III. Dérivation
Définition :
x(t) est une fonction sommable et dérivable. Nous pouvons écrire :
∫ [ ]
∫
) - x(
) ] (t - a )x'(t)
x(t) est sommable et (t) D est non nulle sur un intervalle borné
()=0.
Toujours par généralisation, nous définissons une dérivée généralisée :
T' , - T , '
est une fonction test ’ l’est aussi et la dérivée est ainsi bien définie.
Cette dérivée généralisée peut s’écrire à l’ordre n :
, T ,
x fonction C1 par morceaux ayant des discontinuités de première espèce
aux
points t={an} :
[x(t)]'= [x(
Propriétés de la dérivation :
P1 : < (T+S)’ , > = - < T+S , ’ > = - < T , P1 :(T+S)’ = T’ + S’
P2 : x étant une fonction C(x.T)’ = x.T’ + x’.T
P3 :[T(at)]’ = a T’
Cas particulier a=-1: [T(-t)]’ = -T’ Si T est pair, T’ est impair. Si T est impair
T’ est pair.
P4 :[ T(t-a) ]’ = T’(t-a)
pour p>q
IV. Convergences dans D’ :
Généralisation à toute distribution :
Convergence : Soit Tn une suite de distributions.
Si pour n +,D,< Tn , >< T , >,alors Tn a pour limite T
lorsque n+.
Limite : Soit Tn une suite de distributions.
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Si pour n a,D,< Tn , >< Ta , >, alors Tn a pour limite Ta
lorsque na.
Convergence d’une famille de fonctions :
xn , n N , converge vers T au sens des distributions si la suite des
distributions associées à xn tend vers T lorsque n +.
xn , n R , xn a pour limite au sens des distributions Ta lorsque n a si la
suite des distributions associées à xn tend vers T lorsque n a.
Les distributions
I.Espace D des fonctions test :
c’est l’espace D des fonctions test.
Fonction test :
Une fonction test est une fonction indéfiniment dérivable nulle hors d’un
segment (chaque fonction test a son segment particulier).
D(R) = { : R C , C, sup() bornée }
Théorème 1 :et D
a + b D.
.D.
D.
’ D.
(n) D.
Définition des distributions :
Définition :
Une distribution est une application linéaire continue sur D qui
associe à un scalaire (fonctionnelle) noté :
T() = <T , >.
La propriété de linéarité est importante, rappelons qu’elle implique :
T(1 1 + 2 2) = 1 T(1) + 2 T(2).
lim T(n) T() si lim n
limite dans D limite dans R
Distribution régulière :
T est régulière s’il existe une fonction x(t) sommable sur tout segment telle
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que :
∫
Distribution singulière :
Il n’existe pas de fonction sommable x(t) à laquelle associer la distribution
Ensemble des distributions :
Cet ensemble est noté D’.
La propriété principale est donc : si T() = S() pour tout D alors les
deux distributions T et S sont identiques.
Pour les notations nous avons vu que T() = <T , >.
Pour une distribution régulière associée à x nous avons toutes les
notations équivalentes:
T() = Tx() = <Tx , > = <x , >. La dernière expression rappelle que,
dans ce cas, la fonctionnelle est une intégrale et que cette intégrale est
aussi un produit scalaire.
Exemples de distributions :
Echelon d’Heaviside :
En mathématiques noté Y(t), en sciences de l’ingénieur noté u(t),1(t),e(t)
C’est une distribution régulière et sa fonctionnelle est :
∫
Constante K :
C’est une distribution régulière et sa fonctionnelle est :
∫
Distribution de Dirac :
Définition :
Nous avons plusieurs notations équivalentes :
T() = a() = (a) = < (t-a) , (t) > = (a)
C’est une distribution singulière
Peigne de Dirac :
Il s’agit d’une distribution de première importance dans la théorie des
signaux discrets.
=K∫
=∫
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∑
Le traitement de signal utilise plus volontiers les notations :
(t
Signal discret :
Un signal discret est un signal dont on ne connaît les valeurs qu’à certains
instants. Mathématiquement ce signal est donc un tableau de chiffres
{x(ti)}. Une forme plus adéquate de modélisation de ce signal consiste à
utiliser le peigne de Dirac en le pondérant par les valeurs des échantillons
du signal :
II. PROPRIETES ELEMENTAIRES :
Somme :
Soit x et y deux fonctions sommables, la distribution régulière associée est
telle que :
∫
Cette propriété est généralisée aux distributions singulières :
Multiplication par une constante :
R et x est une fonction sommable :
∫ ∫
Soit en généralisant aux distributions :
T , T ,
Translation :
a R et x est une fonction sommable :
∫ ∫
Soit en généralisant aux distributions :
T(t a) , (t) T(t) , (t a)
(t+a) est obtenu par translation d’une fonction test, c’est aussi une
fonction test.
Dans le cas particulier de la distribution ce résultat devient :
< (t-a) , (t) > = < (t) , (t+a) > = (a)
Distribution périodique :
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Par définition, une distribution de période est telle que T(t-) = T(t).
Une fonction sommable de période définit une distribution régulière de
même période.
soit T(t-) = T(t). Le peigne de Dirac est donc une distribution périodique.
Facteur d’échelle :
k R et x est une fonction sommable :
∫
∫
| |
| |
| |
| |
| |
(t/k) est bien toujours une fonction test et le résultat se généralise aux
distributions :
=
| |
Distribution paires ou impaires :
Distribution paire : T(-t) = T(t). Distribution impaire : T(-t) = -T(t).
La distribution de Dirac et le peigne de Dirac sont deux distributions paires.
Produit d’une distribution par une fonction C:
Pour tout T D’ et y(t) de classe C, le produit (y.T) existe et est défini par
y.T , T , y.
y(t) . (t-a) = y(a) . (t-a)
échantillonner multiplier par un peigne de Dirac.
P1 :(x+y)T = xT + yT
P2 : (x.T)(t-a) = x(t-a).T(t-a)
P3 : (x.T)(-t) = x(-t).T(-t)