Introduction à la théorie des probabilités

: l’événement A ∪ B se réalise si et seulement si A ou B se réalise

ou les deux se réalisent.

o Exemple : "Malade" ∪ "Fumeur" → être soit malade soit fumeur soit les deux

▪

Intersection "∩"

réalisent en même temps.

: l’événement A ∩ B se réalise si et seulement si A et B se

o Exemple : "Malade" ∩ "Fumeur" → être malade et fumeur

▪ Différence "−" :

l’événement A − B se réalise si et seulement si A se réalise

mais pas B

o Exemple : "Malade" − "Fumeur" → être malade et non fumeur

▪ Complémentaire " ҧ𝐴"

: l’événement

ҧ𝐴 se réalise si et seulement si A ne se

réalise pas, c’est-à-dire tout le Ω sauf le A.

o Exemple : Soit l’expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé une seule fois. Si

l’événement A = "Obtenir un chiffre pair" alors ഥA = "Obtenir un chiffre impair"

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Expérience aléatoire

▪

Illustration graphique des opérations sur les événements

A

B

A ∪ B

Ω

Ω

A ∪ B

Ω

Ω

A

B

A ∩ B

A

B

∩

A

B

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Expérience aléatoire

▪

Illustration graphique des opérations sur les événements (suite …)

A

B

A − B

A − B

Ω

Ω

Ω

A

ҧ𝐴

A

ҧ𝐴

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Expérience aléatoire

Quelques propriétés des opérations sur les évènements

Soit A un événement de Ω :

▪

▪

▪

▪

▪

▪

(P1) :

(P2) :

(P3) :

(P4) :

(P5) :

(P6) :

Règles de Morgan

Soient A et B deux événements de Ω :

▪

▪

(R1) :

(R2) :

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AA=AA=AA=AA=A=A=ABAB=ABAB=Expérience aléatoire

Définition d’un Système Complet d’Évènements (SCE)

Soient 𝐴1 , 𝐴2, … , 𝐴𝑛 un ensemble de n événements de Ω. On dit que

cet ensemble d’événements forment un Système Complet d’Événements

(SCE) si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

▪ Exemple : Soit l’expérience aléatoire qui consiste à lancer une seule fois un

dé non truqué à 6 faces. Ainsi, l’ensemble fondamental de cette expérience

aléatoire  = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Soient A et B deux événements de Ω définis

comme suit :

o A = "Obtenir un nombre pair " = 2, 4, 6

o

B = "Obtenir un nombre impair" = 1, 3, 5

▪ L’ensemble des deux événements  𝐴, 𝐵  est un système complet

d’événements puisque : A ∩ B =  et A ∪ B = Ω.

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11.,2.ijniiAAijA===Expérience aléatoire

▪

Illustration graphique d’un SCE :

Ω

Ω

A1

A2

A2

A3

▪ On peut facilement vérifier que 𝐴1 , 𝐴2, 𝐴3 est un SCE puisque :

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12AA=23AA=13AA=123etAAA=Expérience aléatoire

Définition d’évènements incompatibles

Soient A et B deux événements de Ω. On dit que A et B sont

incompatibles s’ils ne peuvent se réaliser en même temps, c’est-

à-dire qu’ils n’ont aucun résultat en commun. Formellement on

écrit A ∩ B = .

▪ Exemple : Soit l’expérience aléatoire qui consiste à lancer une seule fois un

dé non truqué à 6 faces. Ainsi, l’ensemble fondamental de cette expérience

aléatoire  = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Soient A et B deux événements de Ω définis

comme suit :

o A = "Obtenir un nombre pair" = 2, 4, 6

o

B = "Obtenir un nombre impair" = 1, 3, 5

▪ On peut vérifier facilement que les deux événements A et B sont incompatibles

puisque A ∩ B = .

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Analyse Combinatoire

Définition d’une disposition

Une disposition est une collection d’éléments. Une disposition peut

être :

▪ Ordonnée ou non-ordonnée

o Les dispositions sont ordonnées, si deux dispositions contenant les

mêmes éléments sont considérées comme différentes lorsque ces

éléments sont placés dans un ordre différent.

o Les dispositions sont non ordonnées, si deux dispositions contenant les

mêmes éléments sont considérées comme identiques quel que soit

l’ordre dans lequel sont placés leurs éléments.

▪ Avec répétition ou sans répétition

o Une disposition sans répétition est une disposition où chaque élément

peut apparaître au plus une seule fois.

o Une disposition avec répétition est une disposition où chaque élément

peut apparaître plus qu’une seule fois.

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Analyse Combinatoire

▪ Exemples de dispositions :

o

o

Les ensembles sont des exemples typiques de disposition non ordonnées puisque l’ordre

des nombres (éléments) dans un ensemble (disposition) n’est important. Ainsi, les deux

ensembles A = 1, 2, 3 et B = 3, 1, 2 sont identiques selon la théorie des ensembles.

Les mots sont des exemples typiques de dispositions ordonnées puisque l’ordre des lettres

(éléments) dans un mot (disposition) est important. Ainsi, bien que les trois mots « chien »,

« niche » et « chine » contiennent les mêmes lettres mais placées dans des ordres différents,

ils ont des significations complétement disparates.

o On considère un ensemble à trois éléments (lettres) E = {a, b, c}.

➢ Combien de mots (dispositions ordonnées) de deux lettres peut-on construire à partir

de E (sans répétition). Réponse : ab, ac, bc, ba, ca et cb.

➢ Combien de mots (dispositions ordonnées) de deux lettres peut-on construire à partir

de E (avec répétition). Réponse : aa, bb, cc, ab, ac, bc, ba, ca et cb.

➢ Combien de sous ensemble de deux lettres (dispositions non ordonnées) peut-on

construire à partir de E (sans répétition). Réponse : {a, b}, {a, c} et {b, c}.

➢ Combien de sous ensemble de deux lettres (dispositions non ordonnées) peut-on

construire à partir de E (avec répétition). Réponse : {a, a}, {b, b} et {c, c}, {a, b}, {a, c} et

{b, c}.

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Analyse Combinatoire

Définition de l’analyse combinatoire

L’analyse combinatoire est un ensemble de formules qui ont

pour but de dénombrer les différentes dispositions que l’on

peut former à partir d’un ensemble fini d’éléments.

▪ Exemple d’illustration de l’utilité des

formules de l’analyse

combinatoire :

o Considérons l’ensemble F = {a, b, c, d, e}. Si on vous demande de déterminer le

nombre (ou dénombrer) de sous-ensembles de deux lettres (dispositions non

ordonnées) qu’on peut construire (sans répétition) à partir de notre ensemble initial

F. Dans ce cas, il est facile de répondre comme suit : {a, b}, {a, c}, {a, d}, {a, e} {b, c},

{b, d}, {b, e}, {c, d} {c, e}, {d, e}, donc en tout 10 dispositions.

o

Imaginons maintenant qu’on a un ensemble F contenant les 26 lettres de l’alphabet

et qu’on vous demande de déterminer le nombre de mots (dispositions ordonnées)

de 5 lettres (en considérant même ceux qui n’ont aucun sens) qu’on peut construire

(sans répétition) à partir de F. BONNE CHANCE ….

➢ Une des formules de l’analyse combinatoire donnera une réponse rapide et simple à cette

question.

o N.B. dans la suite de ce cours, nous allons se limiter aux dispositions (ordonnées ou non) mais

sans répétition.

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Analyse Combinatoire

Principes fondamentaux de l’analyse combinatoire

En analyse combinatoire, il est important de distinguer deux principes

fondamentaux :

▪ Le principe de multiplication : Si une opération A peut être effectuée de m

façons, et si après que A a été effectuée, une deuxième opération B peut

être effectuée de n façons, alors les deux opérations successives peuvent

être effectuées de m n façons.

▪ Le principe d’addition : Si deux opérations A et B sont incompatibles (on

ne peut pas les réaliser en même temps) et s’il y a m façons de réaliser A et

n façons de réaliser B, alors il y a m + n façons de réaliser l’une ou l’autre

de ces deux opérations.

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Analyse Combinatoire

▪

▪

Exemple 1 : Dans une entreprise, deux postes différents doivent être comblés. Cinq

personnes ont posé leur candidature. De combien de façons différentes peut-on attribuer

ces deux postes P1 et P2 ? On suppose ici qu’une personne ne peut occuper qu’un seul

poste.

Réponse : Pour occuper le poste A, il y a cinq candidats possibles (m = 5). Une fois que le

poste A est comblé, il reste 4 candidats possibles pour combler le poste B (n = 4). Donc, il

existe (m n) 5  4 = 20 façons différentes pour combler les deux postes).

Exemple 2 : De combien de façons peut-on partager 3 volumes (V1, V2, V3) différents

entre 2 enfants (E1, E2) si l’on doit en attribuer au moins un à chacun d’eux ?

Réponse : Pour partager les volumes, on peut :

1. Soit donner un volume à l’enfant E1 et deux volumes à l’enfant E2 (opération A);

2. Soit donner deux volumes à l’enfant E1 et un volume à l’enfant E2 (opération B).

Il est claire ici que les deux opérations A et B sont incompatibles.

P1 = (A, V1) et (B, V2, V3)

P2 = (A, V2) et (B, V1, V3)

P3 = (A, V3) et (B, V1, V2)

Opération A

(m = 3)

P4 = (A, V1, V2) et (B, V3)

P5 = (A, V1, V3) et (B, V2)

P6 = (A, V2, V3) et (B, V1)

Opération B

(n = 3)

6 Partages possibles

(m + n)

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Analyse Combinatoire

Arrangement sans répétition : Définition

Soit un ensemble Ω contenant n éléments distincts. On appelle

arrangement sans répétitions une disposition ordonnée de r éléments

les n éléments de Ω (r ≤ n). Le nombre

distincts choisis parmi

d’arrangements de dimension r qu’on peut former à partir de l’ensemble

Ω de dimension n (r ≤ n) est donné par la formule suivante :

Avec

▪

Idée intuitive : Pour trouver le nombre d’arrangements, il suffit de déterminer

le nombre de façons de ranger n objets dans r cases (r ≤ n) ?

Case 1

Case 2

Case 3

n possibilités

(n-1) possibilités

(n-2) possibilités

…

…

Case r

(n-r+1) possibilités

Pour remplir la première case,

on a le choix entre n objets

Une fois que la première case est rempli,

on doit choisir entre (n-1) objets

pour remplir la deuxième case

…

Une fois que les (r-1) premières cases sont

remplis, on doit choisir entre (n-r+1) objets

pour remplir la rième case

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!(1)(2)....(1)()!rnnAnnnnrnr=−−−+=−!(1)(2)....21nnnn=−−!()!nnr=−Analyse Combinatoire

▪

▪

Exemple 1 : Considérons un ensemble Ω = {a, b, c, d}. On veut déterminer le nombre de

mots (dispositions ordonnées ou arrangements) de 2 lettres (r = 2) qu’on peut construire

à partir des 4 lettres de Ω (n = 4).

Réponse :

Exemple 2 : Dans une compétition de patinage artistique, trois médailles (or, argent,

bronze) sont convoitées par 12 candidates. De combien de façons peut-on attribuer ces

médailles aux différentes candidates (on suppose ici qu’il ne peut y avoir d’ex æquo) ?

Réponse :

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244!4!432112(42)!2!21A====−abacadbcbdcdbacadacbdbdc31212!12!1211101320(123)!9!A====−Analyse Combinatoire

▪

Exemple 3 : Revenons à l’exemple de l’ensemble F qui contient les 26 lettres de l’alphabets

soulevé précédemment. Dans cet exemple, on vous a demandé de déterminer le nombre

de mots (dispositions ordonnées) de 5 lettres (en considérant même ceux qui n’ont aucun

sens) qu’on peut construire (sans répétition) à partir de F.

Réponse :

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52626!26!26252423227893600(265)!21!Amotspossibles====−Analyse Combinatoire

Permutation sans répétition : Définition

Soit un ensemble Ω contenant n éléments distincts. Une permutation sans

répétitions de ces n éléments est un arrangement sans répétitions de ces n

éléments pris n à la fois.

Une permutation sans répétition de n éléments n’est qu’une façon

particulière d’ordonner ces éléments. Ainsi le nombre de permutations

est donné par la formule suivante :

▪

Idée intuitive : Pour trouver le nombre de permutations, il suffit de déterminer

le nombre de façons de ranger n objets dans n cases ?

Case 1

Case 2

Case 3

n possibilités

(n-1) possibilités

(n-2) possibilités

…

…

Case n

1 possibilité

n! possibilités

Pour remplir la première case,

on a le choix entre n objets

Une fois que la première case est rempli,

on doit choisir entre (n-1) objets

pour remplir la deuxième case

…

Une fois que les (n-1) premières cases sont

remplis, il reste un seul objet pour

remplir la dernière case

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!nnnPAn===Analyse Combinatoire

▪

▪

Exemple 1 : Il y a combien de façons de ranger trois livres différents L1, L2 et L3 sur une

étagère de bibliothèque.

Réponse :

Exemple 2 : De combien de façons différentes, 3 garçons et 2 filles peuvent-ils s’assoir sur

un banc de 5 places si les garçons s’assoient les uns à coté des autres et s’il en est de même

pour les filles ?

Réponse : Il a deux configurations possibles pour que les garçons s’assoient les uns à coté

des autres et il en est de même pour les filles : GGGFF ou FFGGG. Pour chacune de ces

deux configurations cherchons le nombre de façons de faire assoir les filles et les garçons.

G G G

F

F

3!

F

F

2!

G G G

2!

3!

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3333!3216AP====123132213231312321LLLLLLLLLLLLLLLLLL−−−−−−−−−−−−+12=24=12=Analyse Combinatoire

Combinaison sans répétition : Définition

Soit un ensemble Ω contenant n éléments distincts. On appelle

combinaison sans répétitions une disposition non ordonnée de r éléments

les n éléments de Ω (r ≤ n). Le nombre de

distincts choisis parmi

combinaisons de dimension r qu’on peut former à partir de l’ensemble Ω

de dimension n (r ≤ n) est donné par la formule suivante :

▪

Idée intuitive : Pour trouver le nombre de combinaisons, il suffit de déterminer le

nombre de sous-ensembles (dispositions non ordonnées) de cardinalité r qu’on peut

construire à partir d’un ensemble initial de cardinalité n (r ≤ n).

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!!()!!rrnnAnCrnrr==−Analyse Combinatoire

▪

▪

Exemple 1 : Considérons un ensemble Ω = {a, b, c, d}. On veut déterminer le nombre de

sous-ensembles (dispositions non ordonnées) de 2 lettres (r = 2) qu’on peut construire à

partir des 4 lettres de Ω (n = 4).

Réponse :

Exemple 2 : Dans une université, il y a 5 économistes et 6 sociologues. On doit former un

comité composé de 3 économistes et de 3 sociologues. Combien de comités différentes

pourrait-on former si :

a) Tous peuvent y participer.

b) Un économiste ne peut y participer

c) Deux sociologues doivent absolument faire partie de ce comité.

Réponse :

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244!62!(42)!C==−,,,,,,abacadbcbdcd335633463154)200)80)40aCCbCCcCC===Probabilité

Probabilité : Introduction

En théorie des probabilités, deux approaches ont été proposées

pour determiner la probabilité d’un événement A :

1. Approche Fréquentiste ;

2. Approche basée sur l’axiomatique de Kolmogorov.

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Probabilité

Probabilité : Approche Fréquentiste

Dans l’approche fréquentiste, on se base sur l’expérience pour donner

une estimation de la probabilité d’un événement A.

Ainsi, la probabilité d’un événement A sera égale au nombre de fois que

l’événement A s’est réalisé divisé par le nombre de fois qu’on a répété

l’expérience aléatoire.

▪

Exemple : Lancé une pièce de monnaie (on ignore si elle est truquée ou non).

Objectif : Estimer la probabilité d’obtenir le coté "Pile".

Démarche :

1. On effectue N lancés de cette pièce de monnaie ;

2. On note NPile le nombre de fois que le coté "Pile" a été obtenu (donc NPile ≤ N);

3. La proportion (NPile /N) nous donne une estimation de la probabilité d’obtenir le

coté "Pile".

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Probabilité

▪ Que

se passe-t-il

s’i on

augmente le nombre N de

lancés ?

▪ Constat : Au fur est à mesure que

nombre de lancés N augmente,

la

le coté "Pile

probabilité d’obtenir

" tend vers 0.5. Ainsi, on définit la

probabilité d’obtenir le coté "Pile" de

la manière suivante :

▪

Problème : Il faut réaliser un grand nombre d’expérimentations pour avoir une

estimation plus précise de la probabilité d’un événement.

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Probabilité("Pile")limPileNNN→=Probabilité

Probabilité : Approche basée sur l’axiomatique de Kolmogorov

Cette approche suppose qu’on a une certaine connaissance a priori de la

probabilité d’un événement A. En effet, la probabilité d’un événement A

est considérée comme une mesure qui exprime le degré de conviction

qu’un individu particulier attribue, en se basant sur ses expériences, son

jugement, ses sentiments, …, à la réalisation de cet événement. Donc,

c’est une probabilité théorique qui ne nécessite pas d’expérimentations.

▪

Exemple : Lorsqu’on lance un dé parfait, nous savons a priori que :

Probabilité " d’obtenir 8 " = 0 et Probabilité " d’obtenir 2 " = 1/6 .

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Probabilité

Définition axiomatique de la Probabilité (selon Kolmogorov)

Soient Ω un ensemble fondamental associé à une experience aléatoire et 

l’ensemble de tous les événements de Ω .

On appelle probabilité sur , une application P de  dans [0, 1], qui

vérifie les trois axiomes suivants :

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()1.()12.,()03.,,',:()iiIiiiIiIPAPASoitAIunefamilledévénementsincompatiblesdeuxàdeuxalorsPAPA==Probabilité

Propriétés issues de l’axiomatique de Kolmogorov

Soient A et B deux événements de Ω.

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()0P=()1()PAPA=−0()1PA,()()()()SiABalorsPABPAPBPAB=+−()()SiBAalorsPBPA()()()()()PABPAPABPBPAB=−=−()()()PABPAPAB−=−Probabilité

Théorème des probabilités totales (Forme 1)

Soit B1, B2, …, Bn un Système Complet d’Événements (SCE) sur Ω.

▪

Exemple : Soient les trois événements suivants :

o L’événement A « Être un homme »;

o L’événement B1 « Être fumeur » ;

o L’événement B2 « Être non-fumeur ».

On peut facilement constater que B1, B2 est un SCE puisque B1  B2 = et B1 

B2 =Ω. On peut écrire alors que :

P("homme") = P("homme"  "fumeur") + P("homme"  "non-fumeur")

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1:()()niiAPAPAB==12()()()PAPABPAB=+Probabilité

Calcul de la probabilité d’un événement

Soit Ω = ωiiI, Iℕ un ensemble fondamental fini ou infini dénombrable.

Soit A  Ω. La probabilité de l’événement A est définie par :

Autrement dit, la probabilité de A est égale à la somme des probabilités de

tous les événements élémentaires ωi qui composent le A.

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()()iiAPAP=Probabilité

Ensemble fondamental Ω équiprobable

Si tous les résultats de Ω ont la même probabilité d’être réalisé, alors on dit

que Ω est un ensemble fondamental equiprobable.

Ainsi, si l’ensemble Ω contient N résultats, la probabilité d’un résultat ωi

est égale :

Par conséquent, on peut déduire la probabilité de n’importe quel

événement A  Ω contenant NA éléments comme suit :

NA fois

N.B. Card(X) signifie le nombre d’éléments qui se trouvent dans

l’ensemble X.

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1(),iiPN=111()Nombre de cas favorables à (),...()Nombre de cas possiblesANCardAAPANNNNCard=+++===Probabilité

▪ Exemple : On jette un dé parfait à 6 faces et on s’intéresse à l’évènement A =

"Obtenir un chiffre ≤ 2". Ainsi, A = 1, 2. Puisque le dé est parfait, on a un

ensemble fondamental Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 équiprobable et par conséquent la

probabilité d’obtenir n’importe quelle face du dé est 1/6. Ainsi, la probabilité

de l’événement A est déterminée comme suit :

▪ Remarque très importante : Pour calculer les probabilités, il faut savoir

compter le nombre d’éléments contenus dans les évènements (ou dénombrer

les

l’analyse

combinatoire.

événements) → d’où l’importance des Formules de

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112()1()("1")("2")666()3CardAPAPPCard=+=+===Probabilité

▪ Exemple : Dans un jeu de 32 cartes :

1. Déterminer le nombre de mains possibles contenant 5 cartes ?

2. Déterminer le nombre de mains de 5 cartes contenant exactement 3 As ?

3. Déterminer la probabilité de tirer une main de 5 cartes contenant

exactement 3 As ?

Réponse :

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5323242832!1.2013765!(325)!4!28!2.15123!(43)!2!(282)!15123.("3")0.0075201376CCCPObtenirexactementAs==−==−−==Probabilité

Probabilité conditionnelle : Introduction

▪ Comme mesure de l’incertitude, la probabilité d’un événement A dépend de

l’information qu’on détient sur A.

▪ Par exemple, la probabilité que nous pourrions donner à l’évènement A :

A = " Prêter de l’argent à une personne X"

Dépend de ce qu’on connaît sur la solvabilité de cette personne envers ses

dettes. Ainsi, si cette personne est solvable la probabilité de A va tendre vers 1.

Dans le cas contraire, cette probabilité va tendre vers 0.

▪ Ainsi, il possible de définir la probabilité d’un événement A selon l’information

qu’on détient sur A. Par exemple, cette information peut être représentée par

l’évènement B suivant :

B = " La personne X est solvable "

Dans ce cas, on peut exprimer la probabilité de prêter à une personne X de

l’argent (évènement A) sachant que la personne X est solvable (évènement B)

par P(A/B) (dont la valeur sera proche de 1).

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Probabilité

Probabilité conditionnelle : Introduction

▪ D’une manière générale, il est possible de définir la probabilité d’un

événement A sachant qu’on possède une certaine information

événement B. Cette probabilité

représentée par un

conditionnelle sera représentée formellement de la manière suivante :

autre

L’évènement B représente l’information

qu’on détient sur A

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(/)PABProbabilité

▪ Probabilité Conditionnelle : Exemple Introductif

Dans le tableau suivant, les individus d’une population (N = 1000 individus)

sont classés selon le genre et s’ils sont atteints ou non d’une pathologie M :

Genre

Homme

Femme

Total

Pathologie M

Atteint

Non-Atteint

22

128

150

428

422

850

Total

450

550

1000

On tire au hasard un individu (expérience aléatoire) dans cette population. On définit les

évènements suivants :

o H = " L’individu sélectionné est un Homme " ;

o F = " L’individu sélectionné est une Femme " ;

o M = " L’individu sélectionné est atteint de la pathologie M " ;

o NM = " L’individu sélectionné est Non-atteint de la pathologie M " .

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Probabilité

▪ Probabilité Conditionnelle : Exemple Introductif (suite…)

Chaque individu a la même probabilité d’être tiré (1/1000) → ensemble fondamental

Ω équiprobable. On peut donc calculer les probabilités des deux évènements H et M :

On tire au hasard un individu et on constate que c’est un homme (information

additionnelle). On veut maintenant déterminer la probabilité que cet homme soit atteint

par la pathologie M.

Puisque on a l’information que l’individu sélectionné est un homme, le nombre de cas

possibles est réduit de 1000 à 450. Selon le tableau, parmi les 450 hommes il y a 22 hommes

qui sont atteints par la pathologie M.

Ainsi, la probabilité qu’un individu soit atteint par la pathologie M (évènement M) sachant

que c’est un homme (évènement H) sera égale à :

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()450()0.45()1000CardHPHCard===()150()0.15()1000CardMPMCard===22(22/1000)()(/)450(450/1000)()PMHPMHPH===Probabilité

Probabilité conditionnelle : Définition

▪ Soient A et B deux évènements de Ω avec B un événement de

probabilité non vide (c’est-à-dire P(B) > 0). La probabilité de

réalisation de A lorsque B est

réalisé s’appelle la probabilité

conditionnelle de A sachant B, notée P(A/B) :

Théorème de la multiplication des probabilités

Propriété de la probabilité conditionnelle

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()(|) 0()PABPABavec P(B) PB=() (|)() (|)()PABPABPBPBAPA==(/) 1(|)PABPAB=−Probabilité

Probabilité conditionnelle : Formule de Bayes (Forme 1)

▪ Soient A et B deux évènements non vides de Ω :

Théorème des probabilités totales (Forme 2)

Soit B1, B2, …, Bn un Système Complet d’Événements (SCE) sur Ω.

Probabilité conditionnelle : Formule de Bayes (Forme 2)

Soit B1, B2, …, Bn un Système Complet d’Événements (SCE) sur Ω.

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()()(/)()(|)()()()PBAPABPABPBPBAPAPAPA===11:()()(/)()nniiiiiAPAPABPABPB====1(/)()(|),(/)()iiiniiiPABPBPBAAPABPB==Probabilité

▪ Probabilité conditionnelle : Exemple d’application

Soit l’expérience aléatoire qui consiste à lancer simultanément deux dés différents. quelle

est la probabilité d’avoir une somme égale à 8 sachant que les deux dés indiquent des

chiffres différents ?

Réponse : On définit les deux évènements suivants :

o A= " Les deux dés indiquent une somme égale à 8 " ;

o B = " Les deux dés indiquent des chiffres différents " .

36 résultats

5 résultats

30 résultats

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(1,1),(1,2),(1,3),...,(6,6)=)2,6(),3,5(),4,4(),5,3(),6,2(=A),...6,2(),...,3,2(),1,2(),6,1()...,3,1(),2,1(=B133.0)36/30()36/4()()()/(===BPBAPBAPProbabilité

▪ Théorème de la multiplication des probabilités : Exemple d’application

Soit l’expérience qui consiste à tirer au hasard, l’une après l’autre, sans remise, deux

ampoules électriques dans une boîte contenant 10 ampoules dont 3 sont défectueuses et 7

sont bonnes. On définit les quatre évènements suivants :

o D1 = " L’ampoule tirée au premier tirage est défectueuse " ;

o D2 = " L’ampoule tirée au deuxième tirage est défectueuse " ;

o B1 = " L’ampoule tirée au premier tirage est bonne " ;

o B2 = " L’ampoule tirée au deuxième tirage est bonne " .

Déterminer la probabilité de tirer deux ampoules défectueuses aux deux tirages.

Réponse :

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12121321()()(/)10915PDDPDPDD===Probabilité

▪ Théorème des probabilités totales : Exemple d’application

Une boîte contient trois pièces de monnaie. L’une est régulière, une autre a deux faces et la

dernière est faussée de façon à ce qu’elle tombe 2 fois plus souvent sur le côté face que sur

le côté pile. Une pièce est tirée au hasard dans cette boîte et est lancée. Trouver la

probabilité d’obtenir le côté face.

Réponse :

On définit les quatre évènements suivants :

o A = " La pièce tirée est régulière " ;

o B = " La pièce tirée est à double faces " ;

o C = " La pièce tirée est faussée " ;

o P = " Obtenir le coté Pile " ;

o F = " Obtenir le coté Face " .

Arbre d’évènements qui schématise l’expérience aléatoire

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()()()()()(/)()(/)()(/)1111210.72232333PFPFAPFBPFCPAPFAPBPFBPCPFC=++=++=++=Probabilité

▪ Formule de Bayes (forme 2) : Exemple d’application

Un professeur sait par expérience que la probabilité de r...