Théorème des accroissements finis et applications en analyse mathématique

9<;(cid:4)VP=Ha/(cid:132)QVP=]1(cid:8)VN5A|b14;<14VN^(cid:133)C(cid:29)BEJ(cid:8);<KLYF=>abY(cid:134)J(cid:8);

(o;~i;~j)

R

M0(x0; f (x0)) S M (x; f (x))

B<=Q9(cid:131)(cid:135)(cid:11)a/143F;%5AK(cid:136)B<9(cid:4)O4VPJ(cid:8)a<|<=GBb=G7

=HKN5‘YFJza/=H;I5P=]B<=GY(cid:134)J(cid:22)B<VP143(cid:137)5A=>(cid:138){KN9<a<a/14V(cid:139)5‘B<=

M0M

A(x) =

(cid:140)(cid:29)9EJR;<B

(cid:1)

(cid:1)

f (x0)

f (x)

x

x0

x0 M

(cid:0)

(cid:0)

x

!

!

f 0(x0)

J(cid:142)a/149bVLa/=Q;%5A=

YF36^(cid:18)3(cid:137)5P=(cid:29)B<=GYFJzKPCH?(cid:141)JR;I5A=]=HKN5U5AJ(cid:8);<O4=H;I5P=G=Q;

M0 D

(cid:1)

!

J(cid:8)9(cid:4)O(cid:8)VAJ(cid:8)a<|b=GB<=>7

M0

=QK(cid:139)5‘Y(cid:134)J(cid:22)a/=Q;%5A=]Bb=]YFJ(cid:22)5AJ(cid:8);<O4=H;I5P=]=H;

J(cid:8)9(cid:4)O4VPJ(cid:8)a<|<=>B<=G7

f 0(x0)

M0

S

(cid:128)

(cid:128)

(cid:136)(cid:15)(cid:142)(cid:14)

(cid:30),(cid:15)(cid:18)(cid:14)

(cid:25)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:21)(cid:24)(cid:30) (cid:31)(cid:11)(cid:27)(cid:29)(cid:23)

(cid:2)(cid:1)(cid:4)(cid:3)

!#"%$’&)(+*,(.-/&

0214365

D = [x0

R=f 0(x0)existe]

1(cid:8);(cid:4)B<CHD<;<365LY(cid:134)J(cid:22)?Q14VNVP=QKNa/14;<BEJR;<?Q=]KP9<3(cid:137)MRJ(cid:8);%5A=(cid:8)Z

2

?H=H5N5A=]?H14VPVN=QKPa/1(cid:8);<BEJ(cid:8);<?H=

B<C@DE;<3(cid:137)5

YFJ(cid:22)7+14;<?@5A3614;(cid:11)B<CHVP3(cid:137)M4CQ=Ga<VP=H^(cid:133)36(cid:132)QVP=>Bb=G7

x0

8

2

D

(cid:0)!

f 0(x0)

R

2

-(cid:129)&)w(cid:8)*i(+-(cid:129)&

!#"IgR(kj/"Ih

(cid:141)v#g(cid:24)vT&(cid:9)(.&(cid:129)*,hIg,jbt

kh

(cid:8)(cid:7)

(cid:10)(cid:9)(cid:11)(cid:9)

B<CQVN36MRJRX<YF=>=H;

B<CQVN36MRJRX<YF=GyzB<VP143(cid:137)5A=(cid:29)B<=]J

x0

x0

8

2

]a; b[

(cid:13)(cid:12)

=HVP3(cid:137)MRJ(cid:8)X<Y6=Gy(cid:142)O%JR9<? |b=]B<=GX

(cid:15)(cid:14)

(cid:17)(cid:16)(cid:18)(cid:3)

(cid:20)(cid:19)

(cid:22)(cid:19)

(cid:17)(cid:9)

(cid:21)(cid:7)

(cid:27)(cid:29)(cid:21)

(cid:30),(cid:15)(cid:18)(cid:14)

(cid:25)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:21)

(cid:30)@(cid:31)(cid:11)(cid:27)

Qv)g

+h

KN14^(cid:18)^(cid:133)=

abVP12B<9<3(cid:137)5

?QJ(cid:8)KLaEJ(cid:8)VN5P3F?H9<YF36=HV

[u(x) + v(x)]0 = u0(x) + v0(x)

[u(x):v(x)]0 = u0(x):v(x) + u(x):v0(x)

[a:u(x)]0 = a:u0(x)

u(x):v0(x)

u0(x):v(x)

u(x) = a

[

u(x)

v(x)

]0 =

(cid:0)

v(x)2

[f [u(x)]0 = f 0[u(x)]:u0(x)

7+1(cid:8);<?H5P3F14;(cid:11)?H14^(cid:18)a/14KPCH=(cid:8)Z

?QJ(cid:8)KLaEJ(cid:8)VN5P3F?H9<YF36=HVQZ

9<1R5A3F=H;I5

J,M4=H?

v(x)

= 0

u(x) = ax + b

[f (ax + b)]0 = af 0(ax + b)

(cid:3)(cid:24)(cid:16)

(cid:20)(cid:25)

(cid:26)(cid:3)

(cid:28)(cid:27)

(cid:28)(cid:14)

(cid:28)(cid:23)>(cid:14)

(cid:142)(cid:15)

(cid:28)(cid:21)(cid:28)(cid:19)(cid:22)(cid:23)

lsvT&#h

0214365(cid:136)Y(cid:134)J(cid:22)?Q149bVPX/=]B

9<JR5A3614;

b(cid:128)

k(cid:135)

(cid:29)(cid:12)

(cid:31)(cid:30)

!

#"

M0(x0; f (x0))

9<;(cid:4)a/1436;I5(cid:136)B<9(cid:4)O4VAJ(cid:8)ab|<=GB<=>7

9b;ma/1(cid:8)3F;%5L?Q149bVAJ(cid:8);%5UB<=GY(cid:134)J

5}JR;<O4=Q;%5A=G=Q;

J(cid:8)9(cid:4)O(cid:8)VAJ(cid:8)a<|b=GB<=>7

YFJza/=Q;%5A=]Bb=]YFJ(cid:22)5AJ(cid:8);<O4=H;I5P=

M0

=HKN5U9<;(cid:4)M(cid:8)=Q?H5P=Q9<VUB<3FVN=Q?@5A=Q9bVLB<=GY(cid:134)J

5}J(cid:8);<O(cid:8)=Q;%5A=

$"

T (X; Y )

f 0(x0)

~VD = [1; f 0(x0)]

?H=H5N5A=G5AJ(cid:8);<O4=H;I5P=

Jza/149<V(cid:136)C

9EJR5P3F14;(cid:16)Z

f (x0) = f 0(x0)(X

Y

(cid:0)

x0)

(cid:0)

(cid:0)

(cid:5)

(cid:6)

7

7

7

B

(cid:15)

(cid:7)

(cid:23)

(cid:23)

6

(cid:23)

(cid:1)

C

(cid:23)

7

(cid:23)

(cid:136)(cid:15)(cid:142)(cid:14)

(cid:30),(cid:15)(cid:18)(cid:14)

(cid:2)(cid:1)(cid:4)(cid:3)

(cid:2)(cid:19)

(cid:25)(cid:28)(cid:27)(cid:29)(cid:21)(cid:24)(cid:30) (cid:31)(cid:11)(cid:27)(cid:29)(cid:23)

y = x(cid:11)

y = cos x

y = sin x

y = tan x

y = ln x

y = ex

y =

KP|(cid:131)(cid:135)

? |2(cid:135)

y =

y =

5A|(cid:131)(cid:135)

VP?HKP36;(cid:131)(cid:135)

VP?H?Q1(cid:8)K(cid:139)(cid:135)

VP?@5}JR;(cid:131)(cid:135)

VPO(cid:8)KP|(cid:131)(cid:135)

VPO(cid:8)? |2(cid:135)

VPOR5A|(cid:131)(cid:135)

y = (cid:0)

y = (cid:0)

y = (cid:0)

y = (cid:0)

y = (cid:0)

y = (cid:0)

y0 = (cid:11) x(cid:11)(cid:0)1

y0 =

(cid:0)

y0 = cos x

sin x

y0 = 1 + tan2 x =

1

y0 =

x

y0 = ex

y0 =

y0 =

? |(cid:131)(cid:135)

KP|(cid:131)(cid:135)

1

cos2 x

y0 = 1

2x =

1?}|

2x

(cid:0)

5A|

1

y0 =

y0 =

y0 =

y0 =

y0 =

y0 =

(cid:0)

x2

p1

x2

(cid:0)

1

(cid:0)

p1

1

1 + x2

1

p1 + x2

1

px2

1

(cid:0)

1

x2

1

(cid:0)

-(cid:129)&)w(cid:8)*i(+-(cid:129)&

w4-/dn(cid:130)[-

Q"Ih

(cid:1)(cid:3)(cid:2)(cid:5)(cid:4)(cid:6)(cid:2)(cid:8)(cid:7)(cid:10)(cid:9)(cid:12)(cid:11)

y = f [ax + b]

(cid:1)(cid:3)(cid:2)(cid:5)(cid:4)(cid:14)(cid:13)(cid:16)(cid:15)(cid:17)(cid:9)(cid:12)(cid:15)(cid:17)(cid:18)(cid:8)(cid:2)(cid:20)(cid:19)

y = f [u(x)]

(cid:25)(cid:11)(cid:30)

(cid:27)(cid:29)(cid:21)(cid:24)(cid:23)>(cid:14)

(cid:30)@(cid:23)

(cid:26)(cid:3)

(cid:22)(cid:21)(cid:23)(cid:21)

y0 = a f 0[ax + b]

y0 = u0(x) f 0[u(x)]

M4=Q?]Y(cid:134)J(cid:22);<1(cid:8)5AJR5A3614;(cid:28)B<3

CHVP=Q;%5A36=QYFY6=

B<=GY(cid:134)J(cid:22)B<CQVN36M4CQ=

(cid:25)(cid:24)

1(cid:8);(cid:4)14Xb5P3F=Q;%5LY

CQ?HVP3(cid:137)5A9<VN=>KP9<3(cid:137)MRJ(cid:8);%5A=Ga/149<V(cid:136)Y(cid:134)J

7+14;<?@5A3F1(cid:8);(cid:11)B<3

(cid:129)CQVN=Q;%5A3F=HYFY6=

y0 =

= f 0(x)

dy

dx

(cid:26)(cid:24)

!)(

"Igih2&(cid:129)*i(+h

+hm!

(cid:137)vT&#h

-/&Tw(cid:8)*i(+-/&

(cid:28)(cid:27)

(cid:30)(cid:29)

y = f (x)

dy = f 0(x) dx

!)(

"Igih2&(cid:129)*i(+h

+hm!

(cid:137)vT&#h

-/&Tw(cid:8)*i(+-/&

w4-(cid:129)ds(cid:130)

Q"Ih

(cid:28)(cid:27)

(cid:30)(cid:29)

y = f [u(x)]

dy = f 0[u(x)] u0(x) dx = f 0(u) du

(cid:0)

(cid:19)

(cid:6)

(cid:7)

Z

(cid:0)

(cid:0)

(cid:23)

(cid:19)

(cid:0)

(cid:12)

Z

(cid:9)

(cid:9)

(cid:6)

Z

(cid:9)

(cid:9)

(cid:6)

-

(cid:7)

Z