(cid:19)Ecole Nationale
des Sciences de
l’Informatique
2014-2015
II.1
Corrig(cid:19)e D.S
Probabilit(cid:19)es Appliqu(cid:19)ees
Nombre de pages: 2
Documents: Non Autoris´es
Enseignants: L.Saidane; M.Bellalouna; L.Horchani
Date: 10/11/2014
Dur(cid:19)ee: 2H
Exercice 1:(5 pts)
Dans un cybercaf´e les ordinateurs peuvent ˆetre infect´es soit par un cheval de Troie C, soit
par un Boot B. La probabilit´e d’une infection par un cheval de Troie est 15%. La probabilit´e
d’infection par un boot est 8%. La probabilit´e d’infection par un Boot quand on a une infection
par un cheval de Troie est ´egale `a 4%.
1. Traduire les hypoth`eses: P (C) = 0:15; P (B) = 0:08; P (B=C) = 0:04
On choisit un ordinateur au hasard de ce cybercaf´e.
2. Quelle est la probabilit´e que l’ordinateur choisi ait une infection simultan´ee par un cheval
de Troie et un Boot ?
On cherche: P (C ∩ B) = P (B=C):P (C) = 0:006
3. Quelle est la probabilit´e que l’ordinateur choisi soit non infect´e ?
On cherche: P (C ∩ B) = 1 − P (C ∪ B) = 1 − (P (B) + P (C) − P (B ∩ C)) = 0:87
4. Quelle est la probabilit´e que l’ordinateur choisi soit infect´e seulement par un cheval de
Troie ?
On cherche: P (C ∩ B) = P (C) − P (C ∩ B) = 0:144
5. Quelle est la probabilit´e que l’ordinateur choisi soit infect´e par un Boot sachant qu’il
n’est pas infect´e par un cheval de Troie ?
On cherche: P (B=C) = P (B)(cid:0)P (B\C)
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≃ 0:087
1(cid:0)P (c)
Exercice 2:(5 pts)
Un enfant a absorb´e accidentellement et au hasard l’un ou l’autre exclusivement de trois
m´edicaments dangereux A, B et C. Il y avait `a sa port´ee 3 boˆıtes de A, 1 boˆıte de B et 2 boˆıtes
de C.
1. Quelle est la probabilit´e qu’il ait pris A ? P (A) = 2
3
2. Pour un enfant pr´esentant des troubles, ces troubles sont dus au m´edicament A dans
50% des cas , au m´edicament B dans 75% des cas et au m´edicament C 20% des cas.
1
(a) Traduire ces hypoth`eses :p(T =A) = 0:5, p(T =B) = 0:75 et p(T =C) = 0:20
(b) Quelle est la probabilit´e qu’il ait pris A ?
Nous cherchons :p(A/T) ?
p(A=T ) =
p(T =A)p(A)
p(T =A)p(A) + p(T =B)p(B) + p(T =C)p(C)
t 0:56
3. La probabilit´e de survie est de 10% si l’on a pris A, 80% si l’on a pris B et 90% si l’on a
pris C.
(a) Traduire ces hypoth`eses:(S=A) = 0:1, p(S=B) = 0:8 et p(T =C) = 0:9 .
(b) Quelle est la probabilit´e de survie de l’enfant ? Nous cherchons :p(S) ?
p(S) = p(S=A)p(A) + p(S=B)p(B) + p(S=C)p(C) t 0:483
Exercice 3:(5 pts)
Une entreprise est ´equip´ee d’un systeme d’alerte contre l’incendie. L’installateur du systeme
assure qu’en cas de d´ebut d’incendie, l’alerte sera donn´ee avec une probabilit´e de 0; 99. Mais il
faut noter que, mˆeme sans aucun danger, l’alarme peut tout de mˆeme se d´eclencher, donnant
lieu a une fausse alerte, avec une probabilit´e ´evalu´ee a 0; 007. La compagnie d’assurances de
l’entreprise considere qu’un incendie peut se d´eclencher avec une probabilit´e ´egale a 0; 001.
On notera les ´ev´enements I : ” Il y a un incendie ” et A : ” L’alerte se d´eclenche ”.
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1. Quels sont les diff´erents syst`emes complets d’´ev´enements ?
(I; I);
(A; A)
2. Traduire les hypoth`ese:
P (A=I) = 0:99; P (A=I) = 0:007; P (I) = 0:001
3. Quelle est la probabilit´e que l’alarme se d´eclenche ?
P (A) = P (A=I)P (I) + P (A=I)P (I) = P (A=I)P (I) + P (A=I)(1 − P (I)) ≃ 0:0079
4. Si le syst`eme se d´eclenche, quelle est la probabilit´e que ce soit une fausse alerte ?
P (I=A) =
P (A=I)P (I)
P (A)
≃ 0:885
5. Quelle est votre conclusion quant a la fiabilit´e de ce systeme.
Le syst`eme n’est pas fiable vue que l’alarme se d´eclenche souvent pour de fausses alertes!
Exercice 4:(5 pts)
Soit (Ω; (cid:28); P ) un espace probabilis´e et soient A1; : : : ; An des ´ev´enements.
1. Montrer que P (A1 ∪ A2) = P (A1) + P (A2) − P (A1 ∩ A2).
A1 ∪ A2 = (A1 ∩ A2) ∪ (A1 ∩ A2) ∪ (A1 ∩ A2)
⇒ P (A1 ∪ A2) = P (A1 ∩ A2) + P (A1 ∩ A2) + P (A1 ∩ A2)
⇒ P (A1 ∪ A2) = P (A1 ∩ A2) + [P (A1) − P (A1 ∩ A2)] + [P (A2) − P (A1 ∩ A2)]
⇒ P (A1 ∪ A2) = P (A1) + P (A2) − P (A1 ∩ A2)
2
2. ´Etant donn´ee la formule de Poincar´e :
n∪
n∑
P (
Ai) =
i=1
k=1
(
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(−1)k+1
)
P (Ai1
∩ · · · ∩ Aik)
∑
i1<i2<(cid:1)(cid:1)(cid:1)<ik
Montrer cette formule pour n = 3. Voir TD!
3. Pour fˆeter leur r´eussite `a un concours, n ´etudiants se donnent rendez-vous dans un chalet.
En entrant chaque personne d´epose sa veste dans un vestiaire. Au petit matin, quand
les esprits ne sont plus clairs, chacun prend au hasard une veste.
(a) D´eterminer Ω, d´eduire que card(Ω) = n!.
L’espace d’´etat Ω est l’ensemble des permutations de {1; : : : ; n}, la probabilit´e sur
cet espace est la probabilit´e uniforme.⇒ |Ω| = n!
(b) Soit Ai l’´ev´enement :”L’´etudiant i a sa propre veste”. Calculer
i. P (Ai) = (n(cid:0)1)!
ii. P (Ai ∩ Aj) = (n(cid:0)2)!
n!
n!
(c) Quelle est la probabilit´e pour qu’une personne au moins ait sa propre veste ?
n∪
On cherche P (
Ai) d’apr`es la formule de Poincar´e, on a :
i=1
n∪
n∑
P (
Ai) =
i=1
k=1
(
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(−1)k+1
∑
)
P (Ai1
∩ · · · ∩ Aik)
n∪
n∑
P (
Ai) =
i=1
k=1
i1<i2<(cid:1)(cid:1)(cid:1)<ik
(
(−1)k+1C k
n
)
(n − k)!
n!
)
(
(−1)k+1 1
k!
n∪
n∑
P (
Ai) =
i=1
k=1
3