Théorie des nombres réels et fonctions : limites, dérivées, intégrales

1re ann e

175

Changements de bases 178

1re ann e

Orthogonalit

2e ann e

Espaces vectoriels

euclidiens

2e ann e

64

Endomorphismes

orthogonaux

2e ann e

Syst mes lin aires

1re ann e

65

181

Endomorphismes

sym triques

2e ann e

199

203

204

208

VII

9782100549238-fredon-tdm.qxd 6/07/10 12:30 Page VIII

Partie 5 G om trie

66

Espaces affines

1re ann e

212

74

67

Applications affines

1re ann e

68

Barycentres

1re ann e

69

Calcul vectoriel

1re ann e

214

217

219

75

76

G om trie euclidienne

du plan et de lespace

1re ann e

77

222

70

71

72

Isom tries du plan

et de lespace

1re ann e

Similitudes directes

du plan

1re ann e

Courbes planes

param tr es

1re ann e

233

Courbes planes

en coordonn es polaires 236

1re ann e

tude m trique

des courbes planes

1re ann e

Compl ments

sur les courbes

2e ann e

G n ralit s

sur les surfaces

2e ann e

225

78

228

230

79

Surfaces usuelles

2e ann e

80

Quadriques

2e ann e

Index

238

240

242

244

247

249

73

Coniques

1re ann e

VIII

Partie 1

Analyse

dans (cid:2)

9782100549238-fredon-C01.qxd 1/07/10 15:09 Page 2

Nombres r els

1

1re ann e

1.

Premi res propri t s

1.1 Corps ordonn

On dit que l'ensemble R des nombres r els est

" un corps pour dire qu'il est muni de deux op rations + et , avec toutes les

propri t s dont vous avez l'habitude ;

" un corps ordonn pour dire que la relation d'ordre (cid:1) est compatible avec +

et , c'est- -dire :

a R b R c R

a R b R c (cid:2) 0

a (cid:1) b (cid:6) a + c (cid:1) b + c

a (cid:1) b (cid:6) ac (cid:1) bc

1.2 R gles de calcul

(cid:4)

(cid:3)

n(cid:2)

(x + y)n =

(cid:6)

k=0

=

n!

k!(n k)!

(cid:5)

n

k

o

n

k

x k ynk

(formule du bin me)

x n yn = (x y)

n1(cid:2)

k=0

x nk1 yk .

1.3 Valeur absolue

" La valeur absolue d'un r el a, not e |a|, est d finie par :

si a (cid:2) 0

|a| = a

|a| = a

;

si a (cid:1) 0 .

" Propri t s

a R b R

|a| (cid:2) 0 ;

|a| = 0 a = 0 ;

(cid:7)

(cid:7)

(cid:7) (cid:1) |a b|

(cid:7) |a| |b|

;

|ab| = |a| |b|

|a + b| (cid:1) |a| + |b|

1.4 Propri t d'Archim de

Soit a R et b > 0. Alors il existe k N tel que bk > a.

2

9782100549238-fredon-C01.qxd 1/07/10 15:09 Page 3

Nombres r els 1

2.

Intervalles

2.1 D finitions

Pour a (cid:1) b, le segment est d fini par :

= {x R ;

a (cid:1) x (cid:1) b}

On utilise souvent la propri t :

c t [0,1]

c = ta + (1 t)b

On d finit de m me les autres types d'intervalles :

]a,b[, a,b], ]a,+[, ,b[, ] ,b], ] ,+[= R .

2.2 Propri t caract ristique

Une partie A de R est un intervalle si, et seulement si :

a A b A

a < c < b (cid:6) c A.

2.3 Voisinage d'un point

Soit a R. Une partie V de R est un voisinage de a si elle contient un intervalle

ouvert centr sur a.

2.4 Densit de Q dans R

Tout intervalle ]a,b[ non vide contient au moins un rationnel et un irrationnel.

On dit que Q et son compl mentaire R \ Q sont denses dans R.

3.

Ordre dans R

3.1 Majoration, minoration

" D finitions

Soit A une partie de R. On dit que a est un majorant de A si x (cid:1) a pour tout x

de A.

Si, en plus, a A, alors a est le plus grand l ment de A, not max A.

Si A admet un majorant, on dit que A est major e.

On d finit de m me : minorant, plus petit l ment, partie minor e.

" Unicit

Si une partie non vide de R admet un plus grand l ment, ou un plus petit

l ment, il est unique. Mais il peut ne pas exister.

.

t

i

l

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u

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l

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n

A

3

9782100549238-fredon-C01.qxd 1/07/10 15:09 Page 4

1

Nombres r els

Surveillez votre vocabulaire : un majorant, le plus grand l ment.

" Cas particulier des entiers naturels

Toute partie non vide de N admet un plus petit l ment.

Toute partie non vide major e de N admet un plus grand l ment.

3.2 Borne sup rieure, inf rieure

" D finitions

La borne sup rieure de A est le plus petit l ment (s'il existe) de l'ensemble des

majorants de A.

La borne inf rieure de A est le plus grand l ment (s'il existe) de l'ensemble des

minorants de A.

" Caract risation

M est la borne sup rieure de A si, et seulement si, on a, la fois :

x A x (cid:1) M , c'est- -dire que M est un majorant ;

> 0 x A M < x, c'est- -dire que M n'est pas un majorant.

m est la borne inf rieure de A si, et seulement si, on a, la fois :

x A m (cid:1) x , c'est- -dire que m est un minorant ;

> 0 x A x < m + , c'est- -dire que m + n'est pas un minorant.

" Remarque

Si A admet un plus grand l ment, alors c'est la borne sup rieure de A.

Si A admet un plus petit l ment, alors c'est la borne inf rieure de A.

" Th or me d'existence

Toute partie non vide et major e (resp. minor e) de R admet une borne sup rieure

(resp. inf rieure).

3.3 Droite num rique achev e

Pour ne pas avoir de restriction dans le th or me pr c dent, on consid re un nou-

vel ensemble not R obtenu partir de R par l'adjonction de deux l ments not s

et + .

On prolonge R la relation d'ordre en posant pour tout a R :

< a < + .

4

9782100549238-fredon-C01.qxd 1/07/10 15:09 Page 5

Nombres r els 1

On d finit ainsi la droite num rique achev e dont le plus grand l ment est + ,

le plus petit l ment .

Et le th or me pr c dent se g n ralise :

Toute partie non vide de R admet une borne sup rieure et une borne inf rieure

dans R.

4.

Approximations d cimales

4.1 Valeurs approch es

Soit a R, b R, > 0 . On dit que b est une valeur approch e de a pr s si

|a b| < , c'est- -dire si b ]a ,a + [.

On parle de valeur approch e par exc s si b > a et par d faut si b < a.

4.2 Partie enti re

tant donn un nombre r el x, il existe un plus grand entier relatif, not E(x) ou

, tel que E(x) (cid:1) x.

On

l'appelle

E(x) (cid:1) x < E(x) + 1 .

la partie enti re de x. On a donc, par d finition :

Attention ne pas confondre avec la suppression de la partie d ci-

male quand x < 0 ; par exemple E(4,3) = 5.

4.3 Valeurs d cimales approch es

Soit x R et n N. Il existe un entier d unique tel que

d 10n (cid:1) x < (d + 1) 10n .

d est la partie enti re de 10n x .

d 10n s'appelle la valeur d cimale approch e de x 10n pr s par d faut,

et (d + 1) 10n celle par exc s.

.

t

i

l

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n

u

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L

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R

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A

5

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Fonctions num riques

2

1re ann e

1.

D finitions

Fonction num rique

1.1

D finir une fonction num rique f sur une partie non vide E de R, c'est indiquer

comment faire correspondre au plus un r el y tout x de E.

Le r el y est l'image de x par f et s' crit f (x) . On note :

f : E R

x

(cid:4) f (x).

L'ensemble des r els qui ont effectivement une image par f est l'ensemble de d fi-

nition de f. Il est not D f, ou D s'il n'y a pas d'ambiguit .

1.2 Repr sentation graphique

(cid:3)

i ,

j

Le plan tant rapport un rep re

(cid:2)

est l'ensemble C f des points de coordonn es

O,

(cid:2)

(cid:3)

x, f (x)

avec x D f .

, la repr sentation graphique de f

Images et images r ciproques d'ensembles

1.3

Soit A D f. L'image de A par f est l'ensemble :

f (A) = { f (x) ; x A} .

Soit B R . L'image r ciproque de B par f est l'ensemble :

1

f (B) = {x D f ; f (x) B} .

Attention ne pas confondre avec la r ciproque d'une bijection. Ici,

on ne suppose rien sur f.

1.4 Restriction, prolongement

Soit f une fonction d finie sur I et g une fonction d finie sur J. Si I J et si

f (x) = g(x) pour tout x de I , on dit que f est une restriction de g, ou que g est

un prolongement de f.

6

9782100549238-fredon-C02.qxd 1/07/10 15:10 Page 7

Fonctions num riques 2

2.

Premi res propri t s

2.1 Parit

" f est paire si

x D f

(x) D f

et f (x) = f (x).

Son graphe est sym trique par rapport (Oy).

" f est impaire si

x D f

(x) D f

et f (x) = f (x) .

Son graphe est sym trique par rapport O.

2.2 P riodicit

f est p riodique, de p riode T (ou T-p riodique), si

x D f

(x + T ) D f

et f (x + T ) = f (x) .

Son graphe est invariant par les translations de vecteurs kT

i avec k Z.

2.3

Sens de variation

" f est croissante sur I si I D f et

x1 I

" f est d croissante sur I si I D f et

x1 I

x2 I

x2 I

x1 < x2 (cid:12) f (x1) (cid:1) f (x2) .

x1 < x2 (cid:12) f (x1) (cid:2) f (x2) .

" f est monotone sur I si elle est croissante sur I , ou d croissante sur I .

" Avec des in galit s strictes, on d finit : f strictement croissante, strictement

d croissante, strictement monotone, sur D f.

2.4

Extremum

" f admet un maximum (resp. minimum) global en x0 si :

x D f

f (x) (cid:1) f (x0)

(resp. f (x) (cid:2) f (x0)).

" f admet un maximum (resp. minimum) local en x0 D f, s'il existe un intervalle

ouvert I D f, tel que :

x I

(resp. f (x) (cid:2) f (x0)).

f (x) (cid:1) f (x0)

Un maximum ou un minimum local est dit extremum local en x0.

Un extremum est un maximum ou un minimum.

.

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A

7

9782100549238-fredon-C02.qxd 1/07/10 15:10 Page 8

2

Fonctions num riques

Fonction lipschitzienne

2.5

f est une fonction lipschitzienne de rapport k, ou klipschitzienne, si :

x D y D

| f (x) f (y)| (cid:1) k |x y| .

Lorsque k < 1, f est dite contractante.

3.

Relation d'ordre

3.1 Comparaison de fonctions

f et g tant deux fonctions, valeurs r elles, d finies sur le m me ensemble de

d finition D, on note f (cid:1) g (resp. f (cid:2) g) si :

x D f (x) (cid:1) g(x)

(resp. f (x) (cid:2) g(x) ).

Si f (cid:2) 0, f est dite positive.

3.2 Majorant, minorant

Si l'ensemble des images f (D) est major , ou minor , ou born , on dit que f est

major e, ou minor e, ou born e.

Si l'image f (I ) de I admet une borne sup rieure, ou une borne inf rieure, on parle

de borne sup rieure, de borne inf rieure, de f sur I et on note :

3.3 Propri t s

f (x)

sup

xI

; inf

xI

f (x).

inf

xI

f (x) = sup

xI

(cid:2)

(cid:3)

f (x)

.

Si, pour tout x I, on a f (x) (cid:1) g(x) , alors sup

xI

f (x) (cid:1) sup

xI

g(x) .

Si I J , on a sup

xI

f (x) (cid:1) sup

xJ

f (x).

4.

Op rations sur les fonctions

4.1 Valeur absolue d'une fonction

f tant d finie sur D, la fonction | f | est d finie sur D par x (cid:4) | f (x)|.

On d finit aussi f + et f sur D par :

f +(x) = sup ( f (x),0)

;

f (x) = sup ( f (x),0) .

On a alors f = f + f et | f | = f + + f .

8

9782100549238-fredon-C02.qxd 1/07/10 15:10 Page 9

Fonctions num riques 2

4.2 Op rations alg briques

Soit f et g deux fonctions num riques et un r el.

La fonction f est d finie sur D f par :

( f ) (x) = f (x).

La fonction f + g est d finie sur D f ) Dg par :

( f + g) (x) = f (x) + g(x) .

La fonction f g est d finie sur D f ) Dg par :

( f g) (x) = f (x) g(x) .

La fonction

f

g

est d finie sur D f ) Dg \ {x ; g(x) = 0} par :

f

g

(x) = f (x)

g(x)

4.3 Composition

On appelle compos e de f par g la fonction, not e g f , d finie sur D f )

par :

(cid:2)

(cid:3)

f (x)

.

(g f ) (x) = g

.

t

i

l

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D

1

f (Dg)

R

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A

9

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Limites : g n ralit s

3

1re ann e

Limites

1.

Soit f une fonction, valeurs r elles, d finie sur un intervalle I contenant au

moins deux points.

1.1

Limite d'une fonction en x0

Soit x0 un point appartenant I , ou extr mit de I . On dit que f admet une limite

finie l en x0, et on note lim

x x0

f (x) = l , si :

> 0 > 0 x I

|x x0| (cid:1) (cid:9) | f (x) l| (cid:1) .

Cette limite peut exister m me si f n'est pas d finie en x0. Mais si f

est d finie en x0 et si lim

x x0

f (x) existe, alors lim

x x0

f (x) = f (x0) .

Si une fonction admet une limite l en x0, cette limite est unique.

Limite gauche, limite droite

1.2

" f admet une limite droite l en x0 si la restriction de f I ) ]x0,+[ admet

pour limite l en x0. On note :

lim

x x +

0

f (x) = l .

" f admet une limite gauche l en x0 si la restriction de f I ) ] ,x0[ admet

pour limite l en x0. On note :

lim

x x

0

f (x) = l .

" Si f est d finie sur un intervalle de la forme ]x0 a,x0 + a[, sauf en x0, alors :

lim

x x0

f (x) = l lim

x x

0

f (x) = lim

x x +

0

f (x) = l .

Si f est d finie en x0, ces deux limites doivent aussi tre gales f (x0).

Limite infinie en x0

1.3

" On dit que f tend vers + quand x tend vers x0 si :

A > 0 > 0 x I

|x x0| (cid:1) (cid:9) f (x) (cid:2) A .

On note : lim

x x0

f (x) = + .

" On dit que f tend vers quand x tend vers x0 si :

10

9782100549238-fredon-C03.qxd 1/07/10 15:10 Page 11

Limites : g n ralit s 3

A > 0 > 0 x I

|x x0| (cid:1) (cid:9) f (x) (cid:1) A .

On note : lim

x x0

f (x) = .

1.4

Limite de f lorsque x tend vers + ou

" On dit que f a pour limite l quand x tend vers + si :

> 0 B > 0 x I

x (cid:2) B (cid:9) | f (x) l| (cid:1) .

On note :

lim

x +

f (x) = l .

On d finit de mani re analogue lim

x

f (x) = l .

" On dit que f tend vers + quand x tend vers + si :

A > 0 B > 0 x I

x (cid:2) B (cid:9) f (x) (cid:2) A .

On note :

lim

x +

f (x) = + .

On d finit de mani re analogue lim

x

f (x) = + . . .

2.

Propri t s des limites

2.1 Propri t s li es l'ordre

" Si f admet une limite finie en x0, alors f est born e au voisinage de x0.

" Si f admet une limite finie l > 0 en x0, alors il existe a > 0 tel que f (cid:2) a au

voisinage de x0.

" Si f est positive au voisinage de x0 et admet une limite finie l en x0, alors l (cid:2) 0.

g(x) = m , alors l (cid:1) m.

" Si f (cid:1) g au voisinage de x0, et si lim

x x0

f (x) = l et lim

x x0

" Th or me d'encadrement (ou des gendarmes, ou sandwich)

Soit f, g et h trois fonctions d finies au voisinage de x0, et v rifiant f (cid:1) g (cid:1) h

au voisinage de x0.

Si f et h ont la m me limite l (finie ou infinie) en x0, alors g a pour limite l en x0.

" Soit f et g deux fonctions d finies au voisinage de x0, et v rifiant f (cid:1) g au voi-

sinage de x0.

Si lim

x x0

f (x) = + , alors lim

x x0

g(x) = + .

Si lim

x x0

g(x) = , alors lim

x x0

f (x) = .

.

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i

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A

11

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3

Limites : g n ralit s

2.2 Op rations alg briques

Soit f et g deux fonctions d finies au voisinage de x0 et admettant des limites l et

m en x0, et un r el.

Alors les fonctions f + g, f et f g admettent respectivement pour limites en x0 :

l + m, f et lm.

Si de plus m =/ 0 ,

1

g

a pour limite

1

m

2.3

Fonction compos e

" Soit f une fonction d finie au voisinage de x0 avec lim

x x0

au voisinage de u0 telle que lim

u u0

g(u) = v .

f (x) = u0 et g d finie

Alors g f est d finie au voisinage de x0 et lim

x x0

g( f (x)) = v .

" Image d'une suite convergente

Soit f d finie sur un intervalle I et a un point de I .

f a pour limite l au point a si, et seulement si, pour toute suite (xn) convergeant

vers a, la suite

converge vers l, finie ou non.

(cid:3)

f (xn)

(cid:2)

Pour d montrer qu'une fonction f n'a pas de limite lorsque x tend

vers a, il suffit de fournir un exemple de suite (xn) qui tende vers a

et telle que

soit divergente.

(cid:3)

f (xn)

(cid:2)

2.4 Cas des fonctions monotones

Soit f une fonction monotone sur ]a,b[. Elle admet en tout point x0 de ]a,b[ une

limite droite et une limite gauche.

Lorsque f est croissante, si elle est major e, elle admet en b une limite gauche

finie, si elle n'est pas major e, elle tend vers + quand x tend vers b.

Pour f d croissante, on a la propri t analogue en a.

12

9782100549238-fredon-C04.qxd 1/07/10 15:11 Page 13

Limites :

comparaisons locales

4

1re ann e

1.

Comparaison au voisinage d'un point

Soit f et g deux fonctions d finies sur I , et x0 un point, fini ou infini, appartenant

I , ou extr mit de I .

1.1 D finitions

" On dit que f est domin e par g au voisinage de x0 s'il existe A > 0 tel que

| f (x)| (cid:1) A |g(x)| pour tout x d'un voisinage J de x0.

notation :

f = O(g) .

Si g ne s'annule pas sur J, cela signifie que

f

g

est born e sur J.

" On dit que f est n gligeable devant g, ou que g est pr pond rant devant f, au

voisinage de x0 si, pour tout > 0 , il existe un voisinage J de x0 tel que l'on

ait | f (x)| (cid:1) |g(x)| pour tout x de J.

notation :

f = o(g).

Si g ne s'annule pas au voisinage de x0, cela signifie :

(cid:2)

(cid:3)

f (x)

g(x)

lim

x x0

= 0 .

" On dit que f et g sont quivalentes au voisinage de x0, si on a f g = o(g).

Si g ne s'annule pas au voisinage de x0, cela signifie :

(cid:2)

(cid:3)

f (x)

g(x)

lim

x x0

= 1 .

notation :

f < g ou f <

x0

g .

La relation <

x0

est transitive. Si on sait que f <

x0

g et g <

x0

h, on en d duit que f <

x0

h.

1.2

Exemples fondamentaux

Au voisinage de + , on a :

(ln x) = o(x )

et

x = o(e x )

o > 0 , > 0 ,

> 0.

.

t

i

l

d

n

u

t

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4

Limites : comparaisons locales

Au voisinage de 0, on a :

|ln x| = o(x )

o > 0

et

< 0 .

1.3 Propri t s des fonctions quivalentes

Si f1 <

x0

Si f <

x0

g1 et f2 <

x0

g2, alors f1 f2 <

x0

g1g2 et

g et si lim

x x0

g(x) = l , alors lim

x x0

f1

g1

<

f2

g2

x0

f (x) = l .

Des deux th or mes pr c dents, il r sulte que, lorsque l'on a cher-

cher la limite d'un produit ou d'un quotient, on peut remplacer cha-

cune des fonctions par une fonction quivalente, choisie pour sim-

plifier le calcul.

Mais attention ne pas effectuer un tel remplacement dans une

somme, ni dans une fonction compos e.

1.4

quivalents classiques

ex 1 <

0

x

ln(1 + x) <

0

x

;

;

x

sin x <

0

tan x <

0

x

;

;

2.

Branche infinie d'une courbe

1 cos x <

0

x 2

2

(1 + x) 1 <

0

;

x.

2.1 D finition

La courbe repr sentative C f d'une fonction f admet une branche infinie lorsque

O M tend vers l'infini avec M C f.

2.2 Asymptote

f (x) = l (resp. lim

x

f (x) = l ), la droite y = l est une asymptote hori-

Si lim

x +

zontale de C f.

Si lim

x x0

tote verticale de C f.

(cid:4)

f (x) = + (resp. lim

x x0

f (x) = ), la droite x = x0 est une asymp-

(cid:5)

f (x) (ax + b)

lim

x +

lim

Si

x

y = ax + b est une asymptote oblique de C f.

= 0 (resp.

(cid:4)

(cid:5)

f (x) (ax + b)

= 0 ), la droite

14

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Limites : comparaisons locales 4

2.3 Branche parabolique

Soit f admettant une limite infinie en + (resp. ).

Si

f (x)

x

branche parabolique verticale.

admet une limite infinie en + (resp. ), la courbe C f pr sente une

f (x)

x

admet une limite finie a lorsque x tend vers + (resp. ) et si

Si

f (x) ax a une limite infinie, la courbe C f pr sente une branche parabolique de

pente a.

.

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Continuit

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1re ann e

1.

Continuit en un point

" f est continue en x0 si elle est d finie en x0 et si lim

x x0

f (x) = f (x0) .

" f est continue droite (resp. gauche) en x0 si lim

x x +

0

f (x) = f (x0) ).

lim

x x

0

f (x) = f (x0) (resp.

" Prolongement par continuit

Soit f une fonction d finie sur I et x0 / I. Si lim

x x0

f (x) = l , la fonction f d finie

sur I * {x0} par f (x0) = l et f (x) = f (x) pour x I, est la seule fonction conti-

nue en x0 dont la restriction I soit f. On l'appelle le prolongement par conti-

nuit de f en x0.

2.

Continuit sur un intervalle

" Soit E un ensemble qui soit un intervalle ou une r union d'intervalles. Une

fonction f, d finie sur E, est dite continue sur E, si f est continue en tout point

de E.

" L'ensemble C(I ) des fonctions continues sur I constitue une alg bre, c'est- -

dire que, si f et g sont des l ments de C(I ) et un r el, les fonctions f + g,

f g et f appartiennent C(I ), et les op rations ainsi d finies poss dent toutes

les propri t s alg briques qui caract risent la structure que l'on appelle une

alg bre (cf. fiche. 44).

3.

Image d'un intervalle

Th or me des valeurs interm diaires

3.1

Si f est continue sur un intervalle I , alors f (I ) est un intervalle.

Image d'un intervalle ferm

3.2

Si f est continue sur un intervalle ferm I , alors f (I ) est un intervalle ferm .

En particulier, si une fonction f est continue sur , et si f (a) et f (b) sont de

signe contraire, l' quation f (x) = 0 admet au moins une solution dans .

16

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Continuit 5

3.3 Cas d'une fonction strictement monotone

Soit f une fonction continue et strictement croissante (resp. d croissante) sur un

intervalle I .

f est une bijection de I sur f (I ), et sa bijection r ciproque f 1 est continue et

strictement croissante (resp. d croissante) sur l'intervalle f (I ).

Dans un rep re orthonorm , les graphes de f et de f 1 sont sym triques par rap-

port la premi re bissectrice des axes.

.

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Fonctions d rivables

6

1re ann e

1.

D finitions

1.1 D riv e en un point

Soit f une fonction d finie sur D et x0 un l ment de D tel que f soit d finie au

voisinage de x0. On appelle d riv e de f au point x0 le nombre (lorsqu'il existe) :

lim

x x0

f (x) f (x0)

x x0

= lim

h 0

f (x0 + h) f (x0)

h

= f (cid:6)(x0) .

On dit alors que f est d rivable en x0.

Si lim

x x +

0

f (x) f (x0)

x x0

existe, f est dite d rivable droite en x0, et cette limite est

appel e d riv e droite de f en x0, et not e f (cid:6)

d

On d finit de m me la d riv e gauche en x0, not e f (cid:6)

g

(x0).

(x0).

f est d rivable en x0 si, et seulement si, f admet en x0 une d riv e droite et une

d riv e gauche gales.

1.2

Fonction d riv e

f est dite d rivable sur E, si elle d rivable en tout point de E.

On appelle fonction d riv e de f sur E, la fonction, not e f (cid:6), d finie sur E par :

x (cid:7) f (cid:6)(x).

1.3 D riv es successives

Soit f d rivable sur E. Si f (cid:6) est d rivable sur E, on note sa fonction d riv e f (cid:6)(cid:6) ou

f (2). On l'appelle d riv e seconde de f.

Pour n entier, on d finit par r currence la d riv e n-i me, ou d riv e d'ordre n, de

f en posant f (0) = f, puis f (n) = ( f (n1))(cid:6), lorsque f (n1) est d rivable sur E.

f est dite de classe Cn sur E si f (n) existe sur E, et est continue sur E.

f est dite de classe C, ou ind finiment d rivable, si f admet des d riv es de tous

ordres.

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Fonctions d rivables 6

1.4

Interpr tation graphique

f d rivable en x0 signifie que le graphe de f admet au point d'abscisse x0 une tan-

gente de pente f (cid:6)(x0). Son quation est :

y f (x0) = f (cid:6)(x0) (x x0).

Si lim

x x0

f (x) f (x0)

x x0

= , f n'est pas d rivable en x0, mais le graphe de f

admet au point d'abscisse x0 une tangente parall le Oy.

1.5 D rivabilit et continuit

Toute fonction d rivable en x0 est continue en x0.

Attention, la r ciproque est fausse. Par exemple, la fonction x (cid:7) |x|

est continue, et non d rivable, en 0, car elle admet une d riv e gau-

che et une d riv e droite diff rentes.

2.

Op rations sur les fonctions d rivables

2.1 Op rations alg briques

Si f et g sont d rivables en x0, il en est de m me de f + g, de f g, et de

g(x0) =/ 0 ; et on a :

f

g

si

( f + g)(cid:6)(x0) = f (cid:6)(x0) + g(cid:6)(x0)

( f g)(cid:6)(x0) = f (cid:6)(x0)g(x0) + f (x0)g(cid:6)(x0)

(cid:3)(cid:6)(x0) = f (cid:6)(x0)g(x0) f (x0)g(cid:6)(x0)

(cid:2) f

g

g2(x0)

2.2

Fonction compos e

Soit f une fonction d rivable en x0 et g une fonction d rivable en f (x0), alors

g f est d rivable en x0, et

(g f )(cid:6)(x0) = g(cid:6)( f (x0)) f (cid:6)(x0) .

2.3 D riv e d'une fonction r ciproque

Soit f une fonction continue strictement monotone sur un intervalle I . On suppose

que f est d rivable en f (x0) et que f (cid:6)(x0) =/ 0 .

Alors, la fonction r ciproque f 1 est d rivable en f (x0) et

.

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