +∞

−∞

wf (w)dw = 0 ⇔

(cid:90) +∞

−∞

u(w)f (w)dw ≤ 0 avec u concave

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (7)

Avec la condition précédente et en notant fX la densité de WX :

E(u(WY )) =

(cid:90) +∞

−∞

u(w)fY (w)dw =

(cid:90) +∞

−∞

u(w)[fX (w)+f (w)]dw

= E(u(WX )) +

(cid:90) +∞

−∞

u(w)f (w)dw

⇔ E(u(WX )) ≥ E(u(WY )) ⇔ U(WX ) ≥ U(WY ) ⇔ X (cid:37) Y (cid:3)

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (8)

Exemple :

2

0

w

16

P(WX = w)

0

P(WY = w) 0, 5 0 0, 5

√

9

1

U(W ) = E(

W )

⇒ WY MPS WX

⇒ U(WX ) = 3 et U(WY ) = 2 +

⇒ X (cid:37) Y

√

2

2

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (9)

2.3 - Équivalent certain

cWX telle que WX ∼ cWX ⇔ E(u(WX )) = u(cWX )

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (10)

FIGURE: Équivalent certain

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (11)

Exemple :

√

u(w) =

w, ω = 10, X à pour loi de probabilité

x

26

P(X = x) 0, 5 0, 5

6

Pour quelle richesse certaine, le décideur accepte de renoncer

à la richesse aléatoire WX = ω + X ?

Si le décideur possède WX , à quel prix accepte-t-il de vendre la

loterie X ?

Si le décideur possède ω, à quel prix accepte-t-il d’acheter la

loterie X ?

Pour quelle richesse initiale certaine, le prix d’achat est-il égal

au prix de vente trouvé précédemment ?

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (12)

L’équivalent certain cWX vérifie

E(u(WX )) = u(cWX )

√

⇒ 0, 5

10 + 6 + 0, 5

√

10 + 26 = (cid:112)cWX

⇒ cWX = 25

Comme E(WX ) = 26, le décideur préfère à la richesse WX la

certitude de son espérance. Il est riscophobe.

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (13)

Le prix de vente pv rend le décideur indifférent entre ne pas

vendre et vendre la loterie :

E(u(WX )) = u(ω + pv )

⇔ u(cWX ) = u(ω + pv )

⇒ cWX = ω + pv

⇒ pv = 15

Le décideur accepte de vendre à 15

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (14)

Le prix d’achat pa rend le décideur indifférent entre acheter ou

ne pas acheter la loterie :

E(u(WX − pa)) = u(ω)

⇒ 0, 5

(cid:112)

10 + 6 − pa + 0, 5

(cid:112)

10 + 26 − pa =

√

10

Le décideur accepte d’acheter à 13, 5

⇒ pa = 13, 5

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (15)

pa (cid:54)= pv car les richesses initiales WX et ω ne sont pas

équivalentes.

Par définition, WX ∼ cWX donc remplacer ω par cWX rétabli

l’équivalence des richesses initiales et supprime la différence

entre les deux prix :

E(u(cWX + X − pa)) = u(cWX )

⇒ 0, 5

(cid:112)

25 + 6 − pa + 0, 5

(cid:112)

25 + 26 − pa =

√

25

⇒ pa = 15 = pv

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (16)

Valeur et signe de l’équivalent certain, du prix de vente et du

prix d’achat

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (17)

Exemple :

Avec un décideur riscophile caractérisé par u(w) = w 2 et X

ayant pour loi de probabilité

x

6

P(X = x) 0, 8 0, 2

−9

on obtient cWX ≈ 7, 21, pv ≈ −2, 79 et pa = −4

Il faut payer le décideur au moins 4 pour qu’il accepte le risque

que représente la loterie X .

Il est prêt à payer jusqu’à 2, 79 pour qu’on le débarrasse du

risque qu’elle représente.

Cette situation est typique de l’assurance ; l’assuré paie pour

qu’on le débarrasse du risque.

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (18)

2.4 - Prime de risque

Si le décideur est neutre vis-à-vis du risque, WX ∼ E(WX )

Interprétation de ρWX = E(WX ) − cWX

Autre interprétation de ρWX

Définition alternative :

ρWX est telle que u(E(WX ) − ρWX ) = E(u(WX ))

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (19)

Idée :

Compte-tenu que la fonction d’utilité u est strictement

croissante de la richesse et la définition de l’équivalent certain :

cWX = E(WX ) − ρWX

⇔ u(cWX ) = u(E(WX ) − ρWX )

⇔ E(u(WX )) = u(E(WX ) − ρWX ) (cid:3)

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (20)

FIGURE: L’écart correspond à la prime de risque

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (21)

Signe de la prime de risque et concavité de u

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (22)

Idée :

Compte-tenu que la fonction d’utilité u est strictement

croissante de la richesse et la définition de l’équivalent certain :

E(WX ) ≥ cWX

⇔ u[E(WX )] ≥ E(u(WX ))

⇔ u est une fonction concave

(sa courbe est au-dessus de sa corde) (cid:3)

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (23)

Exemple :

Dans l’exemple où u(w) =

probabilité

√

w, ω = 10 et X à pour loi de

x

26

P(X = x) 0, 5 0, 5

6

Combien le décideur accepte-t-il de perdre pour échanger sa

richesse initiale WX contre son espérance ?

Quelle est la relation entre pv , ρWX et le prix auquel un décideur

neutre vis-à-vis du risque serait prêt à vendre la loterie X ?

Quelle est la relation entre pa, ρWX −pa et le prix auquel un

décideur neutre vis-à-vis du risque serait prêt à acheter la

loterie X ?

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (24)

Puisque WX ∼ cWX , il est prêt à perdre

E(WX ) − cWX = ρWX = 26 − 25 > 0

⇒ le décideur a de l’aversion pour le risque

Alternativement,

u(E(WX ) − ρWX ) = E(u(WX ))

⇔ u(E(WX ) − ρWX ) = u(cWX )

(cid:113)

26 − ρWX =

⇒

√

25

⇒ ρWX = 1

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (25)

Un décideur neutre vis-à-vis du risque est prêt à vendre la

loterie X pour un prix p = E(X ). En effet,

E(u(WX )) = u(ω + p)

⇒ E(WX ) = ω + p

⇒ ω + E(X ) = ω + p

⇒ p = E(X )

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (26)

Pour le décideur qui nous intéresse,

ρWX = E(WX ) − cWX

⇒ ρWX = ω + E(X ) − (ω + pv )

⇒ pv = E(X ) − ρWX

Par rapport à un individu neutre vis-à-vis du risque, le décideur

est prêt à perdre la prime de risque pour vendre la loterie. Le

premier accepte de vendre à 16, le second à 15 (il donne à la

loterie une plus petite valeur).

La prime de risque est la réduction de prix que la personne

riscophobe est prête à consentir, par rapport au prix qu’accepte

un individu neutre vis-à-vis du risque.

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (27)

Un décideur neutre vis-à-vis du risque est prêt à acheter la

loterie X pour un prix p = E(X ). En effet,

E(u(WX − p)) = u(ω)

⇒ E(WX − p) = ω

⇒ ω + E(X ) − p = ω

⇒ p = E(X )

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (28)

Par définition du prix d’achat, E(u(WX − pa)) = u(ω). Pour le

décideur qui nous intéresse,

u(E(WX − pa) − ρWX −pa) = E(u(WX − pa))

⇒ u(ω + E(X ) − pa − ρWX −pa) = u(ω)

⇒ ω + E(X ) − pa − ρWX −pa = ω

⇒ pa = E(X ) − ρWX −pa

Par rapport à un individu neutre vis-à-vis du risque, le décideur

demande une récompense pour acheter la loterie. Le premier

accepte d’acheter à 16, le second à 13, 5 (il donne à la loterie

une plus petite valeur).

La prime de risque est la réduction de prix qu’il faut consentir à

une personne riscophobe, par rapport au prix qu’accepte un

individu neutre vis-à-vis du risque.

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (29)

ρWX −pa (cid:54)= ρWX car WX est la richesse initiale du vendeur alors

que WX − pa est la richesse finale de l’acheteur.

Intérêt du montant de la prime de risque

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (30)

2.5 - Risques additif, multiplicatif et partiel

Si W est écrite sous la forme. . .

. . . WX = ω1 + X , le risque est additif

. . . WY = ω1(1 + Y ), le risque est multiplicatif

. . . WZ = ω2 + ω3(1 + Z ) où ω2 + ω3 = ω1, le risque est partiel

Par exemple, on écrit WY = ω1 + ω1Y

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (31)

Exemple :

√

u(w) =

w, ω1 = 10, X à pour loi de probabilité

x

26

P(X = x) 0, 5 0, 5

6

Y à pour loi de probabilité

y

P(Y = y )

+60% +260%

0, 5

0, 5

ω2 = 8, ω3 = 2, Z à pour loi de probabilité

z

P(Z = z)

+300% +1 300%

0, 5

0, 5

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (32)

On vérifie que WX = WY = WZ à pour loi de probabilité

w

36

P(W = w) 0, 5 0, 5

16

Cela signifie que si l’énoncé n’avait donné que Y ou Z , on

aurait pu déterminer WX puis X , et faire les raisonnements

habituels pour trouver des valeurs comme l’équivalent certain.

D’après l’exemple précédent, l’espérance de la richesse finale

vaut 26, l’équivalent certain 25 et la prime de risque (absolu) 1

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (33)

WY = ω1(1 + Y ) ⇒

(cid:40)

E(WY ) = ω1(1 + E(Y )) ⇒ E(Y ) = 160%

25 = ω1(1 + tWY ) ⇒ tWY = 150%

On exprime l’équivalent certain du décideur neutre vis-à-vis du

risque et celui de notre décideur sous la forme d’un taux de

rendement équivalent certain.

Le décideur qui nous intéresse est indifférent entre ω1(1 + Y )

et ω1(1 + tWY ). Il est prêt à renoncer à 160 − 150 points de

rendement pour être débarrassé du risque. On dit que la prime

de risque relatif est de 10 points.

Ces 10% correspondent à 10%ω1 = 1 unité monétaire, la prime

de risque précédemment calculée.

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (34)

WZ = ω2 + ω3(1 + Z )

(cid:40)

⇒

E(WZ ) = ω2 + ω3(1 + E(Z )) ⇒ E(Z ) = 800%

25 = ω2 + ω3(1 + tWZ ) ⇒ tWZ = 750%

Cette fois, les taux de rendement s’appliquent à la seule partie

risquée de la richesse.

Le décideur est prêt à renoncer à 800 − 750 points de

rendement pour être débarrassé du risque. On dit que la prime

de risque partiel est de 50 points.

Ces 50% correspondent à 50%ω3 = 1 unité monétaire, la prime

de risque précédemment calculée.

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (35)

ρ(cid:48)

WY

vérifie u(E(WY )−ω1ρ(cid:48)

WY

) = E(u(WY )) et ρWX = ω1ρ(cid:48)

WY

ρ(cid:48)(cid:48)

WZ

vérifie u(E(WZ )−ω3ρ(cid:48)(cid:48)

WZ

) = E(u(WZ )) et ρWX = ω3ρ(cid:48)(cid:48)

WZ

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (36)

Idée :

Remplacer WY = WX dans l’expression précédente.

Sachant que u(E(WX ) − ρWX ) = E(u(WX )), conclure par

identification. (cid:3)

2 - Retour sur les concepts et les outils. . . (37)

Montant de la prime de risque et aversion pour le risque

3 - Mesures de l’aversion pour le risque (1)

3.1 - Transformation concave de la fonction d’utilité

sur les conséquences

Montant de la prime de risque et concavité de u

3 - Mesures de l’aversion pour le risque (2)

Idée :

Soit ϕ transformation strictement croissante concave de la

fonction d’utilité uB telle que uA = ϕ ◦ uB

Avec la définition de la prime de risque, l’inégalité de Jensen et

la stricte croissance des fonctions d’utilité, on a :

∀W ,

uA(E(W ) − ρA

W ) ≤ E(uA(W ))

≤ E(ϕ[uB(W )]) ≤ ϕ[E(uB(W ))]

≤ ϕ[uB(E(W ) − ρB

⇔ E(W ) − ρA

W ≤ E(W ) − ρB

W )] ≤ uA(E(W ) − ρB

W ⇔ ρA

W )

W ≥ ρB

W

(cid:3)

3 - Mesures de l’aversion pour le risque (3)

3.2 - Coefficients d’aversion pour le risque

Dans cette section, w est l’espérance de la richesse finale. Si

la fonction d’utilité u du décideur est de classe...