Cours Automatique
Niveau : 2
Unité d’enseignement : Automatique 1
ECUE n° 1 : Signaux et Systèmes Linéaires
Chapitre 9
Etude Harmonique des Systèmes d’Ordre élevé (n>2)
Nombre d’heures/chapitre : 1.5h
Cours intégré
Système d’évaluation : Continu
OBJECTIFS DE L’ENSEIGNEMENT :
-Connaître les notions des signaux.
-Connaître les notions des systèmes et plus particulièrement les systèmes asservis.
-Maîtriser les outils de transformation des signaux.
-Savoir manipuler les techniques de représentation des systèmes
CONTENU THEORIQUE :
Dans ce chapitre on s’intéresse aux systèmes dont leurs ordre est supérieur à deux et pour les quels
l’étude analytique devienne pénible. Pour cela on s’intéresse aux critères géométriques qui se
manifestent par l’étude en boucle ouverte et la constatation en boucle fermée.
Ces critères sont c’elle de Nyquist, de Bode et de Black.
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Niveau : 2
Etude Harmonique des Systèmes d’Ordre élevé (n>2)
Cours Automatique
Chapitre 9
1. Introduction
L’étude de la stabilité par la détermination des pôles nécessite la connaissance de la fonction de transfert
en boucle fermée ou l’équation différentielle qui décrit le système.
Souvent, on ne dispose pas de T (p) (fonction de transfert en boucle ouverte) analytiquement par contre
des essais expérimentaux sont possibles.
On dispose alors de tracer le diagramme de Nyquist (ou Bode ou Black) qui nous permet d’étudier la
stabilité du système. On dit qu’on étudie la stabilité du système en boucle fermée à partir du tracé en
boucle ouverte.
2. Critères géométriques
2.1. Critère de Nyquist
pH
(
)
=
pT
(
)
+
(
pT
)
1
=
pN
(
(
pD
)
)
+=
1
Equation caractéristique
T(p)
=
0
T(p)
1−=
⇔
X
+ jY
1−=
( jT
Le point (-1,0) est un point critique
arg(
ω
)
=−
)1
1
π
=
- Critère de Rivers sur le plan de Nyquist
E(p) ε(p) S(p)
T(p)
Fig. 9.1 : Schéma fonctionnel
Un système est stable en boucle fermée si le lieu de Nyquist en boucle ouverte parcouru dans le sens
des croissant laisse à sa gauche le point critique (-1,0).
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Niveau : 2
Diagramme de Nyquist
2 dB
0 dB
-2 dB
Im
-4 dB
-6 dB
w0=10rd/s
m=0,7
k=1
-10 dB
-20 dB
w=00
-k/2m
w=w0
k=1
Re
w=0
0.8
4 dB
0.6
6 dB
0.4
10 dB
20 dB
0.2
0
e
r
i
a
n
g
Advertisement
a
m
i
i
e
x
A
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
Axe réel
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fig. 9.2 : Diagramme de Nyquist
Exemples
1/ On donne le schéma fonctionnel suivant :
( pE
)
ε (p)
( pR
)
1
Tp+1
( pS
)
Fig. 9.3 : Schéma fonctionnel
1. R(p)=K1
(
pT
)
=
K
+
1
Tp
1
2. R(p)=K2 , K2> K1
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Niveau : 2
Diagrmme de Nyquist
e
r
i
a
n
g
a
m
i
i
e
x
A
ω=∞
k1/2
k2/2
k1
ω=0
k2
ω=0
k1/2
k2/2
1
2
0.5
0
-0.5
-.75
-1
-1.5
-0.5
0
0.5
Axe réel
Fig. 9.4
.75
1
1.5
1 et 2 sont deux systèmes stables.
2/
( pE
)
ε (p)
( pR
)
1
p+
2)
1(
( pS
)
1. R(p)=K1
Fig. 9.5
pT
(
)
=
2.
R(p)
=
(
pT
)
=
p
1(
pT
(
)
=
p
Advertisement
1(
k
+
1
p
2
)
1(
A1
p
A
1
+
p
2
)
A
2 ;
p
A
1
+
2
p
)
3.
R(p)
=
A >
2 A
1
Système 1 : stable
Système 2 : instable
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Niveau : 2
• Degré de stabilité : Marge de gain et marge de phase
Marge de gain
Soit deux systèmes de transmittances T1 (p) et T2 (p) en boucle ouverte
(1) est plus stable que (2)
la notion de marge de gain perme de quantifier l’intuition précédente
Mg =
Mg =
;
1
2
1
OA
1
1
OA
2
Mg dB
=
20
log
Mg
=
20
log
1
OA
Remarque
−=
20
log
OA
or
1<OA
dBMg
0>
C’est une condition nécessaire mais non suffisante.
Donc il faut déduire en plus la marge de phase pour quantifier la stabilité.
Marge de phase
ω
M
0
πϕ
+=
arg(
jT
(
1.5
))
tel
que
jT
(
ω
0
)
=
1
i
e
r
i
a
n
g
a
m
e
x
A
i
1
0.5
0
-0.5
-1
(-1,0)
O
Mφ
A
-1.5
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
Advertisement
1.5
0
Axe réel
Fig. 9.6
>
Mg
ϕM
>
0
0
Système
stable
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Niveau : 2
2.2. Application au plan de Bode
TdB
M
ω
=
f
(
+=
πϕ
ωϕ
f
)
arg(
jT
(
−=
Mg
; )
et
))
=
(
ω
1
ωjT
(
0
)
Bode Diagram
)
B
d
(
n
a
G
i
100
50
0
-50
-100
-150
0
)
g
e
d
(
e
s
a
h
P
-90
-180
-270
-2
10
(1 : bleu) Système stable :
2
1
-1
10
0
10
Fréquence (rd/s)
1
10
2
10
Mg
ϕM
>
>
;0
0<ϕM
(2 : rouge) Système instable :
2.3. Application au plan de Black
TdB
)(ϕf
=
Fig. 9.7
0
Diagramme de black
)
i
B
d
(
n
a
G
p
o
o
L
-
n
e
p
O
)
Advertisement
B
d
(
o
B
n
e
n
a
G
i
60
40
20
0
-20
-40
-60
-80
-270
-225
Mφ
Mg
-180
Open-Loop Phase (deg)
-135
-90
-45
0
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Fig. 9.8
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Niveau : 2
)
(
)
i
B
d
(
n
a
G
p
o
o
L
-
n
e
p
O
60
40
20
0
-20
-40
-60
-80
-360
Diagramme de black
0 dB
0.25 dB
0.5 dB
1 dB
3 dB
6 dB
Mφ
Mg
-1 dB
-3 dB
-6 dB
-12 dB
-20 dB
-40 dB
-60 dB
-80 dB
-315
-270
-180
-225
Open-Loop Phase (deg)
-135
-90
-45
0
Fig. 9.9
πϕ
+=
M
ωjTMg =
(
2
arg(
jT
(
ω
1
))
tel que
)
tel que
Arg
jT
((
)
(
=ωjT
0
1
ω −=
π
))
2
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