R publique Tunisienne
Minist re de lEnseignement Sup rieur, de la Recherche Scientifique et de la
Technologie
Universit El Manar
1 ߎ ' * '1 J ' '
Institut Pr paratoire aux Etudes dIng nieurs El Manar
Kamel MEHDI & Sihem ZAGHDOUDI
Cours et Exercices de
R sistance des
Mat riaux
Classes Pr paratoires aux Etudes dIng nieurs
2 mes ann es PT
Janvier 2011
Avant-propos
Ce support de cours et ces applications sont destin s aux tudiants des 2 mes ann es du cycle
pr paratoire aux tudes ding nieurs. Ils sont labor s conform ment au programme officiel fix par le
Minist re de lEnseignement Sup rieur, de la Recherche Scientifique et de la Technologie (R publique
Tunisienne).
Les bases th oriques de ce support figurent dans de nombreux ouvrages de R sistance des Mat riaux.
Une s lection dexercices est fournie la fin de ce document. Ces exercices constituent des sujets
dexamen et des devoirs surveill s que nous avons propos s aux tudiants lI.P.E.I. El Manar (2002-2010)
Kamel MEHDI & Sihem ZAGHDOUDI
Cours et Exercices de R sistance des Mat riaux
i
K. MEHDI & S. ZAGHDOUDI janvier 2011
TABLE DES MATIERES
II.
III.
III.1.
I.2.1.
I. LES HYPOTHESES DE LA RESISTANCE DES MATERIAUX........................................................... 1
I.1.
BUT DE LA RESISTANCE DES MATERIAUX ................................................................................................. 1
I.2. HYPOTHESES GENERALES ........................................................................................................................ 1
Hypoth ses sur les mat riaux.......................................................................................................... 1
GENERALITES SUR LES POUTRES .................................................................................................. 1
II.1. DEFINITION DUNE POUTRE ...................................................................................................................... 1
II.2. HYPOTHESE SUR LES POUTRES ................................................................................................................. 2
II.3. PARAMETRAGE DE LA POUTRE ................................................................................................................. 2
II.4. HYPOTHESES SUR LES EFFORTS EXTERIEURS............................................................................................ 3
II.5. DOMAINE DE VALIDITE DE LA RESISTANCE DES MATERIAUX .................................................................... 3
PROPRIETES GEOMETRIQUES DUNE SECTION DROITE........................................................ 3
CENTRE DE SURFACE OU CENTRE DE GRAVITE DUNE SURFACE PLANE................................................. 3
D finition : .................................................................................................................................. 3
D finition .................................................................................................................................... 4
III.2. MOMENT QUADRATIQUE DUNE SURFACE PLANE PAR RAPPORT A UN AXE........................................... 4
D finition .................................................................................................................................... 4
III.3. MOMENT QUADRATIQUE POLAIRE....................................................................................................... 5
IV. TORSEUR DES EFFORTS INTERIEURS ........................................................................................... 6
DEFINITION DU TORSEUR DES EFFORTS INTERIEURS ............................................................................. 6
COMPOSANTES DES ELEMENTS DE REDUCTION EN G DU TORSEUR DES EFFORTS DE COHESION............. 7
IV.2.1. D finition du rep re local li la section droite (S)....................................................................... 7
IV.2.2. Composantes des l ments de r duction du torseur des efforts de coh sion dans le rep re local . 7
RELATION ENTRE EFFORT TRANCHANT ET MOMENT DE FLEXION.......................................................... 9
DEFINITION DES SOLLICITATIONS SIMPLES ......................................................................................... 10
NOTIONS SUR LES CONTRAINTES ................................................................................................ 11
III.1.1.
III.1.2.
IV.1.
IV.2.
IV.3.
IV.4.
III.2.1.
V.
I. DEFINITION .............................................................................................................................................. 12
II.
ESSAI DE TRACTION .......................................................................................................................... 13
II.1. TUDE EXPERIMENTALE : COURBE CONTRAINTE - DEFORMATION ........................................................ 13
II.2. CARACTERISTIQUES MECANIQUES ......................................................................................................... 13
III. ETUDE DES DEFORMATIONS .......................................................................................................... 14
IV. CONTRAINTE DANS UNE SECTION DROITE............................................................................... 14
V.
CONDITION DE RESISTANCE .......................................................................................................... 14
VI. ALLONGEMENT (OU RACCOURCISSEMENT) L DUNE POUTRE DE LONGUEUR L.... 15
VII. NOTION DE CONCENTRATION DE CONTRAINTES .................................................................. 15
I. DEFINITION .............................................................................................................................................. 16
II.
ETUDE DES DEFORMATIONS .......................................................................................................... 16
III. ETUDE DES CONTRAINTES.............................................................................................................. 17
IV. CONDITION DE RESISTANCE .......................................................................................................... 17
Cours et Exercices de R sistance des Mat riaux
ii
K. MEHDI & S. ZAGHDOUDI janvier 2011
IV.1.
IV.2.
CARACTERISTIQUES DES MATERIAUX EN CISAILLEMENT.................................................................... 17
CONDITION DE RESISTANCE ............................................................................................................... 18
I. DEFINITION .............................................................................................................................................. 19
II.
ESSAI DE TORSION SIMPLE............................................................................................................. 20
III. ETUDE DES DEFORMATIONS .......................................................................................................... 20
IV. ETUDE DES CONTRAINTES.............................................................................................................. 21
V.
CONDITION DE RESISTANCE .......................................................................................................... 22
V.1. RELATION ENTRE CONTRAINTE ET MOMENT DE TORSION : ..................................................................... 22
V.2. CONDITION DE RESISTANCE : ................................................................................................................. 22
V.3. CONCENTRATION DE CONTRAINTES : ..................................................................................................... 22
VI. CONDITION DE RIGIDITE................................................................................................................. 23
I. DEFINITION .............................................................................................................................................. 24
II.
III.1.
III.2.
ETUDE DES DEFORMATIONS .......................................................................................................... 25
II.1. ESSAI DE FLEXION ........................................................................................................................... 25
III. ETUDE DES CONTRAINTES.............................................................................................................. 26
CONTRAINTES NORMALES ........................................................................................................ 26
CONTRAINTES TANGENTIELLES .............................................................................................. 26
IV. CONDITION DE RESISTANCE .......................................................................................................... 27
CONTRAINTES NORMALES ........................................................................................................ 27
CONTRAINTES TANGENTIELLES .............................................................................................. 27
DEFORMATION DE LA POUTRE ..................................................................................................... 27
V.1. EQUATION DE LA DEFORMEE ....................................................................................................... 27
V.2. CONDITIONS AUX LIMITES ............................................................................................................ 28
VI. CONDITION DE RIGIDITE................................................................................................................. 28
IV.1.
IV.2.
V.
I. TD-1 : TORSEUR DE COHESION .......................................................................................................... 29
II.
TD-2 : EXTENSION COMPRESSION ............................................................................................. 32
III. TD-3 COMPRESSION - CISAILLEMENT TORSION .................................................................. 34
IV. TD-4 : EXTENSION & FLEXION PLANE......................................................................................... 36
V.
TD-5 : TORSION SIMPLE.................................................................................................................... 41
Cours et Exercices de R sistance des Mat riaux
iii
K. MEHDI & S. ZAGHDOUDI janvier 2011
Chapitre I
G n ralit s sur la RdM
CHAPITRE I
GENERALITES SUR LA
RDM
CHAPITRE I
GENERALITES SUR LA RDM
I.
Les hypoth ses de la r sistance des mat riaux
I.1. But de la r sistance des mat riaux
La r sistance des mat riaux (RdM) tudie le comportement du solide d formable. Elle
sint resse particuli rement au calcul des dimensions des syst mes m caniques pour quils
soient en mesure de supporter les efforts qui leur sont appliqu s pendant leur service dans les
conditions de s curit requise.
I.2. Hypoth ses g n rales
Ces hypoth ses concernent essentiellement les mat riaux utilis s, la forme des solides
tudi s et le type daction m canique exerc e.
I.2.1. Hypoth ses sur les mat riaux
" Continuit de la mati re : Nous consid rons que la mati re est continue et que le
mat riau est homog ne et isotrope. (Voir cours de technologie de production de
1 re ann e)
" Caract ristiques m caniques des mat riaux : Le comportement des mat riaux
est d termin exp rimentalement par des essais standard permettant de qualifier et
de mesurer les param tres du comportement. Exemple : essai de traction.
II. G n ralit s sur les poutres
II.1. D finition dune poutre
Nous appelons poutre un solide dont une des dimensions est grande vis- -vis de deux
autres et qui est soumis un syst me de sollicitation qui le fait fl chir ou le d form .
Cours et Exercices de R sistance des Mat riaux
1
K. MEHDI & S. ZAGHDOUDI janvier 2011
Chapitre I
G n ralit s sur la RdM
Nous consid rons dans cette partie que les poutres plan moyen. Cest- -dire quon
admet un plan de sym trie dans le sens de la longueur.
Une poutre est en g n ral un solide engendr par une aire plane ( ) dont le centre de
gravit (G) d crit une courbe ( ). Le plan de laire ( ) reste normal la courbe ( ).
G
Fibre ou ligne
moyenne
Fibre
" Laire de la section ( ) est appel e section droite ou section normale de la poutre.
" La courbe ( ) est appel e fibre moyenne de la poutre.
" Si la fibre moyenne est une droite, la poutre est dite droite.
II.2. Hypoth se sur les poutres
" Les dimensions transversales de la poutre consid r e sont petites par rapport sa
longueur. Pour une poutre droite, le rapport de la hauteur sur la longueur doit tre
compris entre 1/5 et 1/30.
1
30
d
h
L
d
1
5
(valeur courante de 1/10 1/15)
Pour les poutres courbes, ce rapport peut sabaisser 1/50 et m me 1/100.
" Le rayon de courbure de la fibre moyenne est suffisamment grand par rapport la
dimension transversale de la poutre. En g n ral, ce rayon doit tre sup rieur 5 fois
la hauteur de la section.
" Dans le cas o la poutre est de section variable, la variation de la section doit tre
lente et progressive.
0
0
,
,
,
(cid:71)
(cid:71)
II.3. Param trage de la poutre
(cid:71)
(
Soit R O x y z
un rep re li
0
la poutre. Ce rep re est choisi tel que
(
0 soit port par la ligne moyenne de
la poutre. Ce rep re est appel rep re de
position. Il est utilis pour :
(cid:71)
)O x
,
)
0
(cid:71)
y 0
O
(cid:71)
z0
G
x
(cid:71)
x 0
" L tude de l quilibre de la poutre (E) et la d termination des actions m caniques
ext rieures quelle supporte.
Cours et Exercices de R sistance des Mat riaux
2
K. MEHDI & S. ZAGHDOUDI janvier 2011
Chapitre I
G n ralit s sur la RdM
" Rep rer la section droite (S) de la poutre (E) dans laquelle nous cherchons les
contraintes.
(cid:71)
Dans le rep re R0, on a : OG x x
=
0
II.4. Hypoth ses sur les efforts ext rieurs
Toute action m canique est repr sent e par un torseur en un point. Ces actions peuvent
tre concentr es ou r parties, exerc es distance ou en contact.
Les efforts ext rieurs sont situ s dans le plan de sym trie de la poutre ou dispos s
sym triquement par rapport ce plan.
II.5. Domaine de validit de la r sistance des mat riaux
Hypoth se de Navier-Bernoulli : Les sections planes normales aux fibres avant la
d formation restent planes et normales aux fibres apr s la d formation.
Hypoth se de Barr de Saint Venant : Les r sultats de la RdM ne sappliquent qu
une distance suffisante de la zone dapplication des efforts concentr s (probl me de
concentration de contraintes).
Domaine d lasticit : Dans le cadre de la RdM, les pi ces qui constituent un syst me
m canique ne doivent pas entrer dans le domaine des d formations plastiques.
III. Propri t s g om triques dune section droite
III.1. Centre de surface ou centre de gravit dune surface plane
III.1.1. D finition :
On consid re une surface plane (S) du plan
(cid:71) (cid:71)
O x y
,
, )
.
(
Nous appelons centre de surface de la
surface plane (S), le point G tel que :
(cid:71)
0 ou encore OG
GP ds
=
=
+
P S
1
S
OP ds
+
P S
(cid:71)
y
y
avec OP
(cid:71)
(cid:71)
x x y y
+
=
(cid:71)
et OG x x y y
+
=
(cid:71)
G
G
x
G
=
1
S
x ds
et y
=
G
+
P S
1
S
y ds
O
+
P S
Surface
plane (S)
H
r
P
x
(cid:71)
x
(cid:71)
, )O y
(cid:71)
, )O x
x ds
appel moment statique de la surface (S) par rapport laxe (
y ds
appel moment statique de la surface (S) par rapport laxe (
"
"
P S
+
+
P S
Cours et Exercices de R sistance des Mat riaux
3
K. MEHDI & S. ZAGHDOUDI janvier 2011
Chapitre I
G n ralit s sur la RdM
III.1.2. D finition
On consid re une surface plane (S) et une droite de son plan. Soit H, le point projet
orthogonal dun point P de (S) sur .
Nous appelons moment statique de la surface plane (S) par rapport la droite de son
plan le scalaire d fini par :
m ( )
S
Advertisement
/
=
PH ds
;
PH doit tre affect de signe (+) ou (-) selon que
+
P S
l l ment de surface ds et dun cot ou de lautre de la droite .
Remarques
" Si le point G est confondu avec lorigine du rep re O, alors :
m
m
= +
= +
dsy
dsx
)(
S
)(
S
et
=
=
0
0
(cid:71)
,
yO
(cid:71)
,
xO
/(
/(
)
)
SP
SP
" Dune mani re g n rale, si le centre de gravit G est un point de la droite , alors
" Soit une droite parall le et distant de d de celui-ci. On v rifie facilement que
S
m ( )
m
S
( )
= 0 .
/
m
=
/
'
S
( )
/
+
S d
.
.
d doit tre affect de signe (+) ou (-) selon la position respective de et par
rapport la surface (S).
" Le moment statique dune surface par rapport un axe de sym trie est nul.
(Puisque cette axe passe par le centre G).
b
a
d
R
d
'
)(
S
/
m
=
'
m
)(
S
/
+
.
dS
=
..
dba
m
)(
S
/
'
m
=
'
)(
S
/
+
.
dS
2
.
.
dR
=
III.2. Moment Quadratique dune surface plane par rapport un axe
(par analogie avec le moment dinertie dun solide par rapport un axe)
III.2.1. D finition
Nous appelons moment quadratique dune surface plane (S), par rapport une droite
de son plan, le scalaire positif d fini par :
I S
( )
=
/
2
PH ds
=
+
P S
2
r ds
avec r
PH=
et H est le point projet orthogonal du
+
P S
point P sur .
Remarques
Cours et Exercices de R sistance des Mat riaux
4
K. MEHDI & S. ZAGHDOUDI janvier 2011
Chapitre I
G n ralit s sur la RdM
" On consid re les deux droites parall les (
distant de d. On
(cid:71)
, )G n
2 (Th or me de HUYGHENS).
(cid:71)
, )M n
et '(
( )
v rifie que I S
=
( )
I S
/
+
.
S d
/
'
" Le moment quadratique est homog ne une longueur la puissance 4. Il sexprime
en m4 ou en cm4 ou en mm4.
III.3. Moment Quadratique Polaire
Le moment quadratique polaire dune
surface plane (S) par rapport un point O de
son plan est le scalaire positif d fini par :
I S
O
( ) =
+ 2
r ds
P S
avec r OP
=
Dans le plan (
(cid:71) (cid:71)
, )
O x y
,
on a :
I S
( )
(cid:71) =
O x
, )
/
(
+ 2
y ds
P S
,
I S
( )
(cid:71) =
O y
, )
/
(
+ 2
x ds
P S
Surface
plane (S)
r
(cid:71)
y
y
O
P
x
( )
I S
O
=
+
(
P S
2
x
2
+
y
)
ds
=
( )
I S
(cid:71)
, )
O x
/
(
+
( )
I S
(cid:71) .
, )
O y
/
(
(cid:71)
x
Cours et Exercices de R sistance des Mat riaux
5
K. MEHDI & S. ZAGHDOUDI janvier 2011
Chapitre I
G n ralit s sur la RdM
IV. Torseur des efforts int rieurs
IV.1. D finition du torseur des efforts int rieurs
On consid re une poutre (E), en
rep re
rapport
, sous leffet des actions
le milieu
quilibre,
par
(cid:71)
(cid:71)
(cid:71)
R O x y z
)
,
,
,
0
0
0
m caniques
exerc es par
ext rieur not ( E ).
au
(
0
Imaginons
qui
un
d compose la poutre en deux parties (E1)
et (E2).
plan
( )
On d signe par
commune (E1) et (E2).
(S)
la section
(cid:71)
y 0
(E1)
(E2)
O
(cid:71)
z0
G
x
(S)
(cid:71)
x 0
" L quilibre de la poutre (E) se traduit en tout point par : {
Au point G, centre de gravit de la section (S), la relation pr c dente entra ne :
} { }0
= E
)
(cid:71)
E
(
(cid:71)
ER
(
E
)
(cid:71)
Em
(
G
E
)
(cid:71)
0
(cid:71)
0
=
Advertisement
G
" L quilibre du tron on (E1) de la poutre (E), se traduit par : {
)E1 le milieu ext rieur pour (E1) qui comprend :
avec (
le milieu ext rieur ( E ),
le tron on (E2).
(
E
1
E
1
}
)
=
(cid:71)
{ }
0
Les actions m caniques exerc es par le tron on (E2) sur (E1) travers la section (S) sont
ext rieures pour (E1), mais int rieures pour la poutre (E). La connaissance des actions dites de
coh sion ou actions lastiques et leur r partition travers la section (S) constitue lun des buts
de la r sistance des mat riaux.
2
(
)
(
)
(cid:71)
=
E
E
E
1
E
+
1
} { }0
} {
Par cons quent, l quilibre du tron on (E1) de la poutre (E), se traduit par :
{
{
D finition
Le torseur {
} coh
})
sera appel torseur des actions de coh sion ou torseur des
actions lastiques quexerce le tron on (E2) sur le tron on (E1) travers la section (S). On le
note par {
}
{
E
})
=
E
1
E
1
E
1
.
E
E
(
(
)
(
2
2
Les l ments de r duction en G du torseur {
}coh sont alors :
{
coh
}
G
=
(cid:71)
ER
(
E
1
)
2
(cid:71)
Em
(
G
2
E
1
)
G
=
(cid:71)
ER
(
E
1
)
(cid:71)
Em
(
G
E
1
)
Cours et Exercices de R sistance des Mat riaux
G
6
K. MEHDI & S. ZAGHDOUDI janvier 2011
Chapitre I
G n ralit s sur la RdM
Notation :
Dans le but de simplifier l criture des quations, nous d signons les l ments de
r duction au point G, du torseur des efforts de coh sion dans la poutre exerc s par le tron on
(E2) sur le tron on (E1), par
(cid:71)
ER
(
(cid:71)
R et
(cid:71)
mG .
(cid:71)
R
)
{
coh
}
G
=
GG
(cid:71)
m
=
E
1
G
(cid:71)
Em
(
G
E
1
)
(1)
Remarque
" Les l ments de r duction en G du torseur {
du centre de surface G de la section (S).
} coh
sont des fonctions de labscisse x
(cid:71)
" Comme la poutre (E) est en quilibre par rapport au rep re R O x y z
(cid:71)
(cid:71)
(
,
,
,
E
} { }0
Par cons quent, les l ments de r duction en G du torseur des efforts de coh sion
E
+
1
E
)
=
E
E
E
=
)
)
2
(cid:71)
} {
(
} {
(
)
, alors
{
(
0
0
0
0
pourront tre galement exprim s comme suit :
{
coh
}
G
=
(cid:71)
R
GG
(cid:71)
m
(cid:71)
(
ER
E
2
)
(cid:71)
(
Em
G
E
2
)
G
+=
(2)
Pour effectuer les calculs pratiques de
(cid:71)
(cid:71)
mG on pourra utiliser, soit la relation
R et
donn e par (1), soit la relation donn e par (2). Le choix d pendra uniquement de la
difficult de leur expression.
IV.2. Composantes des l ments de r duction en G du torseur des efforts de
coh sion
IV.2.1. D finition du rep re local li la section droite (S)
(cid:71)
y 0
(cid:71)
y 0
On consid re le tron on (E) de la
poutre (E) en quilibre, par rapport au
(cid:71)
rep re R O x y z
)
(
0
.
(cid:71)
(cid:71)
,
,
,
0
0
0
(cid:71)
On d signe par R G x y z
le
rep re local orthonorm direct, li la
G (
(cid:71)
(cid:71)
)
,
,
,
Advertisement
0
0
0
(cid:71)
)G x
,
0
(cid:71)
section (S) dabscisse x ( OG x x
0 ), tel
que (
soit confondu avec la normale
ext rieure en (G) (S) (dirig e vers
lext rieur de la mati re).
=
(cid:71)
z0
O
(cid:71)
z0
G
(S)
(E1)
x
(cid:71)
T
(cid:71)
N
(cid:71)
M f
(cid:71)
R
(cid:71)
M t
(cid:71)
x 0
(cid:71)
mG
IV.2.2. Composantes des l ments de r duction du torseur des efforts de
coh sion dans le rep re local
Supposons que les l ments de r duction au point G du torseur des efforts de coh sion
Cours et Exercices de R sistance des Mat riaux
7
K. MEHDI & S. ZAGHDOUDI janvier 2011
Chapitre I
G n ralit s sur la RdM
.
sont connus : {
coh
}
G
=
(cid:71)
R
GG
(cid:71)
m
et
(cid:71)
En projection sur les axes du rep re R G x y z
(cid:71)
mG se notent conventionnellement comme suit :
(cid:71)
R sur la normale ext rieure (
" La projection de
G (
(cid:71)
(cid:71)
,
,
,
0
0
)
, les composantes des vecteurs
0
(cid:71)
R
(cid:71)
)G x
,
0
est not e par N, appel e effort
normal.
" La projection de
suivant (
(cid:71)
)G y
,
0
.
" La projection de
suivant (
(cid:71)
)G z
,
0
.
(cid:71)
R sur laxe (
(cid:71)
)G y
,
0
(cid:71)
R sur laxe (
(cid:71)
)G z
,
0
est not e par Ty, appel e effort tranchant
est not e par Tz, appel e effort tranchant
" La projection de
(cid:71)
mG sur la normale ext rieure (
(cid:71)
)G x
,
0
est not e par Mt, appel e
moment de torsion.
(cid:71)
mG sur laxe (
" La projection de
.
suivant (
(cid:71)
)G y
,
0
(cid:71)
)G y
,
0
est not e par Mfy, appel e moment de flexion
" La projection de
.
suivant (
(cid:71)
)G z
,
0
(cid:71)
mG sur laxe (
(cid:71)
)G z
,
0
est not e par Mfz, appel e moment de flexion
Par cons quent :
(cid:71)
(cid:71)
xNR
=
0
(cid:71)
=
0
t
(cid:71)
m
G
+
+
(cid:71)
yT
y
0
(cid:71)
zMyMxM
0
fy
fz
0
+
(cid:71)
(cid:71)
zT
0
z
+
(cid:71)
T
(cid:71)
yT
0
y
(cid:71)
On pose :
zT
z
0
(cid:71)
(cid:71)
(cid:71)
M M y M z
=
=
+
+0
fy
fz
f
; appel effort tranchant.
0 ; appel moment de flexion.
Nous rappelons que les composantes des l ments de r duction du torseur des efforts de
coh sion sont des fonctions de labscisse x du centre de gravit de la section (S).
Ainsi : {
=
}
coh
G
xN
)(
xT
)(
y
xT
)(
z
G
xM
)(
t
xM
)(
fy
xM
)(
fz
(cid:71)
(
x
;
(cid:71)
y
0
(cid:71)
z
,
)
0
,
0
La repr sentation graphique de ces fonctions donne les diagrammes de composantes
alg briques des l ments de r duction. Ces graphes sont appel s diagrammes de l tat de
sollicitation de la poutre.
Cours et Exercices de R sistance des Mat riaux
8
K. MEHDI & S. ZAGHDOUDI janvier 2011
Chapitre I
G n ralit s sur la RdM
IV.3. Relation entre effort tranchant et moment de flexion
la
On consid re
r partition de charge,
d quation p(x) sur une poutre (E) ou sur un tron on
de la poutre. Afin de simplifier le calcul, nous
supposons que la charge est uniform ment r partie
d finie par sa densit lin ique p parall le la
direction du vecteur
(cid:71)
y0 .
On consid re un l ment de la poutre de
longueur x , d limit par les sections droites (S) et
(S) de centre de gravit respectivement G et G.
(cid:71)
y 0
p
G
(S)
(cid:71)
z0
(cid:71)
z0
x
(cid:71)
x 0
G
(S)
On suppose quentre (S) et (S) aucune charge concentr e nest appliqu e (voir fig. )
Les composantes des l ments de r duction du torseur des efforts de coh sion au centre
de gravit de la section (S) dabscisse x sont :
} coh
{
G
=
(cid:71)
( )
R x
(cid:71)
( )
m x
G
=
N x
( )
T x
( )
y
( )
T x
z
Advertisement
(cid:71)
( )
T x
=
G
(cid:71)
( )
T x y
(cid:71)
( )
T x z
+0
soient
y
leffort tranchant et le moment de flexion en G.
z
f
;
M x
( )
t
( )
M x
fy
( ) (
M x
fz
(cid:71)
(cid:71)
M x M x y M x z
( )
(cid:71)
(cid:71)
(cid:71)
,
x y z
( )
( )
=
(cid:71)
)
0
0
0
,
+0
fy
fz
0 et
0 respectivement
Les composantes des l ments de r duction du torseur des efforts de coh sion au centre
x+ sont :
de gravit G de la section (S) dabscisse x
} coh
{
=
G
'
(cid:71)
R x
(
)
x
+
(cid:71)
x
m x
(
+
G
'
=
)
(
N x
T x
(
y
(
T x
z
+
+
+
x
)
x
)
x
)
G
'
(
M x
t
M x
(
fy
(
M x
fz
+
+
+
)
x
x
)
x
)
(
;
)
0
(cid:71)
(cid:71)
(cid:71)
x y z
,
,
0
0
(cid:71)
(
T x
+
x
)
=
(
T x
y
+
(cid:71)
)
x y
+
(
T x
z
+
0
(cid:71)
)
x z
0 et
+
x M x
=
(
)
fy
+
(cid:71)
x y M x
+
)
(
fz
0
(cid:71)
)
x z
+
0 respectivement leffort tranchant et le
moment de flexion en G.
valuons les l ments de r duction du torseur des efforts de coh sion au point G :
(cid:71)
(
R x
avec
(cid:71)
p x y
(cid:71)
( )
R x
x
)
=
(cid:71)
R
(cid:71)
R
+
=
+
0
(cid:71)
'(
m x
G
+
(cid:71)
( )
x m x
=
)
G
(cid:71)
R x GG p
( )
'
+
'
+
(
2
)
x
2
avec GG
'
(cid:71)
z
0
(cid:71)
x x
=
0
On pose :
(cid:71)
R
(cid:71)
p x y
0
=
(cid:71)
(cid:71)
'(
m m x
=
G
+
(cid:71)
( )
x m x
)
G
(cid:71)
R x GG p
( )
'
+
'
=
)2
(
x
2
(cid:71)
z
0
Cours et Exercices de R sistance des Mat riaux
9
K. MEHDI & S. ZAGHDOUDI janvier 2011
soient
(cid:71)
(
M x
f
Chapitre I
G n ralit s sur la RdM
En rempla ant les vecteurs par leur expression respective et en faisant la projection sur
(cid:71)
les trois axes du rep re R O x y z
(cid:71)
(cid:71)
(
,
,
,
0
0
0
)
, les relations deviennent :
0
T
y
=
(
T x
y
+
x
)
( )
T x
y
=
p x
T
y =
p
x
...