Examen de Probabilités Appliquées

P[fX (cid:21) 1g] = 1 (cid:0) P[fX = 0g] = 1 (cid:0) (1 (cid:0) p)n ) (1 (cid:0) p)n = 0:1

n = ln 0:1

ln(1(cid:0)p)

Le tireur doit tirer 6 fois pour que la probabilit(cid:19)e qu’il atteigne la cible au moins une fois

soit sup(cid:19)erieure (cid:18)a 0:9

) n (cid:25) 5:67

Exercice 2 (..../5 points)

Une entreprise compte 300 employ(cid:19)es. Chacun d’eux t(cid:19)el(cid:19)ephone, ind(cid:19)ependamment des autres,

en moyenne 6 minutes par heure.

On note N le nombre de lignes install(cid:19)ees dans l’entreprise et X la variable al(cid:19)eatoire (cid:19)egale au

nombre d’employ(cid:19)es qui t(cid:19)el(cid:19)ephonent (cid:18)a un instant t (cid:12)x(cid:19)e.

1

1. Calculer la probabilit(cid:19)e qu’un employ(cid:19)e donn(cid:19)e soit en train de t(cid:19)el(cid:19)ephoner (cid:18)a un instant t.

Soit p la probabilit(cid:19)e qu’un employ(cid:19)e donn(cid:19)e soit en train de t(cid:19)el(cid:19)ephoner (cid:18)a un instant.

p = 6

60 = 0:1

2. D(cid:19)eterminer la loi de X et donner E(X) et V (X).(2 points)

X (cid:24) B(300; 0:1) ) P[fX = kg] = C 300

E(X) = np = 30

V (X) = np(1 (cid:0) p) = 27

k 0:1k(0:9)300(cid:0)k; 8k 2 J0; 300K

3. Quel est approximativement le nombre de lignes que l’entreprise doit installer pour que

la probabilit(cid:19)e que toutes les lignes soient utilis(cid:19)ees au m^eme instant soit au plus (cid:19)egale (cid:18)a

0; 025.(2 points)

Soit n le nombre de ligne (cid:18)a installer, on cherche n tel que P ([X (cid:20) n]) (cid:20) 0:025.

D’apr(cid:18)es le TLC on peut approcher la loi de X par la loi N (m; (cid:27)2) o(cid:18)u m = 30 et (cid:27)2 = 27

On cherche n tel que P ([X (cid:20) n]) (cid:20) 0:025, c’est-(cid:18)a-dire :

P( X(cid:0)m

(cid:27)

) (cid:25)( n(cid:0)30p

27

) n (cid:21) 41

(cid:27) ) = 1 (cid:0) (cid:25)( n(cid:0)30p

27

) (cid:21) 0:975 = (cid:25)(1:96)

) (cid:20) 0:025

(cid:20) n(cid:0)m

Exercice 3 (..../5 points)

Pendant un temps d(cid:19)etermin(cid:19)e, le nombre N de particules (cid:19)emises par une source est une variable

al(cid:19)eatoire (v.a) de Poisson de param(cid:18)etre (cid:21):

P (N = n) = e(cid:0)(cid:21) (cid:21)n

n!

;

8n 2 N

Les variables al(cid:19)eatoires ind(cid:19)ependantes D et C repr(cid:19)esentent respectivement le nombre de

particules d(cid:19)esint(cid:19)egr(cid:19)ees et non d(cid:19)esint(cid:19)egr(cid:19)ees, pendant ce m^eme laps de temps. La probabilit(cid:19)e

pour qu’une particule, (cid:19)emise par la source, se d(cid:19)esint(cid:18)egre est p.

1. Quelle est la loi de probabilit(cid:19)e conditionnelle de la v.a D sachant que N = n ?

npk(1 (cid:0) p)n(cid:0)k; 8k 2 J0; nK; 8n 2 N

P(D = k=N = n) = C k

2. Quelle est la loi de probabilit(cid:19)e conjointe du couple (D; N ) ?

P(D = k; N = n) = P(D = k=N = n)P(N = n)

P(D = k; N = n) = C k

P(D = k; N = n) = e(cid:0)(cid:21) ((cid:21)p)k

k!

npk(1 (cid:0) p)n(cid:0)ke(cid:0)(cid:21) (cid:21)n

((cid:21)(1(cid:0)p))n(cid:0)k

(n(cid:0)k)!

n!

; 8n 2 N; 8k (cid:20) n

3. Quelle est la loi de probabilit(cid:19)e de la v.a D ?

∑

P(D = k; N = n)

P(D = k) =

P(D = k) =

n2N

n(cid:21)k

+1∑

n=k

P(D = k) = e(cid:0)(cid:21) ((cid:21)p)k

k!

n=k

P(D = k) = e(cid:0)(cid:21)p ((cid:21)p)k

k!

) D (cid:24) P((cid:21)p)

e(cid:0)(cid:21) ((cid:21)p)k

k!

+1∑

((cid:21)(1 (cid:0) p))n(cid:0)k

(n (cid:0) k)!

((cid:21)(1 (cid:0) p))n(cid:0)k

(n (cid:0) k)!

2

4. D(cid:19)eterminer la fonction g(cid:19)en(cid:19)eratrice de la v.a N , d(cid:19)eduire celle de D .

GN (t) = E(tN ) =

1∑

k=0

P(N = k)tk =

1∑

k=0

e(cid:0)(cid:21) (cid:21)k

k!

tk = e(cid:0)(cid:21)

1∑

k=0

((cid:21)t)k

k!

= e(cid:21)(t(cid:0)1)

) GD(t) = E(tD) = e(cid:21)p(t(cid:0)1)

5. Sachant que C = N (cid:0) D, d(cid:19)eduire la loi de C.

On a N = C + D et les v.a C et D sont ind(cid:19)ependantes par hypoth(cid:18)ese d’o(cid:18)u: GN (t) =

GD(t)GC(t)8t 2 R

) GC(t) = GN (t)

) C (cid:24) P((cid:21)(1 (cid:0) p))

e(cid:21)p(t(cid:0)1) = e(cid:21)(1(cid:0)p)(t(cid:0)1)

GC (t) = e(cid:21)(t(cid:0)1)

Exercice 4 (..../6 points)

Soient A et B deux v.a tels que: A (cid:24) N (0; 1) de densit(cid:19)e fA(x) = 1p

2(cid:25)

B = (cid:27)A + m, o(cid:18)u m 2 R et (cid:27) 2 R+.

e(cid:0) 1

2 x2;

8x 2 R et

1. D(cid:19)eterminer la densit(cid:19)e de la v.a B.

FB(x) = P(B (cid:20) x) = P(A (cid:20) x(cid:0)m

(cid:27) )

∫ x(cid:0)m

1p

FB(x) =

(cid:27)

(cid:0)1

u = (cid:27)t + m ) FB(x) =

fB(x) = F ′

B (cid:24) N (m; (cid:27)2)

x

1

p

(cid:0)1

(cid:27)

2(cid:25)

2 ( x(cid:0)m

(cid:27) )2

B(x) = 1

p

2 t2dt

∫

e(cid:0) 1

e(cid:0) 1

2(cid:25)

2(cid:25)

(cid:27)

e(cid:0) 1

2 ( u(cid:0)m

(cid:27) )2du

2. D(cid:19)eterminer la fonction caract(cid:19)eristique de la v.a A: (cid:8)A(t) = E(eitA).

(cid:8)A(t) = E(eitA) = 1p

2(cid:25)

(

∫

+1

(cid:0)1 exp

itx (cid:0) x2

2

)

dx = e

(cid:0) t2

2p

2(cid:25)

∫

+1

(cid:0)1 exp

(

(cid:0) 1

2 (x (cid:0) it)2

)

dx = e(cid:0) t2

2

3. En d(cid:19)eduire la fonction caract(cid:19)eristique de la v.a B.

(cid:8)B(t) = E(eit((cid:27)A+m)) = eitm(cid:8)A((cid:27)t) = eitme(cid:0) ((cid:27)t)2

2

4. Application: Pour m = 3 et (cid:27) = 2, quelle est la probabilit(cid:19)e que l’(cid:19)equation al(cid:19)eatoire

E = x2 (cid:0) Bx + 1 admette:

(a) Deux racines r(cid:19)eelles distinctes.

∆E = B2 (cid:0) 4

E admet 2 racines r(cid:19)eelles distinctes ssi ∆ > 0

P(∆ > 0) = P(B2 > 4) = P(fB < (cid:0)2g [ fB > 2g)

P(∆ > 0) = P(fB < (cid:0)2g) + P(fB > 2g) = P(A < (cid:0)2:5) + P(A > (cid:0)0:5)

P(∆ > 0) = 1 (cid:0) (cid:25)(2:5) + (cid:25)(0:5) (cid:25) 1 (cid:0) 0:9938 + 0:6915 (cid:25) 0:6977

(b) Une seule racine.

E admet une seule racine ssi ∆ = 0

P(∆ = 0) = P(B2 = 4) = 0

(c) Deux racines complexes non r(cid:19)eelles.

E admet 2 racines complexes non r(cid:19)eelles ssi ∆ < 0

P(∆ < 0) = 1 (cid:0) P(∆ (cid:21) 0) (cid:25) 0:3023

3