ROYAUME DU MAROC
Minist`ere de l’ ´Education Nationale
et de la Jeunesse
Minist`ere de l’Enseignement
Sup´erieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique
Concours National Commun
d’Admission aux
Grandes ´Ecoles d’Ing´enieurs
Session 2003
´EPREUVE DE MATH ´EMATIQUES II
Dur´ee 4 heures
Concours MP
Cette ´epreuve comporte 3 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L’usage de la calculatrice est interdit
Concours National Commun – Session 2003 – MP
L’´enonc´e de cette ´epreuve, particuli`ere aux candidats du concours MP,
comporte 3 pages.
L’usage de la calculatrice est interdit .
Les candidats sont inform´es que la pr´ecision des raisonnements ainsi que le soin apport´e `a la r´edaction
seront des ´el´ements pris en compte dans la notation. Les candidats pourront admettre et utiliser le r´esultat
d’une question non r´esolue s’ils l’indiquent clairement sur la copie. Il convient en particulier de rappeler avec
pr´ecision les r´ef´erences des questions abord´ees.
Notations et rappels
Dans tout le probl`eme, K d´esigne le corps des r´eels ou celui des complexes (K = R ou C) et n
un entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2. Si p ∈ N∗, on note Mn,p(K) l’espace vectoriel des matrices
a coefficients dans K, a n lignes et p colonnes ; si p = n, Mn,p(K) est not´e simplement Mn(K), c’est
l’algebre des matrices carr´ees d’ordre n a coefficients dans K ; la matrice identit´e de Mn(K) se note
In.
Pour toute matrice A de Mn,p(K), tA d´esigne la matrice transpos´ee de A ; si A ∈ Mn(K), SpK(A)
repr´esente l’ensemble des valeurs propres de A appartenant `a K, Tr (A) sa trace et rg(A) son rang.
Soient A et B deux ´el´ements de Mn(K) ; on consid`ere l’application, not´ee ΦA,B, suivante
ΦA,B : Mn(K) −→ Mn(K)
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X 7→ AX + XB
Si B = A, ΦA,B sera not´ee simplement ΦA.
1`ere Partie
1. Soit C ∈ Mn(K) ; montrer que SpK(C) = SpK(tC).
2. Montrer que l’application ΦA,B est lin´eaire.
3. Soient V ∈ Mn,1(K) (resp. W ∈ Mn,1(K)) un vecteur propre de A (resp. tB) associ´e `a la valeur
propre a (resp. b).
(a) Expliciter les coefficients de la matrice V tW en fonction des coefficients v1, . . . , vn de V
et w1, . . . , wn de W , et en d´eduire que la matrice V tW n’est pas nulle.
(b) Montrer que la matrice V tW est un vecteur propre de ΦA,B ; `a quelle valeur propre est-il
associ´e ?
4. Soit λ une valeur propre de ΦA,B et Y ∈ Mn(K) un vecteur propre associ´e.
(a) Montrer que pour tout entier naturel k, AkY = Y (λIn − B)k.
(b) En d´eduire que pour tout polyn ˆome P , `a coefficients dans K, P (A)Y = Y P (λIn − B).
(c) On suppose que le polyn ˆome caract´eristique PA de A est scind´e sur K et s’´ecrit
PA = (−1)n Y
(X − µ)βµ.
µ∈SpK(A)
• Montrer que Y PA(λIn − B) = 0 et en d´eduire que la matrice PA(λIn − B) n’est pas
inversible.
• En d´eduire qu’il existe a ∈ SpK(A) tel que la matrice (λ −a)In −B ne soit pas inversible.
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5. Conclure que si le polyn ˆome PA est scind´e sur K alors SpK(ΦA,B) = SpK(A) + SpK(B).
6. Soient (Y1, . . . , Yp) une famille libre de Mn,1(K), et Z1, . . . , Zp des vecteurs arbitraires de
p
X
Mn,1(K). Montrer que l’´egalit´e
Y t
i Zi = 0 a lieu si et seulement si les vecteurs Z1, . . . , Zp
sont tous nuls.
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i=1
7. On suppose ici que les matrices A et B sont diagonalisables dans Mn(K) et on d´esigne
par (U1, . . . , Un) et (W1, . . . , Wn) des bases respectives de vecteurs propres de A et tB. En
consid´erant la famille (U t
i Wj)16i,j6n, montrer que l’endomorphisme ΦA,B est diagonalisable.
8. On suppose que les deux matrices A et B sont r´eelles et sym´etriques d’ordre n.
(a) Montrer que l’application <, >: (M, N ) 7→ Tr (tM N ) est un produit scalaire sur Mn(R).
(b) Montrer que si C et D sont deux matrices d’ordre n, alors Tr (DC) = Tr (CD).
(c) Montrer alors que ΦA,B est un endomorphisme autoadjoint de l’espace euclidien
(Mn(R),<, >).
2`eme Partie
Dans cette partie, on prend K = R et on consid`ere une matrice S ∈ Mn(R), sym´etrique et d´efinie
positive. On muni Mn(R) du produit scalaire d´efinie `a la fin de la partie pr´ec´edente.
1. Montrer que les valeurs propres de S sont strictement positives.
2. En d´eduire alors que l’endomorphisme autoadjoint ΦS est d´efinie positif.
3. Soit X ∈ Mn(R) ; montrer que X est sym´etrique si et seulement si ΦS(X) l’est aussi.
4. Soit A =
(cid:19)
(cid:18)a b
c
b
une matrice sym´etrique r´eelle d’ordre 2.
(a) On suppose que A est d´efinie positive ; montrer alors que a > 0 et ac − b2 > 0.
(b) Soit U ∈ M2,1(R) un vecteur de composantes x et y ; exprimer tU AU en fonction de
a, b, c, x et y et montrer que si a > 0 et ac − b2 > 0 alors A est d´efinie positive.
(c) On suppose ici que A est d´efinie positive. On consid`ere une matrice Xλ =
(cid:19)
(cid:18)λ 0
0 1
avec
λ > 0. Calculer la matrice ΦA(Xλ) et montrer qu’on peut trouver des valeurs de b et λ
pour lesquelles cette matrice ne soit pas d´efinie positive.
5. Justifier qu’il existe une matrice orthogonale P et une matrice diagonale D telles que
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S = P DP −1.
Dans la suite, on note λ1, . . . , λn les ´el´ements diagonaux de la matrice D : D = diag(λ1, . . . , λn).
6. Dans cette question, on consid`ere une matrice X ∈ Mn(R) et on pose M = ΦS(X) ; on pose
aussi Y = P −1XP et N = P −1M P . On note ni,j les coefficients de la matrice N et yi,j ceux de
Y .
(a) V´erifier que ΦD(Y ) = N et exprimer les coefficients yi,j `a l’aide des λk et des coefficients
de la matrice N .
On suppose d´esormais que la matrice M est sym´etrique et d´efinie positive.
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(b) Montrer que la matrice N est sym´etrique et d´efinie positive.
(c) Soit U un vecteur de Mn,1(R), de composantes u1, . . . , un.
X
• Montrer que tU Y U =
ni,j
λi + λj
uiuj .
16i,j6n
• Soit α > 0 ; montrer que l’application t 7→ tα−1 est int´egrable sur l’intervalle ]0, 1].
• On note U (s) le vecteur de Mn,1(R), de composantes u1sλ1− 1
2 , s ∈]0, 1].
Justifier que l’application s 7→ tU (s)N U (s) est continue et int´egrable sur l’intervalle ]0, 1].
• Exprimer l’int´egrale de la fonction pr´ec´edente en fonction de tU Y U et en d´eduire que
si U est non nul, alors tU Y U > 0.
2 , . . . , unsλn− 1
(d) Conclure que la matrice X est sym´etrique d´efinie positive.
3`eme Partie
Dans cette partie, on prend K = C et on ´etudie la dimension du noyau de l’endomorphisme
ΦA,B dans le cas o `u B = −A. On muni Mn(C) de l’une de ses normes.
1. On suppose que A = ∆ o u ∆ est la matrice diag(µ1, . . . , µn) avec les µi deux a deux distincts.
(a) On prend n = 2 ; d´eterminer Ker ΦA,−A ; quelle est sa dimension ?
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(b) On revient au cas g´en´eral.
D´eterminer Ker ΦA,−A ; quelle est sa dimension ?
2. Soit A une matrice de Mn(C) ayant n valeurs propres deux `a deux distinctes.
(a) Montrer que A est diagonalisable dans Mn(C).
(b) En utilisant les r´esultats de la question pr´ec´edente, montrer que la dimension de
Ker ΦA,−A est ´egale `a n.
3.
(a) Montrer que l’application A 7→ ΦA,−A est continue sur Mn(C).
(b) Soit q ∈ N∗, avec q 6 n. Montrer que l’application A = (ai,j)16i,j6n 7→ det (cid:0)(ai,j)16i,j6q
est continue sur Mn(C).
(cid:1)
4. Montrer que l’ensemble des matrices de Mn(C) ayant n valeurs propres deux `a deux distinctes
est dense dans Mn(C). (on pourra utiliser la trigonalisation)
5. Soit r un entier naturel, avec r 6 n. On admet les deux r´esultats suivant :
A ∈ Mn(C) ;
• Si le rang de A est ´egal `a r alors il existe une sous-matrice de la matrice A qui est inversible d’ordre r.
• S’il existe une sous-matrice de la matrice A, qui soit d’ordre r et inversible, alors le rang de A est
sup´erieur ou ´egal `a r .
(a) Montrer que l’ensemble Or = {C ∈ Mn(C), rg (C) > r} est un ouvert de Mn(C).
(b) Soit (Ap)p une suite de matrices ´el´ements de Mm(C) avec m > 2, toutes de rang s > 0,
convergeant vers une matrice A. Montrer que le rang de A est inf´erieur ou ´egal `a s.
6. En utilisant les questions 3. et 4. ainsi qu’une version vectorielle du r´esultat de la question 5.(b),
montrer que pour toute matrice A de Mn(C), la dimension du noyau de l’endomorphisme
ΦA,−A est sup´erieure ou ´egale `a n.
FIN DE L’ ´EPREUVE
´Epreuve de Math´ematiques II
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