Ministère de l’Enseignement Supérieur de la Recherche

Scientiﬁque de la Formation des Cadres

Présidence du Concours National Commun

École Nationale Supérieure des Mines de Rabat

CONCOURS NATIONAL COMMUN

d’admission aux Établissements de Formation d’Ingénieurs et

et Établissements Assimilés

Session 2016

ÉPREUVE DES MATHÉMATIQUES I

Filière MP

Durée 4 heures

cette épreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette page de garde

L’usage de la calculatrice est interdit

Page de garde

Concours National Commun – Session 2016 – Filière MP

L’énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la ﬁlière MP,

comporte 4 pages.

L’usage de tout matériel électronique, y compris la calculatrice, est interdit.

Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des

raisonnements constitueront des éléments importants pour l’appréciation des copies. Il convient en particulier de

rappeler avec précision les références des questions abordées.

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et

poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Le sujet de cette épreuve est composé de deux problèmes indépendants entre eux.

Durée : 4 heures

Problème 1

0, ..., n

, on appelle polynômes de Bernstein de degré n les

Soit n un entier naturel, on note [[0, n]] =

polynômes réels Bn,k = {k

X)n−k, k

[[0, n]]. Dans ce problème, on voudrait démontrer le théorème

de Weierstrass par deux méthodes et donner quelques applications de ce théorème. Dans toute la suite, on

identiﬁe polynôme et fonction polynomiale associée.

nX k(1

{

∈

−

}

Partie I

Théorème de Weierstrass

Soit f : [0, 1]

→

R continue, pour tout n

∈

N, on pose Pn(f ) la fonction déﬁnie sur [0, 1] par,

∀

∈

[0, 1], Pn(f )(x) =

k=0

(cid:18)

Bn,k(x).

(cid:19)

(a) Calculer

Bn,k.

k=0

(b) En déduire que, pour tout x

2. Calculer

kBn,k,

k(k

[0, 1], 0

∈

≤

Bn,k(x)

≤

k2Bn,k.

1)Bn,k puis

−

k=0

(a) Pour tout n

les trois cas : ( k

∈

k=0

N∗ et tout k

= 0 et k

k=0

[[0, n]], exprimer B0

= n), ( k = 0) puis ( k = n)).

∈

n,k en fonction de Bn−1,k−1 et Bn−1,k, (on étudiera

(b) Établir que, pour tout n

N∗ et tout x

∈

[0, 1], ( Pn(f ))0(x) = n

n−1

sur [0, 1].

∈

4. Pour la suite de cette question, on se donne un réel ε > 0.

k+1

−

Bn−1,k(x).

k=0

(cid:0)

N∗, la fonction Pn(f ) est croissante

(cid:1)(cid:1)

(cid:0)

(cid:1)

(a) Pour tout x

∈

[0, 1], calculer

−

(cid:19)

Bn,k(x).

k=0 (cid:18)

(b) Montrer qu’il existe α > 0 tel que, pour tout (x, y)

[0, 1]

∈

[0, 1],

−

| ≤

α =

⇒ |

f (y)

−

f (x)

| ≤

(On vous demande de redémontrer le théorème de Heine pour l’application f continue sur le

segment [0, 1]).

∈

[0, 1], on pose A =

{

∈

[[0, n]],

(cid:12)

−

(cid:12)

}

≤

et B =

{

∈

[[0, n]],

(cid:12)

> α

}

−

(cid:12)

Épreuve de Mathématiques I

1 / 4

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Concours National Commun – Session 2016 – Filière MP

i. Montrer que

f (x)

−

Bn,k(x)

≤

(cid:18)

ii. Montrer que

(cid:19)(cid:12)

(cid:12)

(cid:19)(cid:12)

(cid:12)

Pn(f )(x)

(e) En déduire que la suite (Pn(f ))n≥1 converge uniformément vers f sur [0, 1].

(d) En déduire que, pour tout x

k∈A (cid:12)

(cid:12)

k∈A (cid:12)

(cid:12)

nα2

Bn,k(x)

[0, 1],

f (x)

x(1

| ≤

−

≤

−

(cid:18)

∈

2nα2 , avec M = sup

t∈[0,1] |

f (t)

2nα2 , avec M = sup

t∈[0,1] |

f (t)

5. Plus généralement, soit g : [a, b]

R une fonction continue, (a, b)

R2, a < b. Montrer qu’il existe une

suite de polynômes (Qn(g))n qui converge uniformément vers g sur [a, b].

→

∈

Partie II

Une démonstration probabiliste du théorème de Stone-Weierstrass

Soit f : [0, 1]

R une fonction continue et n

N∗.

∈

1. Soit Sn une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et x, x

[0, 1], on pose, pour

∈

→

∈

tout n

N∗, Xn =

(a) Déterminer E(Xn) et V (Xn) respectivement l’espérance et la variance de Xn.

(b) Justiﬁer que, pour tout δ > 0, P (

δ)

−

| ≥

≤

4nδ2 .

2. On introduit la variable aléatoire Yn = f (Xn) et on pose pour tout x

[0, 1], Cn(f )(x) = E(Yn). Pour la

suite de cette question, on se donne un réel ε > 0.

(a) Vériﬁer que x

(b) D’après le théorème de Heine, comme f est continue sur [0, 1], alors il existe β > 0 tel que, pour

. ( On ne vous demande pas de

Cn(f )(x) est une fonction polynomiale déﬁnie sur [0, 1].

[0, 1],

7→

f (x1)

f (x2)

tout (x1, x2)

∈

redémontrer ce résultat ).

[0, 1]

x1 −

x2| ≤

⇒ |

−

| ≤

∈

i. Montrer que (cid:12)

(cid:12)

ii. Montrer que (cid:12)

(cid:12)

≤β (cid:18)

n −x

>β (cid:18)

n −x

(cid:18)

−

(cid:19)

−

(cid:19)

f (x)

Xn =

(cid:19)

(cid:18)

f (x)

Xn =

(cid:19)

(cid:18)

≤

2nβ2

≤

, avec M = sup

t∈[0,1] |

f (t)

(cid:12)

(cid:19)

(cid:12)

(cid:19)

(cid:12)

Partie III

Applications

Dans toute la suite de ce problème, pour tout (a, b)

R2, a < b, on pose I = [a, b].

R une fonction continue, on suppose que pour tout n

∈

1. Soit f : I

→

∈

xnf (x)dx = 0.

(a) Montrer que la fonction f est nulle sur I.

(b) Pour tout n

∈

N, calculer In =

+∞

xne−(1−i)xdx.

[ et non nulle, telle que, pour tout

∞

∈

+∞

xnφ(x)dx = 0.

R continue telle que

2. Soit g : I

→

g(t)dt = 0. Montrer qu’il existe une suite (Pn)n∈N de polynômes

telle que,

Pn(t)dt = 0 et lim

n→∞

sup

t∈[a,b] |

g(t)

−

Pn(t)

= 0.

Épreuve de Mathématiques I

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3. Soit ϕ : I

sup

t∈[a,b] |

lim

n→∞

4. Soit ψ : I

Concours National Commun – Session 2016 – Filière MP

R de classe C 1. Montrer qu’il existe une suite (Pn)n∈N de polynômes telle que,

Pn(t)

−

= 0 et lim

n→∞

ϕ0(t)

sup

t∈[a,b] |

−

P 0

n(t)

= 0

→

ϕ(t)

R continue et positive. Montrer qu’il existe une suite (Pn)n∈N de polynômes telle que, (

→

pour tout n

N et tout t

∈

I, Pn(t)

∈

0 ), et lim

n→∞

sup

t∈[a,b] |

ψ(t)

−

Pn(t)

= 0

≥

Problème 2

Soit (Ω, A, P ) un espace probabilisé, par la suite, les variables aléatoires considérées sont des variables

aléatoires réelles discrètes ou à˘a densité. Si X est une variable aléatoire sur (Ω, A, P ), la fonction génératrice

E(etX ), où

des moments de X, lorsqu’elle existe, est la fonction numérique de la variable réelle t, MX : t

E(etX ) désigne l’espérance de la variable aléatoire etX .

→

Partie I

Cas particulier : variables aléatoires discrètes ﬁnies

Soit X une variable aléatoire discrète prenant un nombre ﬁni de valeurs x1, ..., xr avec les probabilités

respectives p1, ..., pr, où r

N∗. Dans cette partie, on déﬁnit la fonction ϕX sur R∗ par,

∈

R∗, ϕX (t) =

∀

∈

ln(MX (t))

1. Déterminer MZ, lorsque Z suit une loi de Bernoulli de paramètre p, p

2. Montrer que MX est de classe C ∞ sur R, et que pour tout entier naturel k, M (k)

(a) Montrer que ϕX est bien déﬁnie sur R∗ et prolongeable par continuité en 0. On pose ϕX (0) = E(X)

X (0) = E(X k).

[0, 1].

∈

et on note encore ϕX la fonction ainsi prolongée.

(b) Démontrer que ϕX est dérivable en 0 et calculer ϕ0

X (0) en fonction de la variance V (X) de X.

(c)

i. Montrer que pour tout u

0, eu

≤

1 + u +

u2.

ii. Montrer que si X ne prend que des valeurs négatives ou nulles, alors, pour tout t

≥

(d)

i. Pour tout entier i tel que 1

≤

que la famille (f1, ..., fn) est libre.

≤

ϕX (t)

≤

E(X) +

E(X 2).

r, on note fi la fonction déﬁnie sur R, par t

etxi. Montrer

7→

ii. En déduire que deux variables discrètes ﬁnies X et Y ont la même loi si, et seulement si, les

fonctions ϕX et ϕY sont égales.

(e) Montrer que si X et Y sont des variables discrètes ﬁnies indépendantes, alors, ϕX+Y = ϕX + ϕY .

(f) En déduire MX , lorsque X suit une loi binomiale de paramètre s et p, s est un entier naturel non

nul et 0

≤

(g) On dit qu’une variable aléatoire réelle X est symétrique si X et

X ont la même loi. Montrer que

ϕX est impaire si, et seulement si, X est une variable aléatoire réelle symétrique.

−

4. On considère une suite (Xn)n≥1 de variables aléatoires discrètes ﬁnies mutuellement indépendantes

sur (Ω, A, P ), qui suivent la même loi que X. On note m l’espérance de X et σ son écart-type que l’on

suppose strictement positif.

On pose, pour tout entier naturel non nul, Sn = X1 + X2 + ... + Xn et S∗

E(Sn)

n =

−

V (Sn)

Épreuve de Mathématiques I

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Concours National Commun – Session 2016 – Filière MP

(a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n et tout réel non nul t,

ϕS∗

n (t) = −

m√n

√n

ϕX

σ√n

(cid:19)

(cid:18)

(b) En déduire que lim

n→∞

ϕS∗

n (t) =

Partie II

Cas des variables aléatoires discrètes réelles inﬁnies

Soit X une variable aléatoire discrète réelle inﬁnie, notons IX l’ensemble des réels t pour lesquels MX existe.

(a) Montrer que, pour tous réels a, b, c tels que a < b < c et tout réel x, ebx

(b) En déduire que IX est un intervalle contenant 0.

≤

eax + ecx.

2. Soit Y une variable aléatoire discrète réelle qui suit une loi de Poisson de paramètre λ > 0.

Déterminer la fonction génératrice des moments MY de Y .

3. On suppose que la fonction MX est déﬁnie sur un intervalle de la forme ]

a, a[, (a > 0). Notons (xn)n∈N

−

a, a[, un(t) = P (X = xn)etxn. Soit α > 0 tel que [

α, α]

]

⊂

−

a, a[,

−

une énumération des valeurs de X.

Posons, pour tout n

]

∈

et soit ρ

N et tout t

]α, a[.

∈

(a) Montrer que, pour tout k

u(k)

n désigne la dérivée k-ème de la fonction un.

N, tout t

]

∈

−

∈

α, α[ et tout n

∈

u(k)

n (t)

| ≤

P (X = xn)(

)keρ|xn|, où

(b) Montrer que, pour tout k

∈

N, il existe Mk > 0, pour tout t

α, α[ et tout n

]

∈

−

MkP (X = xn)eρ|xn|.

u(k)

n (t)

∈

| ≤

a, a[, et que pour tout k

−

N, E(X k) = M (k)

X (0).

∈

4. En déduire l’espérance et la variance d’une variable aléatoire Y qui suit une loi de Poisson de paramètre

λ > 0.

Partie III

Cas des variables aléatoires à densité

Si X est une variable aléatoire à˘a densité, on note IX l’intervalle de R, qui contient 0, pour lequel MX existe.

1. Soient X et Y deux variables aléatoires à˘a densité indépendantes, qui admettent respectivement des

fonctions génératrices des moments MX et MY , montrer que MX+Y = MX MY .

2. Soit X une variable aléatoire à densité possédant une fonction génératrice des moments MX et une

R2,

densité f . On suppose que cette fonction génératrice des moments soit déﬁnie sur IX =]a, b[, (a, b)

a < 0 < b, et soit s un réel tel que, 0 < s < min(

(a) Montrer que, pour tout k

∈

sk es|t|.

∈

(b) En déduire que, pour tout k

N∗ et tout t

N∗, E(

∈

a, b).

−

∈

| ≤

k) est ﬁnie.

∞

]

∈

−

(d) En déduire que, pour tout k

∈

s, s[, MX(t) =

E(X k)

k=0

N, M (k)

X (0) = E(X k).

FIN DE L’ÉPREUVE

Épreuve de Mathématiques I

4 / 4

FIN

Concours National Commun - Épreuve des Mathématiques I

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