Exercices de Math´ematiques
Trace d’une matrice
´Enonc´es
´Enonc´es des exercices
Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]
Pour A, carr´ee d’ordre n et de terme g´en´eral aij, on pose tr A =
n
P
j=1
ajj (trace de A).
Montrer que pour des matrices A de Mnp(K) et B de Mpn(K), on a tr (AB) = tr (BA).
Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]
Montrer que l’´egalit´e AB − BA = I est impossible dans Mn(K).
Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]
Soient A et B deux matrices de Mn(K).
On suppose que pour tout M de Mn(K), on a tr (AM ) = tr (BM ).
Montrer que les matrices A et B sont ´egales.
Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]
Soit f une forme lin´eaire sur Mn(K). Montrer qu’il existe une matrice unique A de Mn(K)
telle que, pour toute matrice X de Mn(K), f (X) = tr (AX).
Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ]
Soit E le sous-espace vectoriel de Mn(K) form´e des matrices antisym´etriques.
Soit A une matrice fix´ee dans Mn(K).
1. Rappeler quelle est la dimension de E et en donner une base simple.
2. On d´efinit l’application f sur E par f (M ) = TA M + M A.
Montrer que f est un endomorphisme de E. Calculer tr f en fonction de tr A.
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Jean-Michel Ferrard
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Trace d’une matrice
Indications, r´esultats
Indications ou r´esultats
Indication pour l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
C’est une question de cours...
Indication pour l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Pour toutes matrices A, B de Mn(K), les matrices AB − BA et In n’ont pas la mˆeme trace.
Indication pour l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Consid´erer les matrices Er,s de la base canonique.
Pour toute matrice A = (aij), v´erifier que tr (AEr,s) = as,r.
Indication pour l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Consid´erer les matrices Er,s de la base canonique.
Montrer que l’unique solution A est d´efinie par ai,j = f (Ej,i).
Indication pour l’exercice 5 [ Retour `a l’´enonc´e ]
1. Consid´erer les matrices Eij de la base canonique de Mn(K).
V´erifier que les
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n(n−1)
2 matrices Fij = Eij − Eji avec i < j, forment une base de E.
2. V´erifier que f est `a valeurs dans E, et qu’elle est lin´eaire.
Montrer que la composante de f (Fij) sur Fij est aii + ajj.
En d´eduire que tr f = (n − 1)tr (A).
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Trace d’une matrice
Corrig´es
Corrig´es des exercices
Corrig´e de l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
C’est une question de cours. On note A = (aij), B = (bij), AB = (cij) et BA = (dij).
Pour tout couple d’indices i, j on a successivement :
n
P
k=1
dkk = tr BA.
bkiaik =
aikbki =
tr AB =
n
P
k=1
n
P
k=1
n
P
i=1
n
P
i=1
n
P
i=1
cii =
Corrig´e de l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
On utilise la lin´earit´e de l’op´erateur trace, et le fait que tr (AB) = tr (BA).
Pour toutes matrices A, B ´el´ements de Mn(K), on a : tr (AB − BA) = tr (AB) − tr (BA) = 0.
Or tr (In) = n ≥ 1. L’´egalit´e AB − BA = In est donc impossible.
Corrig´e de l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
On note Er,s la matrice de coefficients tous nuls, sauf celui d’indice (r, s) qui vaut 1.
On suppose donc que tr (AM ) = tr (BM ) pour toute matrice M de Mn(K).
Pour tous indices r, s de {1, . . . , n}, cela est donc vrai avec M = Er,s.
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Notons ai,j et bi,j les coefficients des matrices A et B.
Le coefficient d’indice (i, i) de AEr,s est ´egal `a
n
P
j=1
[A]i,j[Er,s]j,i =
n
P
j=1
ai,jδr,jδs,i = ai,rδs,i.
On en d´eduit tr (AEr,s) =
n
P
i=1
ai,i =
n
P
i=1
ai,rδs,i = as,r.
Ainsi l’´egalit´e tr (AEr,s) = tr (BEr,s) donne-t-elle as,r = bs,r.
Cette ´egalit´e ´etant vraie pour tous indices r, s, on en d´eduit A = B.
Corrig´e de l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Consid´erons les matrices Er,s de la base canonique.
Soit A = (ai,j) un ´el´ement de Mn(K).
On a f (X) = tr (AX) pour tout X ⇔il y a ´egalit´e pour les X = Er,s.
Or pour tous indices r, s on a tr (AEr,s) = as,r (voir exercice pr´ec´edent).
Il y a donc une matrice A = (ai,j) unique telle que ∀ X ∈ Mn(K), f (X) = tr (AX).
Cette matrice A est celle dont le coefficient d’indice (i, j) est ai,j = f (Ej,i).
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Trace d’une matrice
Corrig´es
Corrig´e de l’exercice 5 [ Retour `a l’´enonc´e ]
1. On note comme toujours Eij les matrices de la base canonique de Mn(K).
Soit M = (mij) un ´el´ement de Mn(K).
On a l’´egalit´e M =
n
P
i,j=1
mijEij =
n
P
i=1
miiEii + P
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mijEij + P
mijEij.
i<j
j<i
Dire que M est antisym´etrique, c’est dire que pour tous i, j on a mji = −mij.
Cela ´equivaut `a M = P
mij(Eij − Eji).
i<j
n(n−1)
Les
2 matrices Fij = Eij − Eji avec i < j forment donc une base de E.
On voit que la composante de M sur Fij est ´egal au coefficient d’indice (i, j) de M .
Exemple : si n = 3, on obtient les matrices :
F12 =
1 0
0
−1 0 0
0 0
0
, F13 =
0 1
0
0
0 0
−1 0 0
, F23 =
0
0
0
0
1
0
0 −1 0
2. Pour toute matrice M de E la matrice f (M ) est encore un ´el´ement de Mn(K) et :
T(f (M )) = T( TA M + M A) = TM TTA + TA TM = −M A − TAM = −f (M )
L’application f est donc bien `a valeurs dans E.
Enfin la lin´earit´e de f est ´evidente : f (λM + µN ) = λf (M ) + µf (N ).
Pour calculer la trace de f , on ´evalue la composante fij de f (Fij) sur Fij (les fij seraient
les coefficients diagonaux de la matrice de f dans la base de E form´ee des matrices Fij.)
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On se donne donc un couple d’indices (i, j), avec i < j.
Notons [B]rs le coefficient g´en´eral (ligne r, colonne s) de toute matrice B.
La composante de f (Fij) = TA Fij + Fij A sur Fij est son coefficient d’indice (i, j).
Cette composante s’´ecrit :
[f (Fij)]ij =
n
X
k=1
[ TA]ik[Fij]kj +
n
X
k=1
[Fij]ik[A]kj = [ TA]ii + [A]jj = aii + ajj
On en d´eduit tr f = P
i<j
(cid:16)
[f (Fij)]ij
(cid:17)
= P
i<j
(aii + ajj).
Par sym´etrie, cette somme S s’´ecrit aussi T = P
(ajj + aii).
j<i
On obtient donc la valeur de la trace de l’endomorphisme f :
tr f = 1
2(S + T ) = 1
2
(aii + ajj) =
X
i6=j
X
i6=j
aii = (n − 1)
n
X
i=1
aii = (n − 1)tr (A)
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