(O.Granier)
Le théorème de Gauss
Olivier GRANIER
I – Flux du champ électrostatique
Définition :
Soit E(M) un champ électrostatique défini dans un domaine de l’espace.
r
(ME
r
n
θ
Surface (ΣΣΣΣ)
M
Surface
élémentaire dS
(C) orienté
)
Soit (ΣΣΣΣ) une surface dont le
contour (C) est orienté de manière
arbitraire.
Le choix de cette orientation
conditionne le choix du vecteur
normal unitaire à la surface
élémentaire dS centrée en M
(règle du tire-bouchon ou de la
main droite).
Olivier GRANIER
r
(ME
)
r
n
θ
Surface (ΣΣΣΣ)
M
Surface
élémentaire dS
(C) orienté
On appelle flux élémentaire dΦΦΦΦ du
champ E à travers la surface dS
orientée la quantité :
r
r
(=Φ
).
dSnME
d
Le flux total du champ E à travers
toute la surface est alors :
r
).
dSnME
r
(
=Φ
∫∫ Σ
(
)
Intérêt physique du flux :
ME
Le flux « compte » les lignes de champ qui traversent la surface (le flux
est maximal lorsque θ θ θ θ = 0 et nul pour θ θ θ θ = ππππ/ 2 ).
(=Φ
d
θcos
dS
)
Olivier GRANIER
Cas d’une surface fermée :
Exemples de surfaces fermées (elles délimitent un volume fini) :
Surface
fermée (ΣΣΣΣ)
M
dS
r
n
r
(ME
)
Le vecteur normal n est choisi, par
convention, dirigé vers l’extérieur du
volume délimité par la surface fermée.
On définit alors le flux sortant à travers la surface fermée,
que l’on note :
r
).
dSnME
r
(
=Φ
S
∫∫ Σ
(
)
Olivier GRANIER
II – Le théorème de Gauss
Le théorème de Gauss permet d’évaluer le flux du champ électrostatique
sortant d’une surface fermée, en fonction des charges contenues à
l’intérieur de cette surface.
On considère une charge ponctuelle q placée en O et on choisit comme
surface fermée la sphère ΣΣΣΣ(O,r) de centre O et de rayon r.
On évalue le flux sortant du champ électrique à travers ΣΣΣΣ(O,r).
r
r
).
uME
r
ru
r
n
=
(
(
=
dS
r
r
(ME
)
M
dS
O
q
d
=Φ
S
r
(
ME
)
=
r
r
).
dSnME
r
ru
q
2
1
4
πε
0
q
4πε
0
r
1
2
r
ΣΣΣΣ(O,r)
d S
=Φ
dS
Olivier GRANIER
En intégrant sur toute la sphère (sur laquelle r est constant) :
=Φ
S
q
4
πε
0
1
2
r
S
sphère
=
q
4
πε
0
1
2
r
4(
r
π
2
)
soit
=Φ
S
q
ε
0
Généralisation : on considère des charges ponctuelles qint placées à
l’intérieur d’un volume délimité par une surface fermée (ΣΣΣΣ) quelconque.
Surface
fermée (ΣΣΣΣ)
qint
Volume
intérieur (V)
r
(ME
qint
dS
M
qint
r
n
)
=Φ
S
∫∫
(
=Φ
S
Σ
)
1
ε
0
r
).
dSnME
r
(
∑
q
int
Olivier GRANIER
Cas de charges extérieures à la surface fermée :
Surface
fermée (ΣΣΣΣ)
r2
r
(1 ME
)
M2
dS2
r
2n
r
(2 ME
)
r
1n
M1
qext
r1
dS1
Le flux sortant du champ créé par la charge qext à travers la surface
fermée est nul (les flux à travers dS1 et dS2 se compensent deux à deux :
les champs diminuent comme 1 / r2 mais les surfaces dS augmentent
comme r2).
Olivier GRANIER
Énoncé du théorème de Gauss :
Les charges qint et qext créent un champ E en tout point M de l’espace.
Surface
fermée (ΣΣΣΣ)
qint
Volume
intérieur (V)
qint
r
(ME
r
n
qint
dS
M
qext
)
=Φ
S
∫∫
(
=Φ
S
Σ
)
1
ε
0
r
Advertisement
).
dSnME
r
(
∑
q
int
Le flux du champ sortant d’une surface fermée est égal au produit par 1/εεεε0
de la somme des charges intérieures à la surface ; ce flux est indépendant
de leur position et de la présence de charges extérieures.
Olivier GRANIER
Cas d’une répartition volumique de charges :
Soit ρρρρ la densité volumique de charges.
Surface
fermée (ΣΣΣΣ)
ρρρρ
Volume
intérieur (V)
dS
M
ρρρρ
r
(ME
)
r
n
=Φ
S
∫∫
(
Σ
)
r
).
dSnME
r
(
=
1
ε
0
∫∫∫
(
V
)
)
dP
τρ
(
Olivier GRANIER
Topographie du champ électrostatique
2q
- q
Nombre de lignes : les lignes partant de + 2q sont deux fois plus
nombreuses que celles qui arrivent en – q.
Olivier GRANIER
III – Applications du théorème de Gauss
Méthode de raisonnement : choix d’une surface de Gauss (ΣΣΣΣ) puis :
=Φ
S
∫∫
(
Σ
)
r
).
dSnME
r
(
=
∑
q
int
1
ε
0
Calcul direct du flux en
utilisant les propriétés de
symétrie fortes du champ
(si elles existent !)
Calcul des charges intérieures à
la surface de Gauss choisie.
L’identification des deux expressions du flux sortant donne
ensuite la valeur du champ en tout point de l’espace.
Olivier GRANIER
1 – Sphère ΣΣΣΣ(O,R) uniformément chargée en volume :
r
r
rurEME
=
)(
(
)
r
ru
O
ρρρρ
ΣΣΣΣ(O,R)
r
M
=Φ
S
=Φ
S
=Φ
S
Surface de
Gauss ΣΣΣΣ(O,r)
r
).
dSnME
r
(
rr
.
)(
uurE
r
r
dS
)(
dSrE
=
)(
SrE
Σ
(
),
rO
Σ
)
Σ
)
Σ
)
(
∫∫
∫∫
∫∫
(
(
π=Φ
4
S
2
)(
rEr
Olivier GRANIER
r
r
rurEME
=
)(
(
)
r
M
r
ru
O
ρρρρ
ΣΣΣΣ(O,R)
Surface de
Gauss ΣΣΣΣ(O,r)
Si r > R :
q
int
=
4
3
ρπ 3
R
=
Q
Si r < R :
q
int
=
4
3
3
r
ρπ
=
3
Q
r
R
Q désignant la charge totale
portée par la sphère ΣΣΣΣ(O,r).
Olivier GRANIER
L’application du théorème de Gauss donne alors :
Pour r > R :
)(
rE
=
1
4
πε
0
Q
2
r
et
r
E
=
1
4
πε
0
Q
2
r
r
ru
C’est équivalent au champ dû à une charge ponctuelle Q placée en O.
Pour r < R :
)(
rE
=
1
4
πε
0
Q
3
R
r
et
r
E
=
1
4
πε
0
Q
3
R
r
ur
r
=
1
4
πε
0
Q
3
R
r
r
Le champ varie linéairement avec la distance au centre r (il est
notamment nul au centre de la sphère).
Olivier GRANIER
Représentation graphique du champ E(r) (pour Q > 0) :
E(r)
1
4
πε
0
Q
2
R
1
4
πε
0
Q
Advertisement
2
r
0
R
r
Olivier GRANIER
Détermination du potentiel :
La relation intrinsèque entre le champ et le potentiel donne ici, en
coordonnées sphériques :
r
E
grad
)(
rE
−=
−=
⇒
V
dV
dr
Pour r > R :
dV
dr
−=
1
4
πε
0
Q
2
r
'
oùd
)(
rV
=
1
4
πε
0
Q
r
en ayant choisit V(r) nul à l’infini (pas de charges à l’infini).
On retrouve l’expression du potentiel créé par une charge ponctuelle Q
placée en O.
Olivier GRANIER
Pour r < R :
dV
dr
−=
1
4
πε
0
Q
3
R
r
soit
)(
rV
−=
1
2
1
4
πε
0
Q
3
R
2
r
+
K
La constante K s’obtient en écrivant la continuité du potentiel en r = R :
(
RV
)
−=
1
2
1
4
πε
0
K
=
Q
3
R
3
2
2
R
+
K
=
1
4
πε
0
Q
R
1
4
πε
0
Q
R
Soit :
)(
rV
=
1
2
1
4
πε
0
Q
R
3
−
2
r
2
R
Olivier GRANIER
Représentation graphique du potentiel V(r) (pour Q > 0) :
V(r)
3
2
1
4
πε
0
1
4
πε
0
Q
R
Q
R
1
4
πε
0
Q
r
0
R
r
Olivier GRANIER
2 – Sphère uniformément chargée en surface :
L’application du théorème de Gauss donne alors :
Pour r > R : (avec Q = 4ππππR2σσσσ)
r
1
E
4
πε
0
)(
rE
Q
2
=
r
;
=
1
4
πε
0
Q
2
r
r
u
r
;
)(
rV
=
1
4
πε
0
Q
r
C’est équivalent au champ et au potentiel dus à une charge ponctuelle Q
placée en O.
Pour r < R :
q
int
=
0
;
r
E
r
0
=
;
V
=
cste
=
1
4
πε
0
Q
R
Le champ est donc nul à l’intérieur de la sphère chargée en surface.
Il y a continuité du potentiel pour r = R.
Olivier GRANIER
Représentation graphique du champ E(r) (pour Q > 0) :
E(r)
1
4
πε
0
Q
2
R
E
=∆
1
4
πε
0
Q
2
R
=
σ
ε
0
Discontinuité
« habituelle »
du champ
1
4
πε
0
Q
2
r
0
R
r
Olivier GRANIER
Représentation graphique du potentiel V(r) (pour Q > 0) :
V(r)
1
4
πε
0
Q
R
Le potentiel
est continu
en r = R
1
4
Advertisement
πε
0
Q
r
0
R
r
Olivier GRANIER
3 – Cylindre infini uniformément chargé en volume :
∞
z
H
ρρρρ
O
r
r
ru
∞
M
P
x
r
r
rurEME
=
)(
(
)
y
Olivier GRANIER
h
ΣΣΣΣ1
ΣΣΣΣlat
ΣΣΣΣ2
x
z
H
O
ρρρρ
∞
r
ru
∞
Surface de Gauss
(cylindre (C) d’axe
Oz, de hauteur h
et de rayon r)
r
M
r
r
rurEME
=
)(
)
(
y
Olivier GRANIER
Calcul direct du flux sortant :
=Φ
S
∫∫
(
C
)
r
.)
dSnME
r
(
=Φ
S
∫∫
(
Σ
1
)
rr
.
dSnurE
1
r
)(
+
∫∫
(
Σ
2
)
rr
.
dSnurE
r
)(
2
+
∫∫
(
Σ
lat
)
rr
.
dSuurE
r
)(
r
=
0
car
r
u
r
r
n
1
⊥
=
0
car
r
u
r
r
n
2
⊥
=Φ
S
∫∫
(
Σ
lat
)
rr
.
dSuurE
r
)(
r
=
)(
rE
∫∫
(
Σ
lat
)
dS
2
π=
)(
rEhr
S π=Φ
2
)(
rEhr
Olivier GRANIER
Calcul des charges intérieures :
q
Pour r > R :
π hR
int =
ρ
2
Pour r < R :
q
int =
2
ρπ hr
L’application du théorème de Gauss donne alors :
Pour r > R :
Pour r < R :
.
)(
rE
=
ρ
2
ε
0
2
R
r
)(
rE
=
ρ
2
ε
0
r
et
et
r
(
ME
)
=
ρ
2
ε
0
r
ru
2
R
r
r
(
ME
)
=
r
rur
ρ
2
ε
0
Olivier GRANIER
Détermination du potentiel :
La présence de charges à l’infini ne permet pas d’annuler le potentiel à
l’infini. On choisit arbitrairement la surface du cylindre (pour r = R) au
potentiel nul, par exemple.
ρ
2
ε
0
Pour r > R :
ρ
2
ε
0
dV
dr
)(
rV
donc
R
r
−=
−=
ln(
K
R
+
r
)
2
2
Pour r < R :
)(
rV
=
ρ
2
ε
0
2
R
ln(
R
r
)
ρ
2
ε
0
Par continuité du potentiel en r = R, on obtient :
dV
dr
)(
rV
donc
−=
−=
Advertisement
r
1
22
ρ
ε
0
2
r
+
K
'
)(
rV
=
(
R
2
)2
−
r
ρ
04
ε
Olivier GRANIER
4 – Plan infini uniformément chargé en surface :
r
r
zuzEME
=
)(
(
)
2z
σσσσ
(S)
M
z
O
y
x
(S)
Surface de Gauss
MS
r
(
ME
)
−=
S
r
)(
uzE
z
Olivier GRANIER
Représentation graphique du champ E(z) (pour σσσσ > 0) :
E(z)
σ
02ε
=∆E
σ
0ε
z
Discontinuité
« habituelle »
du champ
0
−
σ
02ε
Olivier GRANIER
5 – Charges volumiques positives entre deux plans (ex n°8) :
Des charges positives sont contenues entre les deux plans x = + a et
x = - a, avec une densité volumique uniforme ρρρρ.
Calculer le champ et le potentiel en tout point de l'espace On admet que
le plan x = 0 est au potentiel V0.
y
ρρρρ
0
M
x
z
Olivier GRANIER
Représentation graphique du champ E(x) (pour ρρρρ > 0) :
E(x)
ρa
0ε
Le champ est
ici continu
(propriété des
distributions
volumiques)
- a
0
a
x
−
ρa
0ε
x
−<
)(
xEa
:
−=
a
ρ
ε
0
x
>
)(
xEa
:
=
a
ρ
ε
0
<<−
a
x
)(
xEa
:
=
x
ρ
ε
0
Olivier GRANIER
Représentation graphique du potentiel V(x) (pour ρρρρ > 0) :
V(x)
0V
)(aV
x
>
a
:
)(
xV
=
a
ρ
ε
0
x
+−
a
2
+
V
0
0
x
<<
)(
xVa
:
−=
ρ
2
ε
0
2
x
+
V
0
- a
0
a
x
Le potentiel est une
fonction paire.
La pente du potentiel
est continue en x=+a
et x=-a.
Olivier GRANIER
6 – Théorème de Gauss et principe de superposition (ex n°12) :
On considère un plan infini percé d'un trou circulaire de rayon R, et
chargé uniformément en surface.
A l'aide du principe de superposition, calculer le champ électrostatique
en un point M situé sur l'axe du trou.
M (z)
z
O
y
x
σσσσ
Olivier GRANIER
IV – Théorème de Gauss pour le champ gravitationnel
Analogies formelles :
r
f
élec
=
1
4
πε
0
2
r
r
u
r
r
f
grav
−=
G
r
u
r
mM
2
r
=Φ
S
∫∫
(
Σ
)
r
).
dSnME
r
(
1
4
πε
0
G−⇔
q ⇔
m
=
1
ε
0
∑
q
int
=Φ
S
∫∫
(
Σ
)
r
).
dSnMG
r
(
4
G
−=
π
∑
m
int
Olivier GRANIER
Exemples (ex n°16) :
Utiliser le théorème de Gauss pour calculer le champ gravitationnel créé
par une sphère de masse M en tout point de l'espace, dans les deux cas
suivants :
* Sphère creuse (densité surfacique σσσσ = cste).
* Sphère pleine (masse volumique ρρρρ = cste).
Olivier GRANIER