Chapitre 2 : Les erreurs de mesure
ISET de Nabeul
Chapitre 2
LES ERREURS DE MESURE
OBJECTIFS
Général
(cid:131) Faire acquérir à l’apprenant les notions d’erreur et d’incertitude.
Spécifiques
(cid:131) Connaître les différents types d’erreurs et d’incertitudes, ainsi que
leurs méthodes de calcul.
(cid:131) Savoir exprimer un résultat de mesure sous les deux formes.
1. INTRODUCTION
Aucune mesure n'est parfaite. Quelque soit le soin apporté à sa mise en
œuvre, la précision de l'appareil, la compétence de l'opérateur, le respect des
règles de manipulation et de contrôle sévère de tous les paramètres d'influence,
il restera toujours une incertitude sur la mesure. Tous les efforts accomplis
dans le domaine de l'instrumentation visent à faire tendre cette incertitude vers
une valeur de plus en plus faible, tout en sachant qu‘il ne sera jamais possible
de l'annuler. C'est pourquoi toute mesure, pour être complète, doit comporter
la valeur mesurée et les limites de l'erreur possible sur la valeur donnée.
2. CLASSIFICATION DES ERREURS
Suivant les causes, on a deux types d'erreurs :
2.1. Les erreurs systématiques
C'est toute erreur due à une cause connue ou connaissable. Elles ont pour
causes :
2.1.1. La méthode de mesure
Parfois la méthode de mesure choisie entraîne une perturbation sur la
grandeur à mesurer (par exemple : pour la mesure d'une résistance ou d'une
puissance ; on a à choisir entre le montage amont et aval).
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2.1.2. L'opérateur
Parfois, lors d'une mesure, l'aiguille ou le spot lumineux s'immobilise entre
deux traits de la graduation ce qui oblige l'opérateur à estimer une fraction de
division de l'échelle de lecture, il en résulte une erreur inévitable.
2.1.3. L’appareil de mesure
La classe de précision d'un appareil de mesure dépend des imprécisions de
fabrication, de calibrage et de conception. Plus la fabrication est soignée, plus
l'erreur est petite. De plus l'erreur dépend du réglage de zéro électrique ou
mécanique et de la courbe d'étalonnage de l'appareil.
Remarque :
On peut remédier aux erreurs systématiques par un bon réglage de zéro,
un bon étalonnage et une appréciation de la fraction de division, en tenant
compte des erreurs de méthode dans la mesure en les calculant.
2.2. Les erreurs aléatoires
C'est toute erreur qui n'obéit à aucune loi connue lorsqu'elle est prise sur
un seul résultat. Elle obéit aux lois de la statistique lorsque le nombre de
résultats devient très grand. Elles peuvent provenir de :
2.2.1. L’opérateur
Pour les multimètres analogiques avec plusieurs échelles imbriquées de
façon compliquée et graduée d'une façon ambiguë sur un même cardon,
l'opérateur peut se tromper sur l'échelle de lecture. Ajoutons à cela le défaut de
parallaxe qui est une erreur que l'on commet lors d'une lecture « en biais »
lorsque l'aiguille est toujours un peu écartée de l'échelle.
2.2.2. L'appareil
A cause des influences extérieures comme la position, la température,
l'humidité de l'air, les champs parasitaires magnétiques ou électriques,
l'instrument peut fausser une mesure.
Exemples : Les champs parasitaires magnétiques peuvent rendre impossible la
mesure par induction aux environs d'un transformateur.
Egalement, la position (horizontale ou verticale) d'utilisation des appareils
de mesure est aussi décisive. Ces appareils doivent être utilisés conformément
à la position indiquée sur le cardon.
2.2.3. Le montage
Les mauvais contact, à savoir : serrage des pièces, état de surface, fils de
connexion…, et le défaut d'isolement, qui peut causer un courant de fuite, sont
à l'origine des erreurs.
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Remarque :
Pour remédier aux erreurs aléatoires, il suffit que les montages soient clairs
et soignés et les paramètres mis en jeu soient bien connus et maîtrisés. En
effet, il suffit d'utiliser un bon oscilloscope possédant un réglage qui permet
d'éliminer la rotation du faisceau.
On peut aussi réduire ces erreurs en faisant une série de mesures et en
calculant la valeur moyenne arithmétique.
Suivant l'expression de la mesure on a deux types d'erreurs :
(cid:131) L'erreur absolue
(cid:131) L'erreur relative
3. ERREUR ABSOLUE, INCERTITUDE ABSOLUE
Soient :
(cid:131) X : la valeur mesurée de la grandeur
(cid:131)
eX : la valeur théorique exacte de la même grandeur
L’erreur absolue, notée Xδ , est l'écart qui existe entre la valeur mesurée et
sa valeur théorique exacte exprimée avec la même unité.
δ = −
X X X
e
Comme la valeur exacte de la grandeur à mesurer est inconnue, il faut
évaluer une limite supérieure de l'erreur absolue qui n'est autre que
l'incertitude absolue notée :
Δ =
X
sup
Xδ
(
)
4. ERREUR RELATIVE, INCERTITUDE RELATIVE
L'erreur relative est le quotient de l'erreur absolue à la valeur exacte.
=
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ε
r
=
δ
X
X
e
−
X X
X
e
e
Comme il s'agit d'un nombre sans dimension (pas d'unité), on l'exprime
généralement en pourcentage (%) :
ε
r
%
=
δ
X
X
e
×
100
=
−
X X
X
e
e
×
100
Egalement, si la valeur exacte de la grandeur est inaccessible, on prendra
la limite supérieure de l'erreur relative qui n'est autre que l'incertitude relative :
Δ
X
X
e
On peut l'exprimer en % :
Δ
X
X
e
×
100
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Remarque : les erreurs sont de signe quelconque (positif ou négatif).
5. EXPRESSION DU RESULTAT
Le résultat peut s'exprimer de deux façons :
5.1. 1ère façon
La valeur adoptée est égale à la valeur mesurée suivie de l'évaluation de
l'incertitude absolue :
=
X
± Δ
[
X unité
]
eX
5.2. 2ème façon
La valeur adoptée est égale à la valeur mesurée suivie de l'évaluation de
l'incertitude relative :
=
[
X unité
X
e
]
Δ⎛
X
± ⎜
X
⎝
⎞
⎟
⎠
%
5 %
ou
R =
(10.0
±
0.5 )
Ω
Exemples :
R =
Ω ±
10
6. CALCUL D'INCERTITUDE POUR LES OPERATIONS DE
BASE
En général, la valeur de la grandeur à mesurer (
eX ) est obtenue par une
K . De ce fait, on peut utiliser l'outil
mathématique « calcul de la différentielle » afin de déterminer les incertitudes :
relation mathématique :
f a b c
( ,
,
eX
=
)
,
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(cid:131) L'incertitude absolue s’exprime sous la forme suivante :
Δ
X
=
∂
∂
f
a
⋅ Δ +
a
∂
∂
f
b
⋅ Δ +
b
∂
∂
f
c
⋅ Δ
c
=
a b cte
,
=
a c cte
,
=
b c cte
,
(cid:131) L'incertitude relative s’exprime sous la forme suivante :
Δ
X
X
=
∂
∂
f
a
⋅
Δ
a
X
+
∂
∂
f
b
⋅
Δ
b
X
+
∂
∂
f
c
⋅
Δ
c
X
=
a b cte
,
=
a c cte
,
=
b c cte
,
Appliquons ces deux formules afin de déterminer les incertitudes absolues et
relatives dans le cas des opérations de base :
6.1. Somme
Cas d'une association de boîtes de résistances en série :
=
R R R
1
+
+
R
3
2
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ISET de Nabeul
(cid:170)On obtient :
Δ = Δ
R
R
1
+ Δ
R
+ Δ
R
3
2
ou encore
Δ
=
Δ
R
R
6.2. Différence
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Soit :
I
=
I
1
−
I
2
+ Δ
R
R
1
+
R R
+ Δ
2
+
R
2
1
3
R
3
(cid:170)On obtient :
Δ = Δ + Δ ou encore
I
I
I
1
2
Δ
I
I
=
Δ + Δ
I
I
1
−
I
1
I
2
2
6.3. Produit
⋅
Cas d'une énergie : W U I t
=
⋅
(cid:170)On obtient : W I t U Ut I UI t
Δ = Δ +
Δ +
Δ ou encore
Δ
Δ
W U
=
W U
+
Δ
I
I
+
Δ
t
t
6.4. Quotient
Soit :
X
=
a
b
(cid:170)On obtient :
Δ =
X
Δ
a
b
+
a
2
b
Δ ou encore
b
Δ
X
X
=
Δ
a
a
+
Δ
b
b
7. CALCUL PRATIQUE DE L’INCERTITUDE
7.1. Cas des appareils analogiques (ou à déviation)
Ce type d'appareil a pour principe de donner une déviation d'aiguille sur
une échelle graduée proportionnelle à la valeur de la grandeur à mesurer. Ainsi
la valeur mesurée sera donnée par la relation suivante :
=
X
×
C L
E
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Avec :
(cid:131) C : le calibre utilisé [unité]
(cid:131) L : la lecture (nombre de graduations lues sur l’échelle)
(cid:131) E : l’échelle (nombre total de graduations de l’échelle)
Un appareil de mesure à déviation est caractérisé par son indice de classe
de précision qui entraîne, suite à son utilisation :
(cid:131) Une incertitude de classe
Δ
X
C
=
×
Cl C Classe Calibre
100
100
=
×
De plus, l'opérateur n'étant pas parfait ; il peut commettre une erreur de
lecture qui entraîne :
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Chapitre 2 : Les erreurs de mesure
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(cid:131) Une incertitude de lecture
Si on désigne par LΔ la fraction de graduation d’erreur commise (appelée
aussi la fraction de division estimé lors de la mesure), l’incertitude de lecture
sera donnée par la relation suivante :
Δ
X
L
=
× Δ
C L
E
(cid:131) L’incertitude totale
La méthode est aussi une source d'incertitude à évaluer (notée
XΔ
méthode
).
D'où l’incertitude totale commise sur une mesure employant un appareil
analogique sera la somme de l'incertitude de classe, de l'incertitude de lecture
et de l'incertitude de méthode si elle existe :
Δ = Δ
X
X
+ Δ
X
L
C
+ Δ
X
méthode
7.2. Cas des appareils numériques
Pour les appareils à affichage numérique, les constructeurs fournissent
sous le nom de précision une indication qui permet de calculer l'incertitude
totale sur la mesure.
La précision est généralement donnée en pourcentage de la lecture pour
chaque gamme. Elle peut être exprimée de deux façons :
(cid:190) 1ère façon
On obtient donc :
Avec :
Δ = ±
X
+
x Lecture y Gamme
( %
)
%
Δ =
X
⋅
⋅
x L y G
+
100
100
(cid:131) G : la gamme utilisée [unité]
(cid:131) L : la lecture (affichée directement sur l’afficheur de l’appareil)
(cid:190) 2ème façon
On obtient donc :
Δ = ±
X
x Lecture n po
( %
+
s
int )
Δ =
X
⋅
⋅
x L n G
+
100
N
Avec :
(cid:131) n : le nombre de points d’erreur commise par appareil
(cid:131) N : le nombre total de points de l’appareil
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