Les Processus ARMA
Cette représentation consiste en l’adjonction d’une composante
autorégressive d’ordre fini (AR) et d’une composante moyenne
mobile (MA) d’ordre fini.
Le processus stationnaire (xt,t∈Z) satisfait une représentation
ARMA, d’ordre p et q, notée ARMA(p,q), si et seulement si :
Les différentes conditions sur les paramètres φj et θj signifient
que dans ARMA(p,q), tous les paramètres du polynômes Φ(L)
peuvent être nuls à l’exception du paramètre correspondant
au pème retard et que tous les paramètres du polynômes Θ(L)
peuvent être nuls à l’exception du paramètre correspondant
au qème retard.
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Tout comme pour les AR, la constante c ne correspond pas dans
ce cas à l’espérance du processus (xt,t∈Z).
Cette dernière est donnée par la même relation que celle obtenue
pour l’AR :
Exemples
1)
Identifier ces deux processus ARMA (ordre) et calculer
leur espérance
2) Simuler pour n= 500 et voir s’ils sont stationnaires
2) Simuler ces deux processus pour n =500
3) Ces deux processus sont-ils stationnaires
z1 = 2 + arima.sim(n=500, list(ar=c(-0.5, 0, 0.2), ma=-0.5))
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z2 = arima.sim(n=500, list(ar=c(0.2, 1.5), ma=c(0.5, 0, 0, 0.6)))
Error in arima.sim(n = 500, list(ar = c(0.2, 1.5), ma = c(0.5, 0, 0, 0.6))) :
la partie 'ar' du mopdèle n'est pas stationaire
On constate que le processus z1 est centré autour de sa moyenne
et semble être un processus stationnaire. En revanche, le processus
z2, de moyenne nulle, ne semble pas être un processus stationnaire.
En effet, comme nous allons le voir il existe certaines conditions sur
les processus ARMA pour que ces derniers soient stationnaires. Ici,
ces conditions ne sont pas satisfaites.
Stationnarité et inversibilité
Les conditions de stationnarité d’un processus ARMA sont
les racines (Equation ) du (polynôme)
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déterminées par
associées à sa composante AR.
Donc sous l’hypothèse |φ|< 1,
stationnaire.
le processus (xt,t∈Z) est
Les conditions d’inversibilité sont déterminées par les racines
du polynôme associé à sa composante MA.
on montre que si |θ|< 1, Θ(L) est inversible
ARMA(1,0)
ARMA(0,1)
ARMA(2,0)
2ème
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méth
ode
plot(acf(X),lwd=5,col="red")
plot(acf(X),lwd=5,col="red")
plot(acf(X),lwd=5,col="red")
> plot(pacf(X),lwd=5,col="red")
Exercice