Exercices de Math´ematiques
Applications et parties d’un ensemble (II)
´Enonc´es
´Enonc´es des exercices
Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]
-1
Soit f une application de E dans E et S = {X ⊂ E, f
(f (X)) = X}.
-1
1. Soit A une partie quelconque de E. Montrer que f
(f (A)) appartient `a S.
2. Montrer que toute intersection ou r´eunion d’´el´ements de S est encore ´el´ement de S.
Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]
Soit f une application de E dans F .
-1
1. Montrer que pour toute partie A de E, f
(f (A)) ⊃ A.
-1
2. Montrer que pour toute partie B de F , f (f
(B)) = f (E) ∩ B.
-1
3. Prouver que f est injective ⇔ ∀ A ⊂ E, f
(f (A)) = A.
-1
4. Prouver que f est surjective ⇔ ∀ B ⊂ F , f (f
(B)) = B.
Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]
Soient A et B deux parties non vides d’un ensemble E.
On consid`ere l’application f , de P(E) dans P(A) × P(B) d´efinie par f (X) = (X ∩ A, X ∩ B).
1. Montrer que f est injective ⇔ A ∪ B = E.
2. Montrer que f est surjective ⇔ A ∩ B = ∅.
3. Dans le cas o`u f est bijective, d´eterminer f −1.
Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]
Soit A une partie d’un ensemble E.
On lui associe l’application χA, de E vers {0, 1}, d´efinie par χA(x) =
(cid:26) 1
0
si x ∈ A
si x 6∈ A
Montrer que A 7→ χA est une bijection de P(E) sur l’ensemble F(E, {0, 1}).
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Jean-Michel Ferrard
Exercices de Math´ematiques
Applications et parties d’un ensemble (II)
Indications, r´esultats
Indications ou r´esultats
Indication pour l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
-1
1. B = f
(f (A)) contient A, donc f (B) contient f (A).
-1
Utiliser aussi le fait que f
(f (A)) est inclus dans A.
Advertisement
2. Pour la r´eunion c’est ´evident.
-1
Pour l’intersection, v´erifier que f
(f (T Ai)) est inclus dans T Ai puis qu’il le contient.
Indication pour l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
1. Soit a ∈ A et b = f (a). On a b ∈ B = f (A), donc a est dans . . .
-1
2. Par ´equivalences successives, `a partir de b ∈ f (f
(B)).
-1
3. Si f est injective, il suffit (cf 1) de v´erifier f
(f (A)) ⊂ A.
-1
R´eciproquement, si f (a) = f (b), montrer que b ∈ f
(f ({a}) = . . .
4. L’hypoth`ese signifie ici (cf 2) que ∀ B ⊂ F, B = f (E) ∩ B, donc que. . .
Indication pour l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
1. Noter que f (A ∪ B) = f (E) = (A, B).
R´eciproquement, si
(cid:26) A ∪ B = E
f (X) = f (Y )
, alors
(cid:26) X ∩ A = Y ∩ A
X ∩ B = Y ∩ B
, puis, par r´eunion. . .
2. Si A ∩ B = ∅, v´erifier que f (A0 ∪ B0) = (A0, B0).
R´eciproquement, si f est surjective, il existe X ⊂ E tel que f (X) = (∅, B).
3. Si f est bijective, alors B = A et la question pr´ec´edente donne f −1.
Indication pour l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Pour f : E 7→ {0, 1}, l’unique A ⊂ E tel que f = χA est l’image r´eciproque de {1}.
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Applications et parties d’un ensemble (II)
Corrig´es
Corrig´es des exercices
Corrig´e de l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Remarque (voir exercice suivant) :
-1
– Pour toute partie X de E on a f
(f (X)) ⊃ X.
-1
– Pour toute partie Y de E, on a f (f
(Y )) ⊂ Y
-1
1. Soit A une partie de E, et soit B = f
(f (A)).
On utilise deux fois la remarque pr´ec´edente.
D’une part B contient A. L’ensemble f (B) contient donc f (A).
-1
D’autre part f (B) = f (f
(f (A))) est inclus dans f (A).
-1
Advertisement
On en d´eduit f (B) = f (A), puis f
-1
(f (B)) = f
(f (A)) = B, ce qu’il fallait d´emontrer.
2. Soit (Ai)i∈I une famille quelconque d’´elements de S.
Pour la r´eunion c’est ´evident :
i
-1h
f (Ai)
= f
f
i
Ai)
-1h[
[
f (
=
[
-1
f
(f (Ai)) =
i∈I
i∈I
Pour l’intersection, il y a une inclusion :
-1h\
-1h
f
i
f (Ai)
i
Ai)
⊂ f
\
\
f (
-1
f
⊂
i∈I
(f (Ai)) ⊂
[
i∈I
\
i∈I
i∈I
i∈I
Mais on sait que l’inclusion inverse f
On a donc prouv´e que
[
i∈I
Ai et
\
i∈I
-1h
i∈I
i
Ai)
Advertisement
⊃
\
f (
i∈I
Ai sont ´el´ements de S.
Ai.
Ai.
\
i∈I
Ai est vraie.
Corrig´e de l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
1. Soit A une partie de E. Soit a un ´el´ement de A.
-1
Par d´efinition l’image b de a est dans B = f (A) donc a est dans f
(B).
-1
Ainsi a appartient `a f
-1
(f (A)). On a donc prouv´e A ⊂ f
(f (A)).
2. Soit B une partie de F . On a les ´equivalences suivantes :
-1
b ∈ f (f
-1
(B)) ⇔ ∃ a ∈ f
(B), f (a) = b ⇔ ∃ a ∈ E, f (a) ∈ B, f (a) = b
⇔ ∃ a ∈ E, f (a) = b, b ∈ B ⇔ b ∈ f (E) ∩ B
-1
On a donc prouv´e l’´egalit´e f (f
-1
(B)) = f (E) ∩ B, et il en d´ecoule f (f
(B)) ⊂ B.
3. On suppose que f est injective. Soit A une partie de E.
-1
Pour prouver l’´egalit´e f
-1
(f (A)) = A, il suffit de v´erifier l’inclusion f
(f (A)) ⊂ A.
-1
On se donne donc un ´el´ement b de f
Par d´efinition f (b) est dans f (A). Donc il existe a dans A tel que f (b) = f (a).
Mais l’´egalit´e f (b) = f (a) et l’injectivit´e de f donnent b = a donc b ∈ A.
(f (A)).
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Applications et parties d’un ensemble (II)
Corrig´es
(f (A)) ⊂ A, puis l’´egalit´e.
-1
Ainsi on a l’inclusion f
-1
On suppose r´eciproquement que pour toute partie A de E, on a f
Advertisement
Soient a et b deux ´el´ements de E tels que f (a) = f (b). Il faut prouver a = b.
-1
f (b) = f (a) ⇒ f (b) ∈ {f (a)} = f ({a}) ⇒ b ∈ f
Ce dernier r´esultat signifie b = a, ce qu’il fallait d´emontrer.
(f ({a}) = {a}.
(f (A)) = A.
4. L’hypoth`ese s’exprime ici par : ∀ B ⊂ F, B = f (E) ∩ B (question 2).
Autrement dit, elle signifie que pour toute partie B de F , on a B ⊂ f (E), ce qui ´equivaut
´evidemment a f (E) = F , c’est-a-dire `a la surjectivit´e de f .
Corrig´e de l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
1. On note que pour toute partie X de E contenant A et B, on a f (X) = (A, B).
En particulier, f (A ∪ B) = f (E) = (A, B).
Il s’ensuite que si f est injective alors A ∪ B = E.
R´eciproquement, supposons A ∪ B = E, et soient X, Y deux parties de E telles que
f (X) = f (Y ).
On a donc X ∩ A = Y ∩ A et X ∩ B = Y ∩ B.
Par r´eunion, on en d´eduit : (X ∩ A) ∪ (X ∩ B) = (Y ∩ A) ∪ (Y ∩ B), donc X ∩ (A ∪ B) =
Y ∩ (A ∪ B), ou encore X ∩ E = Y ∩ E c’est-`a-dire X = Y .
Conclusion : f est injective si et seulement si A ∪ B = E.
2. Supposons A ∩ B = ∅. Soient A0 une partie de A et B0 une partie de B.
Pour montrer que f est surjective, il faut trouver X ⊂ E telle que
On constate que X = A0 ∪ B0 convient. En effet :
f (A0 ∪ B0) = ((A0 ∪ B0) ∩ A, (A0 ∪ B0) ∩ B)
= ((A0 ∩ A) ∪ (B0 ∩ A), (A0 ∩ B) ∪ (B0 ∩ B))
= (A0 ∪ ∅, ∅ ∪ B0) = (A0, B0)
(cid:26) X ∩ A = A0
X ∩ B = B0
R´eciproquement, supposons f surjective. Alors il existe X ⊂ E tel que f (X) = (∅, B).
(cid:26) X ⊂ A
B ⊂ X
Autrement dit, il existe X ⊂ E tel que
(cid:26) X ∩ A = ∅
X ∩ B = B
c’est-`a-dire tel que
On en d´eduit B ⊂ A, ce qui exprime que l’intersection A ∩ B est vide.
Conclusion : f est surjective si et seulement si A ∩ B = ∅.
3. On suppose que f est bijective, c’est-`a-dire que
, ce qui s’´ecrit B = A.
D’apres la premiere partie de la question pr´ec´edente, la bijection r´eciproque de f est
l’application g de P(A) × P(B) vers P(E) d´efinie par g(A0, B0) = A0 ∪ B0.
(cid:26) A ∩ B = ∅
A ∪ B = E
Corrig´e de l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Pour toute application f de E dans {0, 1}, il existe effectivement une et une seule partie A de
E telle que f = χA : c’est l’ensemble des ´el´ements x de E tels que f (x) = 1, c’est-`a-dire l’image
r´eciproque du singleton {1}.
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