Exercices de Math´ematiques
D´eveloppements et factorisations de polynˆomes
´Enonc´es
´Enonc´es des exercices
Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]
Factoriser le polynˆome Pn = 1 +
1
1!
X +
1
2!
X(X + 1) + · · · +
1
n!
[X(X + 1) · · · (X + n − 1)].
Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]
D´evelopper le polynˆome Pn = (1 + X)(1 + X 2) · · · (1 + X 2n).
Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]
On note 1, ω1, . . . , ωn−1 les racines n-i`emes de l’unit´e.
D´evelopper le polynˆome P = (1 − X)(1 − ω1X)(1 − ω2X) · · · (1 − ωn−1X).
Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]
Factoriser sur IR les polynˆomes A = X 4 + X 2 + 1 et B = X 8 + X 4 + 1.
Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ]
Factoriser P = X 6 − 2X 3 cos 3θ + 1 dans lC[X] et dans IR[X].
Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ]
Factoriser le polynˆome P = (X + i)n − (X − i)n sur lC[X].
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Jean-Michel Ferrard
Exercices de Math´ematiques
D´eveloppements et factorisations de polynˆomes
Indications, r´esultats
Indications ou r´esultats
Indication pour l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Par r´ecurrence, v´erifier que Pn =
1
n!
n
Q
k=1
(X + k).
Indication pour l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Pour tout entier n, on obtient Pn =
2n+1−1
P
m=0
X m.
Indication pour l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Utiliser X n − 1 =
n
Q
k=0
(X − ωk), pour obtenir P = 1 − X n.
Indication pour l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Consid´erer que les termes de degr´es extrˆemes proviennent du d´eveloppement d’un carr´e.
Indication pour l’exercice 5 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Utiliser a3 − b3 = (a − b)(a − jb)(a − jb), pour tous a, b de lC.
En d´eduire la factorisation de P dans lC[X] :
P = (X − eiθ)(X − ei(θ+ 2π
3 ))(X − ei(θ− 2π
3 ))(X − e−iθ)(X − e−i(θ− 2π
3 ))(X − e−i(θ+ 2π
Advertisement
3 ))
Pour obtenir la factorisation dans IR[X], regrouper deux `a deux les termes conjugu´es. On
trouve :
P = (X 2 − 2X cos θ + 1)(X 2 − 2X cos(θ + 2π
3 ) + 1)(X 2 − 2X cos(θ − 2π
3 ) + 1)
Indication pour l’exercice 6 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Constater que P = 2niX n−1 + · · ·.
R´esoudre (z + i)n = (z − i)n dans lC pour trouver les racines de P .
On obtient les zk = cotan kπ
V´erifier que les zk sont distincts deux `a deux.
n−1
Q
k=1
n , avec 1 ≤ k ≤ n − 1.
X − cotan kπ
n
En d´eduire P = 2ni
(cid:17)
(cid:16)
.
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Exercices de Math´ematiques
D´eveloppements et factorisations de polynˆomes
Corrig´es
Corrig´es des exercices
Corrig´e de l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
On constate que P1 = 1 + X, P2 = 1 + X +
1
2!
X(X + 1) =
1
2!
(X + 1)(X + 2).
Montrons par r´ecurrence que Pn =
1
n!
(X + 1)(X + 2) · · · (X + n) =
1
n!
n
Q
k=1
(X + k).
Comme on vient de le voir la propri´et´e est vraie si n = 1 et si n = 2.
Supposons qu’elle le soit pour n ≥ 1 fix´e. Dans ces conditions :
Pn+1 = Pn +
1
(n + 1)!
(X + k) =
1
n!
n
Q
k=1
(X + k) +
1
(n + 1)!
=
1
Advertisement
(n + 1)!
(cid:17)(cid:16)
(X + k)
n + 1 + X
(cid:17)
=
1
(n + 1)!
n
Q
k=0
(cid:16) n
Q
k=1
n
Q
k=0
n+1
Q
k=1
(X + k)
(X + k)
Ce qui ´etablit la propri´et´e au rang n + 1 et ´etablit la r´ecurrence.
Corrig´e de l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
On peut ´ecrire Pn = (X 0 + X 1)(X 0·2 + X 1·2) · · · (X 0·2n + X 1·2n) =
Ainsi Pn =
n
Q
k=0
P
X αk2k = P X α0+α12+···+αn2n
αk∈{0,1}
n
Q
k=0
(X 0·2k + X 1·2k).
Cette derniere somme est ´etendue a tous les (α0, α1, . . . , αn) de E = {0, 1}n.
Mais quand (α0, . . . , αn) d´ecrit E, l’entier m = α0 + α12 + · · · + αn2n d´ecrit {0, 1, . . . , 2n+1 − 1}
(en effet on obtient toutes les repr´esentations en binaire sur n + 1 chiffres.)
Conclusion : pour tout entier n, Pn =
2n+1−1
P
m=0
X m.
Remarque : on retouve ce r´esultat par r´ecurrence en utilisant Pn(X) = Pn−1(X)(1 + X 2n).
Corrig´e de l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
On connait la factorisation X n − 1 =
n
Q
k=0
(X − ωk).
Par identification des coefficients constants, cette factorisation donne
On sait que pour complexe z de module 1 on a z z = 1.
En particulier ω ωk = 1. Le polynˆome P de l’´enonc´e s’´ecrit donc :
n
Q
k=0
(−ωk) = −1.
P =
n
Q
k=0
(1 − ωkX) =
n
Q
Advertisement
k=0
((−ωk)(X − ωk)) =
n
Q
k=0
(−ωk)
n
Q
k=0
(X − ωk) = −
n
Q
k=0
(X − ωk)
Mais quand ω d´ecrit l’ensemble des racines n-i`emes de l’unit´e, ω en fait autant.
Ainsi P = −
n
Q
k=0
(X − ωk) = −
n
Q
k=0
(X − ωk) = 1 − X n.
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Corrig´es
Corrig´e de l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
On ´ecrit A = (X 2 + 1)2 − X 2 = (X 2 + X + 1)(X 2 − X + 1). De mˆeme :
B = A(X 2) = (X 4 + X 2 + 1)(X 4 − X 2 + 1)
= (X 2 + X + 1)(X 2 − X + 1)((X 2 + 1)2 − 3X 2)
= (X 2 + X + 1)(X 2 − X + 1)(X 2 +
3X + 1)(X 2 −
√
√
3X + 1)
Corrig´e de l’exercice 5 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Pour tous nombres complexes a et b, on a a3 − b3 = (a − b)(a − jb)(a − jb).
On en d´eduit la factorisation de P dans lC[X] :
P = (X 3 − e3iθ)(X 3 − e−3iθ) = (X 3 − ( eiθ)3)(X 3 − ( e−iθ)3)
= (X − eiθ)(X − j eiθ)(X − j eiθ)(X − e−iθ)(X − j e−iθ)(X − j e−iθ)
= (X − eiθ)(X − ei(θ+ 2π
3 ))(X − e−iθ)(X − e−i(θ− 2π
3 ))(X − ei(θ− 2π
3 ))(X − e−i(θ+ 2π
3 ))
Pour obtenir la factorisation dans IR[X], on regroupe deux `a deux les termes conjugu´es et on
utilise le d´eveloppement (X − eiα)(X − e−iα) = X 2 − 2X cos α + 1. On en d´eduit :
P = (X − eiθ)(X − e−iθ)(X − ei(θ+ 2π
3 ))(X − e−i(θ+ 2π
= (X 2 − 2X cos θ + 1)(X 2 − 2X cos(θ + 2π
3 ))(X − ei(θ− 2π
3 ) + 1)(X 2 − 2X cos(θ − 2π
3 ) + 1)
3 ))(X − e−i(θ− 2π
3 ))
Corrig´e de l’exercice 6 [ Retour `a l’´enonc´e ]
On constate que P = (X n + niX n−1 + · · ·) − (X n − niX n−1 + · · ·) = 2niX n−1 + · · ·.
On r´esout (z + i)n = (z − i)n dans lC pour trouver les racines de P .
Advertisement
On observe que z = i n’est pas solution. Donc (z + i)n = (z − i)n ⇔
Notons ωk = exp 2ikπ
n
(cid:16) z + i
z − i
les racines n-i`emes de 1 (0 ≤ k ≤ n − 1.)
= 1 ⇔ ∃k ∈ {1, . . . , n−1},
On a l’´equivalence
(cid:17)n
Or
z + i
z − i
= ωk ⇔ z = i
= i
exp 2ikπ
exp 2ikπ
= i
exp ikπ
exp ikπ
z + i
z − i
n + exp −ikπ
n − exp −ikπ
n
n
.
On obtient donc z = i
= cotan
, avec 1 ≤ k ≤ n − 1.
ωk + 1
ωk − 1
2 cos kπ
n
2i sin kπ
n
n + 1
n − 1
kπ
n
(cid:17)n
(cid:16) z + i
z − i
= 1.
= ωk (car k = 0 est exclu.)
n forment une suite strictement croissante de ]0, π[.
Les θk = kπ
D’autre part l’application x 7→ cotan x est strictement d´ecroissante (donc injective) sur ]0, π[.
Les solutions obtenues sont distinctes deux `a deux.
Comme deg P = n−1, on a obtenu toutes les racines de P (ce sont des racines simples.) Compte
tenu du coefficient dominant, on en d´eduit : P = 2ni
(cid:16)
n−1
Q
k=1
X − cotan kπ
n
(cid:17)
.
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