Sciences Industrielles
TD 1 - Enonc
D riv e vectorielle
TD1 nonc : D riv e Vectorielle
1. BRAS MANIPULATEUR : LES DONNEES.
1.1. Pr sentation sch matique du bras manipulateur.
Le syst me m canique est constitu dun robot 0et de trois solides 1, 2, 3. La repr sentation
sch matique est donn e ci-dessous.
y3
D
3
C
y1
x2
z0
1
A
0
y1
2
x1
B
x0
Cette repr sentation est appel e sch ma cin matique du bras manipulateur. Ce sch ma est enrichi du :
" Rep rage : chaque solide a t affect un rep re orthonorm direct.
" Param trage : chaque rep re d fini lors du rep rage doit tre positionn par rapport un (ou
plusieurs) autre (s) .
Les param tres mis en vidence seront appel s mobilit s du syst me m canique. Ici, pour
pouvoir animer le syst me, il est n cessaire de dispos de trois moteurs. Cest pourquoi, m=3
t
),(
(
cin matique.
Les positions, les vitesses et les acc l rations d finissant la cin matique, seront donc exprim e
en fonction
) d fini le nombre de param tres juste n cessaire pour d finir toute la
et leur d riv e premi re ou seconde par rapport au temps.
)(et
t
t
)(,)(
t
t
),(
t
)(
1.2. Passage progressif dune r alit vers une mod lisation du point de vue de la
cin matique.
Une repr sentation structurelle de ce syst me sous forme de Graphe de structure (ou de liaison) est tr s
utile lors dune analyse m canique dun m canisme.
1.2.1. Graphe des structures (ou de liaisons)
rrr
,
zyxR
,
)
0
00
(
0
rrr
),
zyxR
,(
1111
L01
0
1
L12
rrr
),
zyxR
,(
2222
2
L23
rrr
,(
zyxR
),
3333
3
" Les ronds de couleur repr sentent les sommets du graphe et mod lisent des solides
(ind formables). Chaque solide est affect un rep re orthonorm direct.
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la consultation individuelle et priv e sont interdites.
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D riv e vectorielle
" Les traits noirs sont appel s : arcs du graphe et mod lisent les contacts entre les diff rents
solides composant le m canisme.
Ces arcs sont mod lis s par des liaisons qui d finissent la cin matique entre les deux solides
reli s.
01zA r
,(
)
L01 : Liaison pivot daxe
12yB r
L12 : Liaison pivot daxe
,(
)
23xC r
,(
L23 : Liaison pivot daxe
)
r = . Cette notation est tr s utile lors des calculs de
r
r = et
r
r = ,
r
x
2 x
z
0 z
1 y
y
Le double indice indique que :
1
2
3
d riv es vectorielles des vecteurs unitaires.
1.3. D finition de la g om trie juste n cessaire pour tudier la cin matique du bras
manipulateur
En reprenant le graphe de structure :
rrr
,
zyxR
,
0
00
(
0
)
rrr
),
zyxR
,(
1111
L01
0
1
L12
rrr
),
zyxR
,(
2222
L23
2
rrr
,(
zyxR
),
3333
3
D
Liaison pivot
d'axe A,z01
Liaison pivot
d'axe B,y12
Liaison pivot
d'axe C,x23
Les points A, B, C et D sont indiqu s sur le graphe de structure. Le point D est un point d fini sur le
solide 3. les points A, B, C sont des points li s aux caract ristiques des liaisons identifi es dans le
m canisme. On appelle aussi ces points (A, B, C) les points id aux associ s aux liaisons.
Il est donc n cessaire de les positionner relativement les uns par rapport aux autres.
CD
Quatre points nous donnent au minimum trois vecteurs :
BC
AB
;
=
=
=
r
xh
;
.
1
r
xd
.
23
r
yL
.
3
2. QUESTIONS
2.1. Repr senter graphiquement
le rep rage relatif des diff rents rep res
intervenants dans la mod lisation du bras manipulateur et donner lexpression
des vecteurs rotations :
&
&
,
0/1
RR
&
,
1/2
,
23
RR
RR
Cette repr sentation plane doit tre d finie comme ci-dessous (voir cours sur les d riv es vectorielles)
y1
y0
x1
x0
A
z1
z0
Dans un mouvement en rotation autour de laxe
r
z
par rapport au rep re
r
x
rep re
que langle est d fini par
10 xx rr
),
(
, le vecteur
(1
r
y
R
)
,
,
1
1
1
du
(A,
10zr
)
rrr
zyxR
,
,
)
0
0
0
(0
, tel
rotation
&
RR
0/1
&
=
z
10
.
Remarques : en g n ral, le premier travail r aliser en cin matique (rechercher de vitesses ou
acc l rations) se traduit par la d termination des vecteurs rotations pour se donner la possibilit de
d river par rapport au temps.
2.2. D terminer la vitesse
V
0/1
RRB
=
ABd
dt
R
0
en d rivant le vecteur
AB .
Remarque : A est un point li au solide 0 et B est un point li au solide 1.
2.3. D terminer la vitesse
V
1/2
RRC
=
BCd
dt
1
R
en d rivant le vecteur
BC .
Remarque : B est un point li au solide 1 et C est un point li au solide 2 et
&
RR
1/3
&=
&+
.
1/2
RR
2/3
RR
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2.4. D terminer la vitesse
D riv e vectorielle
=
CDd
dt
2
R
en d rivant le vecteur
CD .
V
RRD
2/3
Remarque : C est un point li au solide 2 et D est un point li au solide 3 .
2.5. D terminer la vitesse
V
0/2
RRC
=
ACd
dt
R
0
en d rivant le vecteur
AC .
Remarque : A est un point li au solide 0 et C est un point li au solide 2.
2.6. D terminer la vitesse
V
RRD
0/3
=
ADd
dt
0
R
en d rivant le vecteur
AD .
Remarque : A est un point li au solide 0 et D est un point li au solide 3 .
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TD 1 - Corrig
D riv e vectorielle
TD1 corrig : D riv e Vectorielle
1. R PONSES AUX QUESTIONS ET CONSEILS....................................................................... 1
1.1. REPONSES A LA QUESTION 2-1................................................................................................. 1
1.2. REPONSES A LA QUESTION 2-1................................................................................................. 1
Advertisement
1.3. REPONSES A LA QUESTION 2-2................................................................................................. 2
1. R PONSES AUX QUESTIONS ET CONSEILS.
1.1. R ponses la question 2-1
- Liaison pivot daxe
(A,
y1
y0
A
z1
z0
10zr
)
x1
x0
- Liaison pivot daxe
(B,
12yr
)
rep re
Dans un mouvement en rotation autour de laxe
rrr
zyxR
,
,
)
0
0
0
&
par rapport au rep re
rrr
zyxR
),
,(1
111
)(t est d fini par
, le vecteur rotation
(0
10 xx rr
),
(
RR
0/1
&
=
z
10
.
(A,
10zr
)
du
, tel que langle
z2
rep re
rrr
zyxR
,
,
)
2
2
2
Dans un mouvement en rotation autour de laxe
rrr
,(1
),
zyxR
111
&
par rapport au rep re
1 xx rr
,(
)(t est d fini par
, le vecteur rotation
)
23
RR
(2
1/2
(B,
=
&
y
12
.
12yr
)
du
, tel que langle
x1
x23
B
y12
z01
x
)
23
Liaison pivot daxe
(C,
z3
z2
y3
y12
C
x23
rep re
Dans un mouvement en rotation autour de laxe
rrr
,
,
)
zyxR
22
2
&
par rapport au rep re
rrr
zyxR
,(3
),
33
3
)(t est d fini par
, le vecteur rotation
(2
(
yy
,
)
12
3
RR
2/3
(C,
, tel que langle
x
)
23
du
x
23
&
=
.
1.2. R ponses la question 2-1
la vitesse
V
RRB
0/1
=
ABd
dt
R
0
en d rivant le vecteur
AB .
Remarque : A est un point li au solide 0 et B est un point li au solide 1.
Conseil important : Ecrire le vecteur
AB
= ua
.
un l ment des bases mises en vidence,
AB le plus simplement du monde. Cest dire de la forme :
u un vecteur pouvant tre gal
rrr
,(3
(2
),
zyxR
3
33
rrr
,
,
)
zyxR
2
2
2
rrr
,
,
)
zyxR
0
0
0
rrr
),
zyxR
,(1
111
lors du
(0
,
,
,
tel que a soit un scalaire (d pendant ou non du temps) et
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AB
=
1.xh
param trage et du rep rage. Ici
dans quel rep re projeter le vecteur r sultat.
=
h
ABd
dt
=
do
RRB
0/1
V
R
0
xd
1
dt
R
0
&=
h
RR
0/1
'
x
1
'
=
.
h
z
x
&
1
01
.
yh
&
12
=
. En agissant ainsi, vous ne vous poserez pas la question :
V
RRB
0/1
=
ABd
dt
R
0
=
&
.yh
12
Projeter dans un autre rep re serait une nerie et une perte de temps inutile.
1.3. R ponses la question 2-3
La vitesse
V
RRC
1/2
=
BCd
dt
R
1
en d rivant le vecteur
BC .
Remarque : B est un point li au solide 1 et C est un point li au solide 2.
En respectant le conseil donner la r ponse la question 2-1,
=
d
.
BCd
dt
=
do
RRC
1/2
V
R
1
=
.xd
23
BC
xd
23
dt
R
1
.
d
xd
23
dt
R
1
&=
d
Advertisement
RR
1/2
'
x
23
=
d
.
&
'
y
x
12
23
=
.
zd
&
2
ou
.
d
xd
23
dt
R
1
&=
d
RR
1/3
'
x
23
=
d
x
23
+
&
.
&
y
12
x
23
'
=
zd
.
&
2
avec
&
RR
1/3
&=
&+
RR
2/3
RR
1/2
En regardant les indices, vous voyez tr s vite que le plus simple est de projeter
&
.
'
y
x
12
23
=
0
&
'
1
0
2
R
0
2
R
0
ou
x
23
+
&
&
.
y
12
x
23
'
=
&
&
'
1
0
R
02
2
R
0
dans R2.
V
RRC
1/2
=
BCd
dt
R
1
=
&
.zd
2
Projeter dans un autre rep re serait une nerie et une perte de temps inutile.
1.4. R ponses la question 2-4
La vitesse
V
RRD
2/3
=
CDd
dt
R
2
en d rivant le vecteur
CD .
Remarque : C est un point li au solide 2 et D est un point li au solide 3 .
En respectant le conseil donner la r ponse la question 2-1,
L
.
CDd
dt
=
do
RRD
2/3
V
=
R
2
=
3.yL
CD
yd
3
dt
R
2
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D riv e vectorielle
L
.
yd
3
dt
R
2
&=
L
.
RR
2/3
'
x
23
=
L
.
'
x
y
23
3
.
&
=
zL
.
&
3
En regardant les indices, vous voyez tr s vite que le plus simple est de projeter
'
.
x
y
&
23
3
=
&
0
'
0
1
3
R
0
3
R
0
dans R3.
V
RRD
2/3
=
CDd
dt
R
2
=
&
.zL
3
Projeter dans un autre rep re serait une nerie et une perte de temps inutile.
1.5. R ponses la question 2-5
ACd
dt
=
D terminer la vitesse
RRC
0/2
V
en d rivant le vecteur
AC .
R
0
Remarque : A est un point li au solide 0 et C est un point li au solide 2.
En respectant le conseil donner la r ponse la question 2-1,
+
ACd
dt
=
.
h
dx
Advertisement
1
dt
=
do
RRC
0/2
V
R
0
AC
d
=
xd
23
dt
+
BC
=
xh
.
1
+
xd
.
23
AB
R
0
R
0
h
xd
1
dt
&=
h
R
0
&
RR
0/2
RR
0/1
'
x
1
'
=
.
h
z
x
&
1
01
.
yh
&
12
=
&=
&+
RR
1/2
RR
0/1
=
&
.
.
y
z
&
12
01
+
.
d
xd
23
dt
R
0
&=
d
RR
0/2
'
x
23
=
d
.
.
.
y
z
&
&
12
01
+
x
23
'
=
d
.
&
.
.
y
z
&
12
01
+
x
23
'
=
d
0
cos
.
&
'
0
1
R
&
1
R
sin
V
RRC
0/2
=
ACd
dt
R
0
=
yh
.
&
12
+
d
+
&
.
x
.
.
cos
1
.
cos
&
y
12
&
sin.
z
.
.
10
1.6. R ponses la question 2-6
ADd
dt
=
D terminer la vitesse
RRD
0/3
V
en d rivant le vecteur
AD .
R
0
Remarque : A est un point li au solide 0 et D est un point li au solide 3 .
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En respectant le conseil donner la r ponse la question 2-1,
ADd
dt
=
.
h
dx
1
dt
=
do
RRD
0/3
V
+
d
R
0
=
AD
xd
23
dt
CD
=
+
+
xdxh
.
.
1
23
+
yL
.
3
AB
.
L
+
BC
yd
3
dt
+
R
0
R
0
R
0
h
xd
Advertisement
1
dt
R
0
&=
h
RR
0/1
'
x
1
'
=
.
h
z
x
&
1
01
.
yh
&
12
=
&
RR
0/2
&=
&+
RR
1/2
RR
0/1
=
&
.
.
y
z
&
12
01
+
d
.
xd
23
dt
R
0
&=
d
RR
0/2
'
x
23
=
d
.
&
.
.
y
z
&
12
01
+
x
23
'
=
d
.
&
y
z
.
.
&
12
01
+
x
23
'
=
d
0
cos
.
&
'
0
R
1
&
R
1
sin
&
&=
&+
&+
RR
2/3
RR
1/2
RR
0/1
=
.
x
&
23
+
&
.
.
y
z
&
12
01
+
&=
L
RR
0/3
'
x
23
=
L
.
.
x
&
23
+
&
.
.
z
y
&
01
12
+
x
23
'
=
xd
23
dt
L
.
RR
0/3
R
0
L
.
x
.
&
23
+
&
y
z
.
.
&
12
01
+
'
x
23
=
.
R
do
.
cos
&
cos
&
'
0
sin.
1
&
&
R
1
sin
=
ADd
dt
R
0
(
=+
d
&
&
.
L
.
cos
sin
)
(
+
hx
1
)
+
.
cos
&
.
cos
&
sin.
&
(
L
+
d
&
.
+
.
&
L
.
cos
)
y
sin
12
(
+
d
.
&
&
sin.
L
+
cos
)
z
.
10
V
RRD
0/3
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