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Avec

En écriture complexe on aura :



(2)

En valeurs efficaces ca donne

(3)

m est appelé rapport de transformation

 Remarque

Selon la valeur qui prend m, on peut distinguer :













: le transformateur est un isolateur

: le transformateur est dit abaisseur

:le transformateur est dit élévateur

 Equations aux intensités

D’après la loi d’Hopkinson appliquée au schéma magnétique équivalent, on aura :

Or par hypothèse la reluctance du circuit magnétique

est supposée nulle





(4)

En valeurs efficaces on aura :

(5)

2°.3-Schéma équivalent et diagramme vectoriel

 Schéma équivalent

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0)()(22tetvdttdNte)()(2211wNjVmNNVV1212mNNVV12121m12VV1m12VV1m12VV2211mININm02211ININmNNII1221mNNII122122wNjV

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Le schéma équivalent d’un transformateur monophasé parfait est représenté par la figure 2.4

 Diagramme vectoriel

Ce diagramme vectoriel traduit les équations (2) et (4) précédentes

Soit

,

,

et

données

On aura :

,

et

2°.4-Propriétés du transformateur parfait

2°.4.1-Comportement énergétique

On a déjà établit que :







(6)

Sachant que :

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1I2I2V1Vm Figure 2.5: schéma équivalent m2V2I2mVV2121ImI212V2I211V Figure 2 .6 : Diagramme vectoriel 2112IIVV2112IIVV1122*IVIV21SS

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(6) 

(7)

Conclusion :

Les puissances active et réactive absorbées par le primaire seront totalement transmises à la

charge connectée au secondaire( pas des pertes).Le rendement d’un transformateur parfait est

égal à 1.

2°.4.2-Transformateur d’impédance

Soit (T) un transformateur monophasé parfait de rapport de transformation m, qui alimente

une impédance

. L’objectif est de transférer l’impédance

du secondaire au primaire.

or

et



posons

on obtient

Finalement, tout se passe, comme si le réseau primaire (la source) alimentait directement

l’impédance

, ayant des caractéristiques mieux adaptées à la source.

En conclusion, le fonctionnement n’est pas modifié si on respecte les règles suivantes :

 Règle 1 : on peut transférer(ou ramener) une impédance, située initialement au

secondaire, vers le primaire. En la divisant par m2.

 Règle 2: on peut transférer(ou ramener) une impédance, située initialement au

primaire, vers le secondaire. En la multipliant par m2.

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Page 18

111QjPS222QjPS2121&QQPPZZ1I2I2V1VmZ1V1V1I'Z Figure 2.7: Transfert d’impédance 22IZV12VmVmII12121ImZV2'mZZ1'1IZV'Z

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3°.Transformateur monophasé réel

Pour modéliser le transformateur réel, on doit tenir compte des grandeurs qui ont été négligées

au cours d’étude d’un transformateur parfait.

3°.1-Equations de fonctionnement

Soit :

On aura :

: Le flux à travers l’enroulement primaire

: Le flux à travers l’enroulement secondaire

: Inductance de fuites au primaire

: Inductance de fuites au secondaire

3°.3.1-Equations aux tensions

 Au primaire : on donne ci-contre le schéma électrique équivalent du primaire. Celui se

comporte comme un récepteur vis-à-vis à la source.

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Page 19

1f2f Figure 2.8 : Transformateur réel 11f22f1111INlf2222INlfdttdNtel)(*)(111

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Appliquons la loi des mailles au primaire

(

: Résistance de l’enroulement primaire)

(8)

Et en écriture complexe :

Si on pose

on obtient :

(8’)

 Au secondaire : on donne ci-contre le schéma électrique équivalent du secondaire. Celui

se comporte comme un générateur vis-à-vis au récepteur.

Appliquons la loi de mailles au secondaire. On aura :

(

: Résistance de l’enroulement secondaire)



Posons

, on obtient :

(9)

Et en complexe on obtient :

(9’)

3°.1.2- Equations aux ampères-tours

 A vide, la force magnétomotrice(f.m.m) est égale à

, elle crée un flux

dans le

circuit magnétique.

 En charge, la force magnétomotrice(f.m.m) est egale à

, elle crée le même

flux dans le circuit magnétique.

Par conséquent, on aura :



(10)

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dttdildttdNdttdNdttdNdtttdNteffl)()()()())()(()(111111111)()()(1111tirtetvl1r)()()()(111111tirdttdildttdNtv111111IrIwljwNjV11wNjE111111IrIwljEVdttdNtel)()(222dttdildttdNdttdNdttdNdtttdNteffl)()()()())()(()(222222222)()()(2222tirtvtel2r)()()()(222222tirtvdttdildttdNdttdNte)()(22dttdiltirtvte)()()()(222222222222IrIwjlVE101IN2211ININ1012211*INININ1021IImI

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3°.2-Schéma équivalent

Si on désigne respectivement par :

-

: résistance de l’enroulement primaire

-

-

-

-

-

: résistance de l’enroulement secondaire

: Inductance de l’enroulement primaire

: Inductance de l’enroulement secondaire

: résistance de circuit magnétique

: réactance de circuit magnétique

Le schéma équivalent du transformateur réel est représenté par la figure 2.8

4°-Transformateur monophasé dans l’approximation de Kapp

4°.1-Hypothèse

L’hypothèse de Kapp consiste à négliger le courant

devant le courant

4°.2-Schéma équivalent

Ne pas tenir compte de

, revient à débrancher l’impédance magnétisante (

//

), le

schéma équivalent devient :

: Réactance de fuites au primaire

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)(1r)(2r)(1Hl)(2Hl)(fR)(mX 1I10I1V1E2E2V2I2r1rwl1wl2 Figure 2.9: Schéma équivalent 10I1I10IfRmX1I1V2V2I2r1rwl1wl220V Figure 2.10: Schéma équivalent +hypothèse de Kapp wlX*11

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: Réactance de fuites au secondaire

 Schéma équivalent ramené au secondaire

On peut faire passer l’impédance

multiplier par m2.on obtient le schéma suivant :

du primaire au secondaire, il suffît de la

Avec :

: la résistance du transformateur ramenée au secondaire

: La réactance de fuites magnétiques ramenée au secondaire

La loi des mailles appliquée au secondaire donne :

(11)

 Schéma équivalent ramené au primaire

On peut faire passer l’impédance

diviser par m2.on obtient le schéma suivant :

du secondaire au primaire, il suffît de la

Avec :

: La résistance du transformateur ramenée au primaire

: La réactance de fuites magnétiques ramenée au primaire

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wlX22wljrZ1111I1V2V2I20VsRsX Figure 2.11: Schéma équivalent ramené au secondaire 122rmrRs122XmXXs2202)IjXRVVsswljrZ22211V2VI2IpXpR'1V Figure 2.12: Schéma équivalent ramené au primaire 221mrrRp221mXXXp

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La loi des mailles appliquée au primaire donne :

(12)

4°.3-Détermination des éléments du schéma équivalent :

On effectue deux essais :

 Essai à vide

Cet essai consiste à alimenter l’enroulement primaire par sa tension nominale et on mesure la

tension à vide au secondaire, le courant et la puissance à vide absorbées par le primaire

comme le montre la figure suivante :

Dans ce cas, on peut déterminer pratiquement :

• Le rapport de transformation

(13)

• La résistance de circuit magnétique

(14)

• La réactance magnétisante

(15)

 Essai en court-circuit sous tension primaire réduite

On applique au primaire une tension réduite

(tension nominale), on augmente

progressivement

depuis 0 jusqu’à avoir

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Page 23

1'11*)(IjXRVVpp1V2V20VnV1 Figure 2.13: Essai à vide 1020VVm02121PVPVRff02121QVQVXfmnccVV11ccV1nccII22mAVWccI2ccV1ccP1 Alternostat Figure 2.14: Essai en court circuit

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Puisque

les pertes fer lors de l’essai en court-circuit sont négligeables et par

conséquent :



(16)

Le schéma équivalent ramené au secondaire (en court-circuit) est le suivant :

(17)

(18)

4°.4-Chute de tension

Par définition la chute de tension

est donnée par la différence entre valeurs efficaces de

la tension à vide et la tension en charge :

(19)

 Remarque





dépend de

et

est une grandeur algébrique elle peut être négative 

(surtension)

 Généralement la chute de tension est donnée par sa valeur relative

(20)

Pour déterminer la chute de tension

on peut se servir de l’une des deux méthodes

suivantes :

4°.4.1-Diagramme de Kapp :(solution graphique)

C’est une application de la relation (11) :

avec

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Page 24

nccVV11221ccsccIRP221ccccsIPRmccV1ccI2SRSXccmV1 Figure 2.14: schéma équivalent lors l’essai en court circuit ccccsIVmZ21)(22sssRZX2V2202VVV2V2I22V202VV100%202VV2V2202)IjXRVVss120*VmV

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Les données sont :

,

,

,

,

et

et on va déterminer

Etapes de construction :

 On choisit une échelle en fonction de

 L’axe horizontal étant l’origine des phases, on choisit

comme origine des phases

 On trace un arc de cercle (o ;

)

 On trace (OA)=

 On trace(AB)

(OA) tel que (AB)=

 On trace une droite (

) passant par B et faisant un angle

avec l’horizontale



sera donnée par le segment [BC] prise à l’échelle

Figure 2.15 : Diagramme vectoriel de KAPP

4°.4.2-Formule approchée (solution algébrique)

Pour déterminer la chute de tension on peut se servir de la relation suivante :

(21)

Sachant que l’impédance du transformateur ramenée au secondaire est :

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Page 25

1VmsRsX2I22V20V2Idir20V2.IRs2.IXs22V O 2IRS2IjXS2U2 Rayon U20 Arc de cercle de rayon U20 Direction de 2I A B C  . : ))sin(.)cos(..(2222ssXRIVccjsseZZ..

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Avec

On peut donc écrire :

(22)

 Remarque :





pour une charge ayant

(charge à caractère capacitif) ;

est maximale pour

(charge à caractère inductif) ;

Figure 2.16 : Allure de la chute de tension

4°.4.3-Caractéristiques en charge :

Ce sont les courbes donnant la variation de la tension en charge en fonction du courant :

à

et

On peut vérifier les allures suivantes :

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Page 26

)(ssccRXarctg)cos(..222ccsZIV02Vcc222Vcc2)(22IfVct2nVV11

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Figure 2.17 : Allure de la tension aux bornes de la charge

4°.5-Rendement du transformateur

 Bilan des puissances

 Puissance absorbée :

(22)

 Puissance utile :

(23)

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Page 27

1PPa)1(tenroulemen)2(tenroulemenmagnetiquecircuit1jPfP2jP2PPu Figure 2.18: Bilan de puissance )cos(..1111IVPPaPertesPPPa21)cos(..2222IVPPu

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 Pertes par effet joule totales :

(24)

Pertes par effet joule au primaire :

Pertes par effet joule au secondaire :

 Pertes fer :

 Rendement

(25)

Le rendement est donné par la relation suivante :

(26)

Il peut être déterminé pratiquement à l’aide des deux wattmètres pour les faibles puissances,

cependant, pour les grandes puissances on utilise généralement la méthode des pertes séparées

basée sur l’estimation des pertes. La relation utilisée est la suivante :

(27)

L’allure de la courbe de rendement est donnée par la figure 2.19 .C’est une courbe croissante

au début, elle passe par un maximum puis elle décroit.

Figure 2.19: Allure de rendement

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Page 28

212221..IRIRPPPpsjjj2111.IrPj2222.IrPj020110.PIrPPf100.100.12%PPPPau100..100.0222222%PIRPPPertesPPs(%)1)cos(8.0)cos(2IoptI2

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 Remarque :

 Le transformateur statique aura toujours un rendement meilleur que celui d’une machine

tournante à cause des pertes mécaniques.

 Le rendement nominal d’un transformateur est généralement supérieur à 90%.

 Le meilleur rendement est obtenu avec une charge résistive.

 Le rendement maximal est obtenu par un courant optimal

tel que :





(28)

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optI202dIdfjPPsfoptRPI2