2. Montrer que la fonction d’auto-corrélation de $x(t)$ est $R\_{xx}\left(τ\right)=C²Tri\left(\frac{t}{2T}\right)$. (1pt)

3. Le signal $x(t)$ est transmis via un canal qui produit un bruit indépendant de $x(t)$. On caractérise ce bruit par la fonction $b(t)$, un bruit blanc additif Gaussien de DSP, $S\_{bb}\left(f\right)=\frac{N\_{0}}{2}$. On mesure en sortie $y\left(t\right)=x\left(t\right)+b(t)$. Déterminer et tracer (1pt) la fonction d’auto-corrélation $R\_{yy}(τ)$ (1pt) et la DSP $S\_{yy}(f)$ (1pt) du signal mesuré.

Exercice 2 (5 pts) :

Un signal modulé en amplitude avec porteuse s(t) est représenté sur la figure suivante. Le signal porteur oscille à fp = 100 kHz.


1. Donner l’expression du signal s(t). (0.5pt)

2. Déterminer graphiquement la fréquence $f\_{m}$ du signal modulant. (0.5pt)

3. Nous supposons que l’amplitude du signal modulant $A\_{m}=1$, déterminer l’amplitude de la porteuse $A\_{p}$ de l’onde porteuse ainsi que le taux de modulation $k$. (2pt)

4. Tracer l’allure du spectre S(f) du signal modulé (1pt). Quelle est la bande de fréquence occupée ? (0.5pt)

5. Citer le principal inconvénient de ce type de modulation quant à la puissance du signal modulé. (0.5pt)

Problème

Partie A (5.5 pts)

On se place dans le cadre d’un codage NRZ bipolaire M-aire à 4 états. $a\_{k}\in \{\pm 1,\pm 3\}$ et i.i.d.. Le temps bit est à 1 ms.

1. Donner la valeur du débit binaire et du débit symbole (ou rapidité de modulation) (1pt)

2. Coder les bits « 0111001011 » en précisant les symboles choisis. (1pt)

3. Donner l’expression de la densité spectrale de puissance sachant que la formule de la DSP de $a(t) = \sum\_{k}^{}a\_{k} δ(t - kT\_{b}) $ est donnée par : (1pt pour |H(f)| 1 pt pour Sa(f) et 0.5pt pour Ss(f))

$$S\_{a}\left(f\right)=\frac{σ\_{a}^{2}}{T\_{b}}+2\frac{σ\_{a}^{2}}{T\_{b}}\sum\_{k=1}^{+\infty }S\_{a}^{'}\left(k\right)cos⁡(2πfkT\_{b})+\frac{m\_{a}^{2}}{T\_{b}^{2}}\sum\_{-\infty }^{+\infty }δ(f-\frac{k}{T\_{b}})$$

Indication :

$$\frac{2}{M}\sum\_{p=0}^{\frac{M}{2}-1}(2p+1)²=\frac{M^{2}-1}{3}$$

1. En déduire la densité spectrale de puissance du codage NRZ bipolaire 1-aire

($a\_{k}\in \{\pm 1\}$). (1pt)

Partie B (4.5 pts)

Un étudiant est demandé de réaliser un récepteur pour compléter un système de transmission binaire. Le signal émis $x(t)$ est codé en codage NRZ bipolaire et transmis à travers un canal idéal avec un bruit blanc additif Gaussien $B\left(t\right)$. Dans ce système de transmission, le bit ‘0’ a deux fois plus de chance d’apparition que le bit ‘1’. Après une étude approfondie, l’étudiant a proposé le récepteur suivant :


$$y\left(t\right)=x\left(t\right)+B(t)$$

Après de multiple expériences, l’étudiant retrouve toujours une probabilité d’erreur très élevée. Aidez votre collègue à améliorer son système de transmission en répondant aux questions suivantes :

1. Quelle composante l’étudiant doit-il ajouter au récepteur pour réduire la probabilité d’erreur ? Expliquer bien son rôle. (1.5pt)

2. Recalculer le seuil optimal de décision minimisant la probabilité d’erreur. Où se situe alors l’erreur de l’étudiant? (3pt)