Chapitre 1
Equations di rentielles lin aires
Dans ce chapitre | est le corps R ou C et I est un intervalle non vide de R:
1.1 Equations di rentielles scalaires du premier ordre
D &nition 1 On appelle quation di rentielle lin aire scalaire du premier ordre, toute quation de
la forme
(E) : ay0 + by = c
o a; b; c : I
L quation (H) : ay0 + by = 0 est appel quation homog ne associ e (E) :
| sont deux fonctions continues et dinconnue y : I
!
!
| d rivable.
Th oreme 2 (De CAUCHY) Soient a; b; c : I
On consid re l quation di rentielle (E) : ay0 + by = c:
!
| des fonctions continues avec a (x)
= 0;
x
8
2
I
(t0; y0)
I
|; l quation(E) admet une seule solution y d &nie sur I et v ri&ant : y (t0) = y0:
2
(cid:2)
8
Proposition 3 Soient a; b; c : I
On consid re l quation di rentielle (E) : ay0 + by = c:
i) Lensemble
de dimension 1 de lespace vectoriel
ii) Lensemble
1 (I; |) :
des solutions de l quation (E) est donn par :
!
C
| des fonctions continues avec a (x)
H des solutions de l quation homog ne (H) : ay0 +by = 0 est un sous-espace vectoriel
E
= 0;
x
8
2
I
E
Remarque 4 Soient a; b; c : I
x
i) Les solutions y de l quation homog ne (H) : ay0 + by = 0; sont donn es par :
2 E
| des fonctions continues avec a (x)
= 0;
!
8
E
g
2
I
H
et yp est une soluton particuli re de (H)
=
y + yp; y
f
(cid:0)
ii) La r solution de l quation compl te (E) : ay0 + by = c se fait par variation de la constante :
Si y (t) = (cid:21) (t) y1 (t) avec y1 (t) solution de (H) :
(cid:18)
(cid:19)
2
Z
y (t) = (cid:21) exp
b (t)
a (t)
dt
; (cid:21)
|:
Exercice 5 R soudre sur ]0; +
1
Solution 6 (H) : xy0
(cid:0)
y = 0 ; y (x) = (cid:21) exp
On pose y (x) = (cid:21) (x) x pour r soudre (E)
y0 (x) = (cid:21)0 (x) x + (cid:21) (x) : On linjecte dans (E) :
[ l quation di rentielle (E) : xy0
dx
x
= (cid:21)x; (cid:21)
R:
2
(cid:18)Z
(cid:19)
y = 1
(cid:0)
x ((cid:21)0 (x) x + (cid:21) (x))
(cid:21) (x) x = 1 soit x(cid:21)0 (x) = 1; ainis (cid:21)0 (x) =
(cid:0)
en conclusion les solutions de (E) sont donn es par : y (x) = x ln (x) + (cid:12)x; (cid:12)
1
x
ce qui donne (cid:21) (x) = ln (x)+(cid:12); (cid:12)
R:
R
2
2
1
6
6
6
2
CHAPITRE 1 EQUATIONS DIFF RENTIELLES LIN AIRES
1.2 Les quations di rentielles vectorielle lin aire du pre-
mier ordre
1.2.1 D &nitions
D &nition 7 i) on appelle quation di rentielle vectorielle lin aire du premier ordre sur I toute
quation de la forme :
(E) : x0 (t) = a (t) :x (t) + b (t)
o a
ii) L quation homog ne associ e (E) est l quation (E
(I; E) et dinconnue x : I
(E)) ; b
2 C
2 C
(I;
!
L
E d rivable
) : x0 (t) = a (t) :x (t)
H
Remarque 8 Soit
= (e1; ::; en) une base de E; A (t) = (aij (t))1
n =
i;j
(cid:20)
(cid:20)
MB
(a (t)) ;
B =
MB
(b (t)) = 0
; X (t) =
MB
(x (t)) = 0
B
b1 (t)
...
bn (t)
1
C
C
C
A
B
B
B
@
x1 (t)
...
xn (t)
1
:
C
C
C
A
B
B
B
@
Alors, l quation (E) : x0 (t) = a (t) :x (t) + b (t) est quivalente au syst me di rentielle lin aire du
premier ordre :
(S) : X 0 (t) = A (t) x (t) + B (t) ; cest- -dire :
x01 (t) = a11 (t) x1 + ::: + a1n (t) xn (t) + b1 (t)
...
x0n (t) = an1 (t) x1 (t) + :::: + an;n (t) xn (t) + bn (t)
(S) : 8
>>><
>>>:
Exemple 9 Soit R soudre le syst me di rentielle (S) : X 0 (t) = A (t) X (t) avec A (t) =
x0 (t) = tx (t) + y (t)
y0 (t) = x (t) + ty (t)
8
<
On pose X (t) =
0
: Alors (S) :
x (t)
y (t)1
A
: Alors,
u = x + y
@
u0 (t) = x0 (t) + y0 (t)
:
v0 (t) = x0 (t)
On pose
8
<
(S) =
:
) 8
<
:
Ainsi , X (t) =
v = x
y
(cid:0)
u0 (t) = (t + 1) u (t)
8
<
:
=
v0 (t) = (t
(cid:0)
) 8
<
+t +
:
t2
2
t2
2
+t
(cid:0)
e
e
1) v0 (t)
(cid:11)
2
(cid:11)
2
= 0
B
@
x (t)
y (t)1
A
0
@
(cid:0)
u (t) = (cid:11)e
t
e
v (t) = (cid:12)e
t2
(cid:12)
2 (cid:0)
2
(cid:12)
2
t2
2 (cid:0)
e
t1
C
A
y0 (t)
t2
2
+t
t2
2 (cid:0)
t
(cid:11); (cid:12)
R
2
; (cid:11); (cid:12)
R:
2
t 1
1 t1
A
0
@
1.2.2 Probl me de Cauchy
Dans la suite, on consid re les syst me di rentielle (S) : X 0 (t) = A (t) X (t) + B (t) ; avec
A : I
n (|) et B : I
! M
n;1 (|) deux fonctions continues et (H) : X 0 (t) = A (t) X (t) :
! M
1.2 LES QUATIONS DIFF RENTIELLES VECTORIELLE LIN AIRE DU PREMIER ORDRE3
Th oreme 10 (De Cauchy) Admis
Soit (t0; X0)
Alors le le syst me (S) : X 0 (t) = A (t) X (t) + B (t) admet une seule solution X d &nie sur I et
v ri&ant X (t0) = X0:
n;1 (|) :
(cid:2) M
2
I
Proposition 11 (Structure de lensemble des solutions )
i) Lensemble
vectorielle de dimension n de lespace vectorielle
ii) Lensemble
1 (I; |) :
C
H des solutions de l quation homog ne (H) : X 0 (t) = A (t) X (t) est un sous-espace
E
des solutions de l quation compl te (H) : X 0 (t) = A (t) X (t) + B (t) est donn par :
E
=
X + Xp; X
f
H
et Xp est une solution particuli re de (E) :
2 E
E
D &nition 12 On appelle syst me fondamentale de solutions de (H) : X 0 (t) = A (t) X (t) ; toute
base de
g
H
E
Exercice 13 Soit A (t) =
0
sin t
i) R soudre sur R le syst me (H)
ind : Posre Z = x + iy
ii) Donner un syst me fondamental de
@
cos t
sin t
(cid:0)
cos t 1
A
H
E
iii) Donner lunique solution telle que X
(cid:16)
Solution 14 i) Soit X =
0
et donc (S) :
x
y1
A
@
Z 0 = (x cos t
y sin t) + i (x sin t + y cos t)
(cid:0)
= x (cos t + i sin t) + y (
sin t + i cos t)
(cid:0)
= xeit + iyeit
= (x + iy) eit
On pose (cid:21) = (cid:11) + i(cid:12); (cid:11); (cid:12)
Z (t) = ((cid:11) + i(cid:12)) exp (
i cos t + sin t)
= ((cid:11) + i(cid:12)) esin t exp (
i cos t)
(cid:0)
C:
2
(cid:0)
et (H) : X 0 = AX
=
(cid:25)
2
(cid:17)
0
1
11
A
@
x0 (t) = x cos t
y sin t
(cid:0)
y0 (t) = x sin t + y cos t
8
<
ainsi, Z 0 (t) = eitZ (t)
:
Donc, Z (t) = (cid:21) exp
eitdt
; (cid:21)
Soit Z (t) = (cid:21) exp
(cid:19)
(cid:18)Z
ieit
(cid:0)
(cid:0)
(cid:1)
C
2
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
= ((cid:11) + i(cid:12)) esin t (cos (cos t))
i sin (cos t)
(cid:0)
= esin t ((cid:11) cos (cos t) + (cid:12) sin (cos t)) + iesin t ((cid:12) cos (cos t)
(cid:0)
esin t ((cid:11) cos (cos t) + (cid:12) sin (cos t))
0
esin t ((cid:12) cos (cos t)
(cid:0)
(cid:11) sin (cos t))1
A
(cid:11) sin (cos t))
; (cid:11); (cid:12)
R
2
Donc, X (t) =
0
ii) X (t) = (cid:11)
=
re (Z)
Im (Z)1
A
@
@
esin t cos (cos t)
esin t sin (cos t)1
A
(cid:0)
X1(t)
0
@
esin t sin (cos t)
esin t cos (cos t)1
A
X2(t)
+ (cid:12)
0
@
|
|
{z
}
{z
}
4
Ainsi,
iii)
0
@
CHAPITRE 1 EQUATIONS DIFF RENTIELLES LIN AIRES
H = vect (X1; X2) et (X1; X2) est un syst me fondamentale de solutions de
E
1
11
A
e
01
A
0
e1
A
soit (cid:11) = (cid:12) =
Advertisement
= X
= (cid:11)
+ (cid:12)
(cid:25)
2
1
e
0
@
@
0
(cid:16)
(cid:17)
H:
E
1.2.3 M thodes de r solutions
Th oreme 15 Soit A
n (|) coe cients constans
Lensemble des solutions du syst me di rentielle (H) : X 0 = AX sont donn es par :
2 M
X (t) = exp (tA) X0 , o X0 est un vecteur constant
Exercice 16 Soit A =
1
(cid:0)
6
i) Calculer exp (tA) ; t
R:
ii) R soudre le syst me di rentielle (H) : X 0 = AX
1
(cid:0)
4 1
A
2 (R) :
2 M
@
2
0
1) (X
(cid:0)
(cid:0)
2) ; donc A diagonalisable.
Soit X =
Solution 17 i) (cid:31)A = (X
x
y1
A
2 M
0
2;1 (R) :
@
E1 (A)
X
2
2x + y = 0; donc E1 (A) = vect
()
0
0
@
@
X
2
E2 (A)
()
3x + y = 0; ainsi, E2 (A) = vect
0
0
(cid:15)
(cid:15)
On a donc, A = P DP (cid:0)
1 avec P =
1
2
(cid:0)
0
@
ce qui donne exp (tA) = P exp (tD) P (cid:0)
1 =
1
31
A
1
(cid:0)
@
@
et D =
1
1
21
A
1
(cid:0)
A
(cid:0)
1
31
A
1 0
0 21
A
@
0
A
@
Ainsi, exp (tA) = :
:
0
3et
2e2t
et
6e2t
6et 3e2t
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
e2t
2et1
A
3et
(cid:0)
et
@
@
2e2t
X (t) = exp (tA) X0 =
ii) Les solutions de (H) sont donn es par :
e2t
2et1
A
3et)
6et)1
A
Ainsi, X (t) =
2et) + (cid:11) (6e2t
(cid:0)
e2t)
6et 3e2t
@
(cid:0)
(cid:11) (2e2t
(cid:12) (3e2t
(cid:12) (et
6e2t
0
@
0
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
0
@
;
(cid:11)
(cid:12)1
A
; (cid:11); (cid:12)
Exercice 18 Soit A = 0
4
6
1
4
10
(cid:0)
4
(cid:0)
B
B
B
@
3 (R) :
2 M
1
2
1
C
2
C
(cid:0)
C
A
R
2
0
2
(cid:0)
1
31
A
(cid:0)
0
@
2e2t
et 0
0 e2t1
A
(cid:0)
et
(cid:0)
3et
0
6e2t
6et 3e2t
(cid:0)
(cid:0)
3
0
2
(cid:0)
@
e2t
2et1
A
1
11
A
(cid:0)
1.2 LES QUATIONS DIFF RENTIELLES VECTORIELLE LIN AIRE DU PREMIER ORDRE5
i) Calculer (cid:31)A et en d duire que (A
ii) Calculer etA; t
2
iii) R soudre le syst me (H) : X 0 = AX
R:
(cid:0)
2I3)3 = 0n
Solution 19 i) Un calcule simple donne (cid:31)A = (X
Dapr s le th or me de Cayley-Hamilton on a ; (cid:31)A (A) = 0n; donc (A
ii) exp (tA) = exp (t (A
car t (A
2I3) + 2tI3) = exp t (A
2I3) : exp (2tI3)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
2I3) et 2tI3 commutent
+
(cid:0)
2)3 :
2I3)) =
1
(t (A
2I3))n
(cid:0)
n!
(t (A
= I3 +
(cid:0)
1!
!
2I3))1
(t (A
+
2I3))2
(cid:0)
2!
2I3)3 = 0n
(cid:0)
exp (t (A
exp (t (A
(cid:0)
(cid:0)
n=0
X
1 0 0
0 1 0
1
+0
2t
6t
t
2t
t
0
2t
1
+ 0
2t2
0 0 1
B
C
B
C
C
B
@
A
e2t (2t + 1)
(cid:0)
10t
4t
(cid:0)
4t
C
C
C
A
(cid:0)
te2t
2t2
B
B
B
@
(cid:0)
2I3)) = 0
B
B
B
@
0
t2
t2
(cid:0)
te2t
0
t2
t2
(cid:0)
1
C
C
C
A
= exp (t (A
(cid:0)
2I3)) = 0
B
B
B
@
2t + 1
t
t
2t2 + 6t
t2 + 2t + 1
t2 + 2t
2t2
(cid:0)
(cid:0)
10t
t2
(cid:0)
(cid:0)
4t
t2
(cid:0)
(cid:0)
4t + 1
1
C
C
C
A
Ainsi, exp (tA) = 0
e2t (2t2 + 6t)
e2t (t2 + 2t + 1)
e2t (t2 + 2t)
1
e2t (2t2 + 10t)
(cid:0)
e2t (t2 + 4t)
(cid:0)
e2t (t2 + 4t
(cid:0)
B
B
B
@
(cid:0)
1)
C
C
C
A
(cid:11)
1
(cid:12)
iii) Les solutions de (H) sont donn es par :X(t) = exp (tA) 0
(cid:13)
B
B
B
@
C
C
C
A
(cid:11)e2t (2t + 1) + t(cid:12)e2t + t(cid:13)e2t
Donc, X (t) = 0
(cid:11)e2t (2t2 + 6t) + (cid:12)e2t (t2 + 2t + 1) + (cid:13)e2t (t2 + 2t)
1
(cid:11)e2t (2t2 + 10t)
(cid:12)e2t (t2 + 4t)
(cid:13)e2t (t2 + 4t
1)
(cid:0)
Proposition 20 (Cas ou A est diagonalisable)
Soit A
(AVi = (cid:21)iVi) : Alors, les solutions du syst me di rentielle X 0 = AX sont donn e par :
n (|) diagonalisable, de valeurs propres (cid:21)1; :::; (cid:21)n et de vecteurs propres associ s V1; :::Vn
2 M
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
B
B
B
@
C
C
C
A
n
X (t) =
cke(cid:21)ktVk; c1; :::; cn
|
2
k=1
X
3 (R) :
3 3 2
(cid:0)
(cid:0)
2 M
Exercice 21 Soit A = 0
4 4 2
1
B
B
B
R soudre le syst me di rentielle (H) : X 0 = AX
@
C
C
C
A
4 3 3
(cid:0)
Solution 22
(cid:15)
dim E1 (A) = 3
1)2
(cid:0)
(cid:31)A = (X
2) (X
(cid:0)
4 3 2
4 3 2
4 3 2
1
C
C
C
A
Advertisement
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
rg 0
B
B
B
@
= 3
(cid:0)
1 = 2 = m (1)
6
CHAPITRE 1 EQUATIONS DIFF RENTIELLES LIN AIRES
Ainsi, A est diagonalisable.
(cid:15)
x
Soit X = 0
y
z
B
B
B
@
1
C
C
C
A
3;1 (R)
2 M
5 3 2
(cid:0)
2
(cid:0)
(cid:0)
X
0
1
()
()
4 3 1
4 2 2
B
B
B
@
X = 0
E2 (A)
8
>>><
>>>:
Ce qui donne x = y = z et E2 (A) = vect 0
B
B
B
@
4x + 3y + 2z = 0;
E1 (A)
C
C
C
A
X
(cid:15)
2
() (cid:0)
5x + 3y + 2z = 0
(cid:0)
2x + y + z = 0
(cid:0)
4x + 3y + z = 0
(cid:0)
1
1
1
C
1
C
C
A
1
C
C
C
A
V1 = 0
B
B
B
@
0
Ce qui donne E1 (A) = vec 0
B
B
B
@
1
1
V2 = 0
0
C
B
2
C
B
C
B
A
@
; V2 = 0
B
B
B
@
1
1
2
C
3
C
(cid:0)
C
A
C
C
C
A
Ainsi, les solutions du syst me X 0 = AX sont donn es par
X (t) = (cid:11)e2tV1(cid:12)etV2 + (cid:13)etV3 ce qui donne :
(cid:11)e2t + (cid:12)et
X (t) = 0
(cid:11)e2t + 2(cid:13)et
(cid:11)e2t + 2(cid:12)et
B
B
B
@
3(cid:13)et
(cid:0)
; (cid:11); (cid:12); (cid:13)
R
2
1
C
C
C
A
Exercice 23 (R solution dans le cas o A est trigonalisable)
Soit A = 0
3 (R) :
2 M
1 1
1
(cid:0)
1
1
C
C
C
A
2
(cid:0)
1 3
(cid:0)
1
3
B
B
B
@
1) Justi&er que A est rigonalisable et non diagonalisable
2) D terminer P
2
GL3 (R) telle que A = P T P (cid:0)
1; avec T = 0
0 2 1
1
0 0 0
3) R soudre le syst me di rentie X 0 = AX:
B
B
B
@
0 0 2
C
C
C
A
Solution 24 1) On v ri&e que (cid:31)A = X (X
2) donc sicnd dans R ; donc A est trigonalisable.
= m (2) ; donc A nest pas diagonalisable.
(cid:0)
(cid:15)
dimE2 (A) = 1
x
2) Soit X = 0
B
B
B
@
3;1 (R)
2 M
y
z
1
C
C
C
A
6
1.2 LES QUATIONS DIFF RENTIELLES VECTORIELLE LIN AIRE DU PREMIER ORDRE7
Cehechons X2 et X3 telle que AX2 = X2 et AX3 = X2 + 2X2; cest_ -dire X2 = (A
(cid:15)
X3
2I3)2
ker (A
ker (A
2I3) X3 et
(cid:0)
x + y
z = 0
(cid:0)
(cid:0)
x + 2y + z = 0
y = 0 et x = z
()
3x
y + 3z = 0
(cid:0)
1
+
X1 = 0
B
B
B
@
1
1
0
C
C
1
C
C
C
C
A
A
2I3)
(cid:0)
2
(cid:15)
2
X
()
E0 (A)
8
>>><
>>>:
Donc, E1 (A) = vec 0
B
B
B
@
n
3 1
0
(cid:0)
1
2
(cid:0)
(A
(cid:0)
2I3)2 = 0
B
B
B
@
1
(cid:0)
1
1
7
0
= 0
(cid:0)
0
2 3
3
1 1
(cid:0)
C
C
C
A
7 2
(cid:0)
B
B
B
@
1
0
C
3
C
(cid:0)
C
A
0
(A
X
2
(cid:0)
2I3)2
7x
(cid:0)
()
1 1 0
2y + 3z = 0: Soit X3 = 0
B
B
B
@
1
3
C
2
C
C
A
; Donc X2 = 0
B
B
B
@
Par suite P = 0
0 2 3
1
:
1
2
1
C
1
C
(cid:0)
C
A
1
B
B
B
@
1 2
(cid:0)
C
C
C
A
x1
et Y = 0
y1
1
y2
avec X = P Y
3) Soit (H) : X 0 = AX: On pose X = 0
C
B
B
C
C
B
Y 0 = T Y
A
@
X 0 = AX
1P Y
x2
x3
1
()
P Y 0 = P T P (cid:0)
y01 = 0
()
y3
B
B
B
@
C
C
C
A
Y 0 = T y
y02 = 2y2 + y3
()
8
>>><
y03 = 2y3
y3 = (cid:11)e2t; (cid:11)
y03 = 2y3
>>>:
()
y02 = 2y2 + y3
()
y2 = (cid:12)e2t:
R
(E) : y02 = 2y2 + (cid:11)e2t
(cid:15)
(cid:15)
y02 = 2y2
On pose y2 = (cid:12) (t) e2t et (E) donne : ((cid:12)0 + 2(cid:12)) e2t = 2(cid:12)e2t + (cid:11)e2t
Soit (cid:12)0 = (cid:11): Ainsi (cid:12) = (cid:11)t + (cid:13); (cid:13)
R: Donc, y2 = ((cid:11)t + (cid:13)) e2t
()
2
y01 = 0
(cid:15)
()
y2 = (cid:14); (cid:14)
R
2
2
8
CHAPITRE 1 EQUATIONS DIFF RENTIELLES LIN AIRES
Ce qui donne Y = 0
((cid:11)t + (cid:13)) e2t
(cid:14)
(cid:11)e2t
B
B
B
@
1
C
C
C
A
et X = P Y Donne en&n
(cid:14) + e2t ((cid:13) + t(cid:11))
X = 0
3(cid:11)e2t + 2e2t ((cid:13) + t(cid:11))
1
; (cid:11); (cid:12); (cid:14)
B
B
B
@
Exercice 25 (R solution dun syst me avec second membre)
R soudre le syst me di rentiel
e2t ((cid:13) + t(cid:11))
(cid:14) + 2(cid:11)e2t
C
C
Advertisement
C
A
(cid:0)
R
2
x0 = x
y + t
(cid:0)
y0 = 2x + 4y + 2t
8
<
Solution 26
(cid:15)
On Commence par r soudre l quation homg ne
:
x0 = x
y
(cid:0)
y0 = 2x + 4y
8
<
Soit A =
Soit n
(cid:15)
(cid:15)
: (cid:31)A = (X
1
1
(cid:0)
0
2 4 1
N: On crit X n = (cid:31)A:Q (X) + aX + b
@
A
2
2a + b = 2n
a = 3n
2) (X
2n
(cid:0)
(cid:0)
:
3)
8
<
3a + b = 3n
: Alors,
8
<
b = 3:2n
(cid:0)
(cid:0)
2:3n
Alors,
:
Ainsi, An = (3n
:
2n) A + (3:2n
(cid:0)
(cid:0)
2:3n) I2 =
0
+
1
(2n+1
3n) tn
+
@
1
2n) tn
n=0
X
+
1
2:3n
exp (tA) =
tnAn
n!
+
1
n=0
X
2 (3n
= 0
B
B
B
B
@
n=0
X
+
1
n=0
X
Ce qui donne X (t) = exp (tA) X0 =
(cid:0)
n!
(cid:0)
n!
(cid:0)
3n
2n1
A
2e2t
0
2 (e3t
(cid:0)
=
2n+1
3n
2n
(cid:0)
(cid:0)
2 (3n
n
(2n
2n) 2:3n
3n) tn
(cid:0)
n!
2n
tn
(cid:0)
n!
e2t
1
C
C
C
C
A
n=0
X
e3t
@
(cid:11)
(cid:12)1
A
0
@
(cid:0)
(cid:0)
e3t
e2t1
A
e2t) 2e3t
; (cid:11); (cid:12)
R:
2
2e2t
0
2 (e3t
@
2e2t)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
2e3t)1
A
X (t) = :
0
(cid:12) (e2t
(cid:11) (2e2t
e3t)
(cid:0)
2e3t)
(cid:11) (e3t
(cid:0)
(cid:12) (e2t
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
e3t
e2t
e2t) 2e3t
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
e3t
e2t1
A
(cid:15)
@
On pose X (t) = exp (tA) X0 (t) = exp (tA)
Pour r soudre l quation compl te, on utilise la m thode de variation de la constante (ici X0)
(cid:11) (t)
(cid:12) (t)1
A
On d rive et on injecte dans (S) : X 0 = AX + B; on obtient
@
0
1.3 LES QUATIONS DIFF RYENTIELLES LIN AIRES SCALAIRES DORDRE N 9
t
2t1
A
0
@
exp (tA)
0
; ainsi,
0
= exp (
tA)
=
0
t
2t1
A
2t
@
2e(cid:0)
0
2 (e(cid:0)
(cid:0)
3t
(cid:11)0 (t)
(cid:12)0 (t)1
A
=
@
(cid:11)0 (t)
(cid:12)0 (t)1
A
(cid:11)0 (t)
(cid:12)0 (t)1
A
e(cid:0)
2t
3t
3t
e(cid:0)
@
e(cid:0)
e(cid:0)
2t) 2e(cid:0)
3t
@
2t (e(cid:0)
2t
(cid:0)
e(cid:0)
3t)
t (e(cid:0)
3t
t (2e(cid:0)
2t
2e(cid:0)
3t)
2t (e(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
3e(cid:0)
(cid:0)
2t + 6e(cid:0)
3t) t
3t) t1
A
=
=
0
@
(cid:0)
(4e(cid:0)
2t
4e(cid:0)
(
(cid:0)
0
@
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
2t
2t1
0
e(cid:0)
2e(cid:0)
A
2t)
@
2e(cid:0)
(cid:0)
3t)1
A
(cid:0)
t
2t1
A
donc,
0
@
(cid:11)0 (t)
(cid:12)0 (t)1
A
(cid:11)0 (t)
(cid:12)0 (t)1
A
0
@
0
@
et on peut donc calculer (cid:11) et (cid:12)
1.3 Les quations di ryentielles lin aires
scalaires dordre n
1.3.1 Espace des solutions
D &nition 27 On appelle quation di rentielle lin aire scalaire dordre n sur I; toute quation de
la forme
(E) : any(n) + an
(cid:0)
1y(n
(cid:0)
1) + ::: + a0y = b
o an; :::; a0; b : I
sur I:
!
| sont des fonctions continues sur I et dinconnue y : I
| n fois d rivable
!
Remarque 28 Dans le cas ou an (t)
r solution du syst me diif rentielle (S) : X 0 = AX +B o
= 0;
t
8
2
I; la r solution de l quation (E) est quivalent la
X =
y
y0
y(n
(cid:0)
1)
0
B
B
B
B
B
B
@
1
C
C
C
C
C
C
A
; A =
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
0
1
0
. . .
0
...
0
a0
an (cid:0)
a1
an
(cid:0)
0
:::
. . .
. . . . . .
0
0
:::
:::
0
0
...
1
an
(cid:0)
an
1
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
(cid:0)
et B =
0
0
b
an
0
B
B
B
B
B
B
B
@
1
C
C
C
C
C
C
C
A
Th oreme 29 (De Cauchy-Lipscitz)
Soit an; :::; a0; b : I
On consid re l quation di rentielle (E) : any(n) + an
(cid:0)
Pour tout t0
v rifaint y(k) (t0) = yk;
I et (y0; :::; yn
k
I:
1) + ::: + a0y = b:
|n; l quation (E) ademet une seule solution y d &nie sur et
1
| des fonctions continues sur I avec an (t)
1y(n
(cid:0)
1)
n
= 0;
t
8
!
2
2
1
8
(cid:20)
(cid:0)
(cid:20)
2
Advertisement
(cid:0)
Proposition 30 (Espace des solutions )
Soit l quation di rentielle (E) : any(n) + an
(cid:0)
H des soultions de l quation hmog ne (H) : : any(n) + an
i) Lensemble
E
(cid:0)
un sous-espace vectoriel de dimension n de lespace vectoriel
ii) Les solutions de l quation compl te (E) sont donn es par : y = yh + yp o yh
solution particuli re de (E) :
1) + ::: + a0y = b avec an (t)
1y(n
(cid:0)
1 (I; |) :
1y(n
(cid:0)
C
I:
= 0;
1) + ::: + a0y = 0:est
t
8
2
H et yp est uns
2 E
6
6
6
10
CHAPITRE 1 EQUATIONS DIFF RENTIELLES LIN AIRES
Exemple 31 Soit (E) : x2y00 + xy0
Cherchons les solutions sous forme f (x) = x(cid:11)
(cid:0)
4y = 0; I =]0; +
[
1
f est solution de (E)
()
()
()
x2(cid:11) ((cid:11)
1) x(cid:11)
(cid:0)
2 + x(cid:11)x(cid:11)
(cid:0)
4) x(cid:11) = 0;
x > 0
((cid:11)2
(cid:0)
8
2
(cid:0)
Soit donc y1 (x) = x2 et y2 (x) =
En conclusion les solutions de (H) sont donn es par :
(cid:11) = 2 ou (cid:11) =
1
x2 sont deux solutions de (H)
4x(cid:11) = 0;
1
(cid:0)
(cid:0)
x > 0
8
y (x) = (cid:12)x2 + (cid:13)
1
x2 ; (cid:12); (cid:13)
R
2
1.3.2 Equations di rentielles lin aires du scond ordre
On consid re l quation di rentielle lin aire du second ordre d &nie sur I (E) : ay00 + by0 + cy = d
o a; b; c; d : I
Soit (H) : ay00 + by0 + cy = 0 l quation homog ne associ e (E) :
| continues avec a (t)
= 0;
t
8
!
I:
2
Th oreme 32 (De Cachy-Lipscitz)
Soit t0
y (t0) = y0 et y0 (t0) = y1:
I et (y0; y1)
2
2
|2: Alors, l quation (E) admet une seule solution y d &nie sur I et v ri&ant
Proposition 33 (Espace des solutions )
i) Lensemble
2 de lespace vectoriel
ii) Les solutions de l quation compl te (E) sont donn es par : y = yh + yp o yh
H des soultions de l quation hmog ne (H) est un sous-espace vectoriel de dimension
E
1 (I; |) :
C
H et yp est une
2 E
D &nition 34 On appelle wronskien de deux solutions y1 et y2 de l quation (H) : ay00 + by0 + cy = 0;
la fonction w : I
|; d &nie par ,
I; w (t) =
t
8
2
!
= y1 (t) y02 (t)
y01 (t) y2 (t)
(cid:0)
Exemple 35 Soit (H) : t2y00 (t) + 3ty0 + y = 0; I =]0; +
ln t
t
!
et y2 : t
!
1
t
sont deux solutions de (H)
=
1
ln t
t3 (cid:0)
(cid:0)
ln t
(cid:0)
t3
=
1
t3 :
(cid:0)
On v ri&e que y1 : t
1
t
1
(cid:0)
t2
ln t
t
(cid:0)
t2
ln t
1
w (t) = (cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
Th oreme 36 Le wronskien w de deux solutions de l quation (H) : ay00 + by0 + cy = 0 est solution
de l quation di rentielle du premier ordre aw0 (t) + b (t) w (t) = 0
y1 (t) y2 (t)
y01 (t) y02 (t)(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
[
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
1
D monstartion. Par d rivation dun d terminant :
y1 (t)
w0 (t) =
+
y01 (t) y02 (t)
y01 (t) y02 (t)(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
y1 (t) y2 (t)
y001 (t) y002 (t)(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:0)
(cid:12)
En utilisant la lin arit du d terminant par rapport la deuxi me ligne , on bitien
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
y01 (t)
y02 (t)
y1 (t)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
y2
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
y2 (t)
b
a
c
a
c
a
b
a
=
6
1.3 LES QUATIONS DIFF RYENTIELLES LIN AIRES SCALAIRES DORDRE N 11
w0 (t) =
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
Donc w0 (t) =
y1 (t)
b
a
y01 (t)
(cid:0)
y2 (t)
b
a
(cid:0)
+
(cid:0)
(cid:12)
y02 (t)(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
y2 (t)
|
b
y02 (t)(cid:12)
(cid:12)
a
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:0)
y1 (t)
c
a
y1 (t)
(cid:0)
y2 (t)
c
y2(cid:12)
(cid:12)
a
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
y1 (t) y2 (t)
}
y01 (t) y02 (t)(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
0
b
{z
a (cid:12)
(cid:0)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
=
y1 (t)
b
a
y01 (t)
(cid:0)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
=
b
a
(cid:0)
w (t)
Exemple 37 Le wronskien de l quation y00 + q (t) y (t) = 0 est constant
En e et : w0 (t) = 0
Th oreme 38 Soit l quation di rentielle (H) : ay00 + by0 + cy = 0 d &nie sur I
Soit ' et deux solutions de (H) : Alors, les assertions suivantes sont quivalents
i) ('; ) est un syst me fondamentale de solutions de (H)
ii)
2
iii) il existe t0
= 0
I; tel que w (t0)
I; w (t)
t
8
= 0
2
D monstartion. Soit
H lensemble des solutions de (H)
E
|2; (cid:30) (y) = (y (t0) ; y0 (t0)) est un isomorphisme.
Lapplication (cid:30) :
Ainsi, ('; ) est un syst me fondamental de solution si, et seulemsnt si,
(cid:30) ('; ) = ((' (t0) ; '0 (t0)) ; ( (t0) ; 0 (t0))) est une base de |2; donc w (t0)
!
E
H
= 0:
1.3.3 M thodes de r solution
Proposition 39 (Cas o les coe cients sont constants )
Soit a; b; c
= 0 et l quation (H) : ay00 + by0 + cy = 0
L quation caract ristique associ e est (C) : ar2 + br + c = 0
i) Si (C) admet deux solutions r elles distincts r1
R avec a
2
= r2;alors les solutions de (H) sont donn es par :
ii) Si (C) admet une sultion r elle double r = r1 = r2; alors les solutions de (H) sont donn es par :
y (t) = (cid:11)er1t + (cid:12)er2t; (cid:11); (cid:12)
R
2
iii) Si (C) admet deux solutions complexes conjugu es r1 = r2 = (cid:13) + i(cid:14) ((cid:13); (cid:14)
solutions de (H) sont donn es par :
2
R), alors alors les
y (t) = ((cid:11)t + (cid:12)) ert; (cid:11); (cid:12)
R
2
y (t) = ((cid:11) cos ((cid:14)t) + (cid:12) sin ((cid:14)t)) e(cid:13)t; (cid:11); (cid:12)
R
2
3y0 + 2y = 0
Exemple 40 i) Soit (H) : y00
L quation caract ristique (C) : r2
(cid:11)et + (cid:12)e2t; (cid:11); (cid:12)
ii) (H) : y00 + y = 0; (C) : r2 + 1 = 0 qui admet deux solutions complexes conjugu es r1 = r2 = i;
donc y (t) = (cid:11) cos (t) + (cid:12) sin (t) ; (cid:11); (cid:12)
3r + 2 = 0 admet deux solutions distincts 1 et 2; donc y (t) =
R:
(cid:0)
(cid:0)
2
R:
2
Proposition 41 (M thode de variation des deux constantes )
Soit a; b; c; d : I
Soit (y1; y2) un syst me fondamental de solutions de (H) : (H) : ay00 + by0 + cy = 0:
I; (E) : ay00 + by0 + cy = d:
| continues avec a (t)
= 0;
t
8
!
2
6
6
6
6
6
6
12
CHAPITRE 1 EQUATIONS DIFF RENTIELLES LIN AIRES
Si y est une solution de (E) ; alors il existe deux fonctions (cid:11); (cid:12) : I
y (t) = (cid:11) (t) y1 (t) + (cid:12) (t) y2 (t) avec :
!
| d rivables telles que :
(cid:11)0 (t) y1 (t) + (cid:12)0 (t) y2 (t) = 0
d
a
(cid:11)0 (t) y01 (t) + (cid:12)0 (t) y02 (t) =
:
8
<
Exercice 42 R soudre (E) : y00 + y =
:
1
sin3 (t)
; I =]0; (cid:25)[
Solution 43 (H) : y00 + y = 0 de solutions y (t) = (cid:11) cos (t) + (cid:12) sin (t) ; (cid:11); (cid:12)
R: Donc y1 (t) = cos t
et y2 (t) = sin t est un syst me fondamental de solutions de (H) : On utilise la m thode de variation
des deux constantes pour r soudre (E) ; soit donc, y (t) = (cid:11) (t) cos (t) + (cid:12) (t) sin (t) ; avec :
2
(cid:11)0 (t) cos t + (cid:12)0 (t) sin t = 0
1
sin3 (t)
(cid:11)0 (t) sin t + (cid:12)0 (t) cos t =
(cid:0)
8
><
(1)
cos t
(2)
(cid:0)
(cid:2)
(cid:2)
sin t =
)
>:
(cid:11)0 (t) =
1
sin2 (t)
(cid:0)
=
(cid:0)
(1 + cot2 (t))
Ainsi, (cid:11) (t) = cot (t) + c1; c1
(1)
sin t + (2)
cos t =
(cid:2)
)
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En conclusion les solutions de (E) sont donn es...