Cours Automatique
Niveau : 2
Unité d’enseignement : Automatique 1
ECUE n° 1 : Signaux et Systèmes Linéaires
Chapitre 5
Système de 1er Ordre
Nombre d’heures/chapitre : 3h
Cours intégré
Système d’évaluation : Continu
OBJECTIFS DE L’ENSEIGNEMENT :
-Savoir manipuler les techniques de représentation des systèmes
CONTENU THEORIQUE :
Dans ce chapitre on définie un système de 1er ordre tout en donnant leur caractéristiques selon les
réponses de ce système à quelques signaux canoniques comme une impulsion et un échelon tout en
détaillant par des applications explicatifs.
En second lieu on définie le système de 1er ordre généralisé tout en montrant sa réponse indicielle
ISET NABEUL
- 43 - CHELBI Hassen
Cours Automatique
Chapitre 5
Niveau : 2
Système de 1er Ordre
1. Définition
Un système est dit de 1er ordre s’il est décrit par une équation différentielle de la forme :
dy
+τ
dt
ty
)(
=
tke
)(
τ
pY
(
p
)
+
(
pY
)
=
kE
(
p
)
(
pH
)
=
(
)
pY
(
)
pE
=
k
τ+
p
1
K : gain statique
τ: constante du temps.
2. Réponse d’un système de 1er ordre à quelques signaux canoniques
2.1.Réponse à un échelon
(
)
pY
(
)
pE
k
τ+
p
(
pY
=
1
)
=
k
τ+
p
1
(
pE
)
(
pY
)
=
k
)p
τ+
(
1
p
donc
)(
ty
=
k
1(
−
e
−
t
τ
)
(
pE
)
=
1
p
;0→t
;∞→t
lim
- si
** si
k =
0
k
)( →ty
ty →)(
pour
)(
ty
=
)(1)(
te
tu
1
0.9
0.8
0.7
63%
0.6
)
t
(
y
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
T
2
3
4
5
6
7
temps
Fig.5.1 : Réponse indicielle d’un système de 1er ordre (KE=1).
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- 44 - CHELBI Hassen
Cours Automatique
Niveau : 2
*
)(
te
=
)(
tEu
(
pY
)
=
kE
(
)p
τ+
1
p
)(
ty
=
kE
1(
−
e
−
t
τ
)
kE=
10
9
8
7
63%kE
6
)
t
(
y
5
4
3
2
1
0
0
2
T
4
6
temps
8
10
12
Fig.5.2 : Réponse indicielle d’un système de 1er or ordre (KE=1).
y
(
=∞
)
kE
=
lim
=
lim )(
ty
pY
(
p
)
2.2.Réponse à une impulsion
)(
te
=
δ
=
1)(
t
pour
t
=
0
(
)
pY
pE
(
)
=
k
τ+
p
1
(
pY
)
=
k
τ+
p
1
(
pE
)
=pE
(
1)
pY
(
Advertisement
)
=
k
k
=
+
ττ
p
1
.
1
+
1
τ
p
donc
=)(
ty
−
t
τ
k
τ
e
ISET NABEUL
- 45 - CHELBI Hassen
Cours Automatique
kE/T=
5
Niveau : 2
4.5
4
3.5
3
)
t
(
y
2.5
2
37%KE/T
1.5
1
0.5
0
0
Réponse impulsionnelle
d'un système de 1er ordre
2
4
6
temps
8
10
12
Fig.5.3 : Réponse impulsionnelle d’un système de 1er ordre (KE=10).
- si
;0→t
** si
;∞→t
ty →)(
k
τ
)( →ty
0
*
t =)(δ
E
(
pY
)
=
kE
τ+
p
1
=)(
ty
−
t
τ
e
kE
τ
2.3. Applications
Exercice 1
Soit le montage RC suivant :
I
R
e(t)
I
C
vs(t)
Fig.5.4 : Circuit RC série.
1. Déterminer
(
pH
)
s=
(
)
pV
(
)
pE
2. Déduire la nature du système ainsi que ses paramètres caractéristiques en fonction de R et C.
3. Pour
; calculer et tracer vs(t).
C μ1=
F
),
Rtu
100
)(
te
et
10
Ω
=
=
(
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Cours Automatique
Correction
1.
)(
te
=
)(
tRi
+
)(
tv
s
te
)(
=
RC
dv
t
)(
s
dt
+
tv
)(
s
(
pE
)
=
RCV
(
s
+
pVp
)
(
s
Niveau : 2
)
Donc
(
pH
)
=
(
)
pV
s
pE
)
(
=
1
RCp
+
1
2. C’est un système de 1er ordre avec k=1 et
RC=τ
3.
(
pVs
)
=
1
RCp
+
1
(
pE
)
avec
(
pE
)
=
10
p
=τ
;
RC
=
100
10
x
− =
6
10
−
4
s
(
pVs
)
=
10
+
10
p
1(
−
4 p
)
tv
)(
s
=
1(10
−
e
−
t
−
10
4
)
)(
tv
s
=
1(10
−−
e
410 t
)
Réponse indicielle (T=0.0001s et KE=10)
12,
10,
8,
63%KE=6.3
6,
4,
2,
0,
0,
T=0.0001s
τ=0.0001s
0,2
0,3
Advertisement
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,
Fig.5.5 : Réponse indicielle (KE=10).
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Niveau : 2
Cours Automatique
Exercice 2
1. Soit le montage RL suivant :
R
I
e(t)
L
vs(t)
Fig.5.6 : Circuit RL série.
2. Déterminer
(
pH
)
s=
(
)
pV
(
)
pE
3. Représenter vs(t) pour
)(
te
=
(2
),
Rtu
=
100
Ω
et
L 1=
mH
Correction
1.
)(
te
=
)( =
tvs
L
+
)(
tv
s
)(
tRi
)(
tdi
dt
)(
ti
=
1
L
)(
tv
s
dt
)(
te
=
R
L
)(
tv
s
dt
+
)(
tv
s
(
pE
)
=
(
pE
)
=
R
Lp
R
Lp
(
(
pV
s
+
)
(
pV
s
)
+
)1
(
pV
s
)
(
)
pVs
)
(
pE
=
1
+
1
R
Lp
=
1
p
L
R
+
L
R
L
R
+
p
p
L
R
p
Donc
(
pH
)
=
(
)
pV
s
)
(
pE
=
1
3. Système de 1er ordre généralisé
avec k=1 et
τ
1
=
L
R
τ
et
2
=
L
R
.
3.1.Définition
Un système de 1er ordre généralisé est décrit par l’équation différentielle suivante :
+
=
+
τ
2
)(
ty
k
τ
[
1
(
te
)]
dy
dt
(
τ
2
pY
+
)
p
pY
(
pY
(
)[
τ
2
p
=
)
k
=+
]1
kE
)(
tde
dt
pE
τ
[
1
)]
pE
(
+
]1
+
)
p
(
τ
)[
(
p
p
1
τ
+
p
1
1
τ
+
p
1
2
)
pH
(
)
=
pY
(
)
pE
(
)
=
k
(
Soit
τ =
1
ατ
2
; alors
pH
(
)
=
k
(
1
1
ατ
+
p
Advertisement
2
τ
+
p
2
)
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Niveau : 2
3.2. Exercice
Déterminer et représenter la réponse à un échelon de vitesse (rampe) d’un système de 1er ordre dont
la fonction de transfert est :
(
pH
)
=
k
τ+
p
1
.
)
k
=
pY
(
1
1
4. Réponse indicielle
ατ
+
p
2
τ
+
p
2
ατ
+
p
2
τ
+
p
2
E
0
p
1
1
(
pY
pE
(
=
k
)
)
(
pY
)
=
0
+
kE
p
τα
−
(
)1
kE
2
τ
+
p
2
1
0
)(
ty
=
kE
0
τα
−
)1
(
2
−
1(
e
−
t
τ
2
+
)
kE
e
0
−
t
τ
2
)
ty
)(
=
kE
0
−
1
e
−
t
τ α
+
e
2
−
t
τ
2
ty
)(
=
kE
0
−
t
τ
2
e
)1
α
−
+
(1
- si
** si
;0→t
;∞→t
)(
ty
=
)(
ty
kE
=
kE
[
+
(1
α
−
]
=
)1
α
kE
0
0
0
Réponse indicielle d'un système de 1er ordre généralisé
alpha=2
alpha=0,5
alpha=1,5
20
15
10
5
)
t
(
y
0
0
2
4
6
temps
8
10
12
Fig.5.7 : Réponses indicielles d’un système 1er ordre généralisé pour différentes valeurs de α.
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Niveau : 2
Exercices d’application
Déterminer la fonction de transfert des montages suivants :
1. Système de 1er ordre à avance de phase
R1
i(t)
e(t)
C R2
s(t)
Fig.5.8
)
avec
(
pZ
)
=
R
1
CpR
1
+
1
,
(
pI
)
=
)
(
pS
R
2
et
(
pV
)
=
)(
te
=
)(
tv
+
)(
ts
(
pE
)
=
pIpV
()
(
pIpZ
()
(
)
(
pE
)
=
(
(
pH
)
=
(
pZ
R
2
(
)
pS
Advertisement
(
)
pE
)
+
()1
pS
)
=
R
2
+
pZR
(
2
=
)
=
R
2
+
R
2
R
1
CpR
1
+
1
1(
+
+
CpRRRR
CpR
1
R
2
+
)
1
2
1
2
(
pH
)
=
R
2
+
RR
1
2
.
+
1
+
1
CpR
1
RR
1
+
2
R
R
1
Cp
2
RR
1
+
2
R
R
1
=
k
R
2
+
RR
1
2
;
=τ
1
CR1
;
=τ
2
τ =
ατ
1
2
τ
1
τ
2
Rα
=
1
=
+
R
2
R
2
+=
1
C
2
R
1
R
2
>
1
Donc c’est un système de 1er ordre à avance de phase.
2. Système à retard de phase
i(t)
R1
e(t)
R2
C
s(t)
Fig.5.9
ts
)(
où
(
pZ
)
=
R
2
+
+
1
=
1
Cp
CpR
2
Cp
te
)(
=
(
pI
)
pE
(
)
+
=
)(
tiR
1
(
)
pS
(
)
pZ
R
1
Z
(
=
+
()1
pS
)
ISET NABEUL
- 50 - CHELBI Hassen
Cours Automatique
Niveau : 2
1
+
CpR
2
Cp
CpR
2
Cp
+
=
+
1
+
(1
R
1
CpR
2
+
)
R
Cp
2
+
1
(
pH
)
=
(
)
pS
(
)
pE
=
Z
+
ZR
1
=
R
1
pH
(
)
=
+
1
+
R
(1
1
CpR
2
+
R
Cp
)
2
=τ
1
CR2
;
τ =
ατ
1
2
=τ
2
τ
1
τ
2
(
=
+
CR
)
R
1
2
Rα
=
2
+
R
1
<
1
R
2
Donc c’est un système de 1er ordre à retard de phase.
ISET NABEUL
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