Corrig´e du travail asynchrone №3
Niveau : 4`eme ann´ee D.S & INFINI
Ann´ee universitaire : 2020-2021
´Enonc´e :
On considere la v.a.r X a valeurs dans N∗ telle que sa loi est donn´ee par :
P(X = k) =
a
k!
, a ∈ R.
1. D´eterminer la valeur de a.
2. Calculer E(X).
3. Calculer E(cid:0)X(X − 1)(cid:1).
4. En d´eduire V(X).
5. Calculer la fonction g´en´eratrice de X.
6. Retrouver E(X) et puis E(cid:0)X(X − 1)(cid:1).
Corrig´e :
1. Comme P est une loi de probabilit´e de la v.a.r X, alors elle v´erifie forc´ement cette condition :
+∞
(cid:88)
k=1
P(X = k) = 1
a
+∞
(cid:88)
k=1
1
k!
= 1
(cid:16) +∞
(cid:88)
a
k=0
1
k!
(cid:17)
− 1
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= 1
(cid:16)
car ∀x ∈ R,
+∞
(cid:88)
k=0
xn
k!
= ex(cid:17)
a(e − 1) = 1
⇒
a=1/e-1
1
2.
3.
E(X) =
+∞
(cid:88)
k=1
kP(X = k)
= a
+∞
(cid:88)
k=1
k
k!
= a
+∞
(cid:88)
k=1
1
(k − 1)!
= a
+∞
(cid:88)
k=0
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1
k!
= a × e
⇒
E(X)=e/e-1
(cid:16)
E
X(X − 1)
(cid:17)
=
+∞
(cid:88)
k=1
k(k − 1)P(X = k) (d’apres le th´eoreme de transfert)
= a
+∞
(cid:88)
k=1
k(k − 1)
k!
(cid:16)
= a
0 +
+∞
(cid:88)
k=2
(cid:17)
1
(k − 2)!
= a
+∞
(cid:88)
k=0
1
k!
= a × e
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⇒
(cid:16)
E
(cid:17)
X(X-1)
=e/e-1
4. En utilisant la question pr´ec´edente, on pourra ´ecrire :
V(X) = E(X 2) − E2(X)
= E(X 2 − X + X) − E2(X)
= E(X 2 − X) + E(X) − E2(X)
= E(X(X − 1)) + E(X) − E2(X) = 2ae − a2e2 = a
e(e − 2)
e − 1
⇒
V(X)=e(e-2)/(e-1)2
5. La fonction g´en´eratrice de la loi de X est la fonction d´efinie sur [−1, 1] par :
∀z ∈ [−1, 1], GX (z) =
+∞
(cid:88)
k=1
skP(X = k)
= a
+∞
(cid:88)
k=1
sk 1
k!
= a
(cid:16) +∞
(cid:88)
k=0
(cid:17)
− 1
sk
k!
= a(ez − 1)
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2
⇒
GX (z) = ez−1
e−1
6. Comme la fonction g´en´eratrice GX est 2 fois d´erivable, alors on pourra d´eduire `a partir de
cette fonction les moments d’ordre 1 et 2 de la v. a X.
et
D’o`u
E(X) = G(cid:48)
X (1) =
(cid:16)
a(ez − 1)
(cid:17)(cid:48)
|z=1 = a × ez|z=1 = a × e =
e
e − 1
(cid:16)
E
X(X − 1)
(cid:17)
= G(cid:48)(cid:48)
X (1) =
(cid:16)
a(ez − 1)
(cid:17)(cid:48)(cid:48)
|z=1 = a × ez|z=1 = a × e =
e
e − 1
V(X) = E(X(X − 1)) + E(X) − E2(X) =
e(e − 2)
(e − 1)2
3