Sciences Indusrielles
TD 3 - Enoncé
Cinématique du solide
Cinématique du SOLIDE INDÉFORMABLE
TD 3 : Cinématique d’un manège
Un manège est constitué d’un ensemble nacelle 3 monté sur un support 1 aminé en rotation par rapport au
plateau 0 autour d’un axe vertical
01zO r
)
,
(
Sur ce support 1 est montée une roue 2 excentrée qui reste en contact avec le plateau au point D. Le
schéma cinématique, ci-dessous, ne représente q’une seule nacelle. Le seul moteur qui anime l’ensemble, est
1 Dans le but d’étudier les accélérations subies par le client qui veut vivre quelques
placé sur l’axe
secondes de terreur, on se propose ici d’étudier la cinématique de ce personnage modélisé par le point G
(son centre d’inertie).
)x,B(
On considèrera que le siège est en liaison encastrement avec l’ensemble nacelle (S3), dans la réalité, une
rotation du siége par rapport au bras est réalisée.
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TD 3 - Enoncé
Cinématique du solide
Schéma cinématique du modèle du manège
z3
z01
E
z01
A
S1
z01
S0
O
B
x0
C
H
x1
D
Figure 1
S3
G
y2
y1
S2
x1
y0
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TD 3 - Enoncé
Cinématique du solide
1 ETUDE CINEMATIQUE
1.1 Tracer le graphe de structure du modèle du manège présenté ci-dessus.
Ce graphe conduit entre autre, à définir la géométrie suivante :
→
AB =
→
CD =
→
CB =
→
BE =
→
EG −=
3z.a
1z.d
;
2y.e
;
1z.r
;
1x.L
;
1.1.1 JUSTIFIER LA DONNEE DE CES VECTEURS.
1.2 Donner les mobilités du mécanisme schématisé en figure 1.
Cette étude nous amène à définir les angles :
γ
)t(
=
)x,x(
0
1
=α
)t(
,
)y,y(
1
2
et
=β
)t(
)z,z(
1
3
1.3 Vérifier que le modèle proposé est isostatique. (Résoluble en cinématique
ou par le principe fondamental de la mécanique)
1.4 Exprimer la vitesse
1.5 Exprimer la vitesse
1.6 Exprimer la vitesse
1.7 Exprimer la vitesse
→
∈ 0/1AV
→
∈ 0/1BV
→
∈ 0/1EV
→
∈ 0/3GV
en fonction de la mobilité utile
)t(α
en fonction des mobilités
)t(α et
)t(γ
en fonction des mobilités
)t(α et
)t(γ
en fonction des mobilités
)t(α ,
)t(γ
et
)t(β
1.8 Exprimer la composante sur
1x de l’accélération du point G dans le
mouvement de 3/0.
2 ETUDE DU CONTACT EN D
2.1 Exprimer la vitesse de glissement au point de contact roue-sol,
fonction des mobilités
)t(α et
)t(γ
→
∈ 0/2DV
en
2.2 Rechercher la relation entre les différentes mobilités sous la condition
d’adhérence au point D au contact roue-sol.
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TD 3 - Corrigé
Cinématique du solide
Cinématique du SOLIDE INDÉFORMABLE
TD 3 : Cinématique d’un manège
1 CORRECTION
1.1 Tracer le graphe de structure du modèle du manège présenté ci-dessus.
Ce graphe conduit entre autre, à définir la géométrie suivante :
→
AB =
1x.L
;
→
CD =
→
CB =
;
1z.r
Liaison
Cylindre/Cylindre
d'axe A , z01
→
BE =
→
EG −=
3z.a
1z.d
;
2y.e
;
Liaison
pivot
d'axe E, y12
Liaison
Sphère/plan
de normale D, z01
Liaison
pivot
d'axe B, x1
1.1.1 JUSTIFIER LA DONNEE DE CES VECTEURS.
Les points A, E, B, D sont des points intervenants dans le graphe des liaisons. Le point G est un point
appartenant à S3, dont on cherche la cinématique.
Le point C est le centre du cercle de la roue du solide S2.
Conclusion : six points, intervenants dans le graphe des liaisons, nous amènent la géométrie juste
nécessaire pour définir la cinématique (et la statique) du mécanisme. Cinq vecteurs sont donc à définir..
→
AB =
→
CD =
→
CB =
→
BE =
→
EG −=
3y.a
1z.d
;
2y.e
;
1z.r
;
1x.L
;
1.2 Donner les mobilités du mécanisme schématisé en figure 1.
Il y à trois mobilités.
1. La mobilité motrice qui est définie par l’angle
=α
)t(
)y,y(
1
2
. Cette mobilité est appelée aussi mobilité
utile.
2. La mobilité due à la rotation du solide S1 et définie par l’angle
γ
)t(
=
)x,x(
0
1
. Cette mobilité est
totalement indépendante de la précédente.
=β
)t(
3. La dernière mobilité est l’angle
accueillant de client.
)z,z(
1
3
. Cette mobilité permet le basculement du siège
Cette étude nous amène à définir les angles :
Remarque :
Toute la cinématique sera définie à partir des mobilités (
)x,x(
0
)t(
1
,
γ
=
. Ces mobilités ne
pourront être connues lors de l’étude dynamique ou peuvent être imposées en partie par le client du
manège ou des normes de sécurité.
)γγγβββααα
,
,
&&&
&&&
,
&&&
,
,
,
) (
et
) (
;
=α
)t(
)y,y(
1
2
et
=β
)t(
)z,z(
1
3
.
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Cinématique du solide
1.3 Vérifier que le modèle proposé est isostatique. (Résoluble en cinématique
ou par le principe fondamental de la mécanique)
Le problème d’isostatisme ne peut se poser que s’il existe au moins une boucle dans le graphe des
liaisons (les arcs devant être modélisés que par des liaisons usuelles).
Méthode : Nous allons comparer le nombre d’équations indépendantes donner par composition de
mouvement, notées Ec (mécanique Newtonienne) aux inconnues cinématiques effectives (notée ici inconnues
cinématiques principales Icp).
Définition : le nombre cyclomatique est le nombre de boucle indépendante du graphe des liaisons et est
noté γ .
•
Ici le nombre cyclomatique
1=γ
Le nombre d’équations scalaires indépendantes au sens de la cinématique est égal :
Ces équations sont obtenues par fermeture cinématique : {
V
} {
+
V
} {
+
V
1/0
2/1
0/2
Ec =
γ.6
} 0
=
• Le nombre d’équations scalaires indépendantes Ec=6
Le nombre total d’inconnues cinématiques : c’est le nombre de composantes non nulles dans les liaisons
intervenant dans le graphe des liaisons.
• Le nombre total d’inconnues cinématiques Ic=9
Les inconnues cinématiques effectives (notée ici inconnues cinématiques principales Icp).
Les mobilités (
) (
et
) (
;
,
)γγγβββααα
,
,
,
&&&
&&&
• Les inconnues cinématiques principales
,
&&&
,
sont des données en cinématiques et ici m=3, d’où :
Icp
6mIc
=
−
=
Conclusion : Le système est isostatique, c’est à dire résoluble (pas de surabondance de contacts
géométriques)
• D’où
h
=
−
mIc
−
Advertisement
Ec
=
Icp
−
Ec
=
0
1.4 Exprimer la vitesse
→
∈ 0/1AV
en fonction de la mobilité utile
)t(α
Il faut donc rechercher :
V
=
∈
0/1A
→
d
→
OA
dt
0R
Pour ce faire, le mouvement du point A dépendant de la chaîne cinématique (A,B,D), il faut écrire la
fermeture géométrique lue sur le graphe de structure. On obtient ;
→
AB
+
→
BD
+
→
DA
r=
0
Décomposer, à l’aide de CHASLES ces vecteurs de telle sorte que chacun soit colinéaire à l’un des axes
des base données dans le paramétrage. Il vient donc en faisant intervenir le vecteur
→
OA :
→
OA
+
→
OA
→
AB
→
BC
+
++
→
CD
+
→
DH
+
→
HO
r=
0
+
xL
12
−
ye
2
−
zr
01
+
e
cos
α
y
1
−
xL
12
=
0
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Cinématique du solide
en projetant dans R1, (c’est l’indice intervenant le plus dans cette équation vectorielle, on obtient :
+
y
1
→
OA
→
OA
=
e
cos
α
sine
α
z
01
+
zr
01
−
e
cos
α
y
1
d’où :
Conclusion :
→
V
0/1A
∈
=
=
sine
zr
01
+
α
z
01
→
OA
dt
d
0R
αα&=
sin
z.
e
01
Remarque : nous connaissons maintenant le torseur cinématique modélisant la cinématique dans le
mouvement du solide S1 par rapport au solide S0.
{
0S/1SV
}
=
=
γ
&
z.
01
→
Ω
0/S1S
→
V
∈
0/1A
=
αα
e
sin
&
z.
01
A
La cinématique de 1/0 est donc entièrement déterminée.
1.5 Exprimer la vitesse
en fonction des mobilités
)t(α et
)t(γ
→
→
V
∈
0/2B
=
V
∈
1/2B
+
et
V
=
0
: liaison pivot en B entre les solides S1 et S2. d’où :
→
∈ 0/1BV
→
→
V
∈
0/1B
→
V
∈
0/2B
=
∈
1/2B
→
V
∈
0/1B
et
→
V
∈
0/2B
→
V
∈
0/1B
=
=
e
1R
→
V
∈
0/1B
0
0
αα
sin
&
=
+
0/1A
L
0
0
∧
1R
→
V
∈
→
AB
∧
+
→
Ω
=
0
0
γ
&
1R
1R
0/S1S
0
−
γ
L
&
αα
sin
e
&
→
V
∈
0/2B
→
V
∈
0/1B
=
−=
γ
y.L
&
1
+
αα
sin
e
&
z.
01
Remarque : nous connaissons maintenant le torseur cinématique modélisant la cinématique dans le
mouvement du solide S2 par rapport au solide S0.
{
0S/2SV
}
=
+
α
&
x.
12
01
=
γ
&
z.
01
+
α
&
x.
12
→
Ω
0/S2S
=
γ
z.
&
→
Ω
0/S2S
Advertisement
V
→
∈
0/2B
−=
γ
y.L
&
1
+
αα
sin
e
&
z.
01
B
La cinématique de 2/0 est donc entièrement déterminée.
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Cinématique du solide
1.6 Exprimer la vitesse
en fonction des mobilités
)t(α et
)t(γ
→
∈ 0/1EV
→
→
V
∈
0/3E
→
V
∈
1/3E
+
=
→
V
∈
0/1E
→
et
V
∈
0/3E
=
=
0
V
∈
1/3E
→
V
∈
0/1E
: liaison pivot en E entre les solides S1 et S3. d’où :
→
→
V
∈
0/3E
→
V
∈
0/3E
→
V
∈
0/1E
=
=
→
V
∈
0/1B
=
=
et
V
∈
0/1E
0
−
γ
L
&
αα
sin
e
&
1R
→
V
−=
∈
0/1E
→
V
∈
0/1B
0
0
∧
=
+
→
BE
+
→
Ω
∧
0/S1S
0
−
γ
L
&
αα
sin
e
&
=
0
0
γ
&
1R
d
1R
1R
γ
y.L
&
1
+
αα
sin
e
&
z.
01
Remarque : nous connaissons maintenant le torseur cinématique modélisant la cinématique dans le
mouvement du solide S3 par rapport au solide S0.
{
0S/3SV
}
=
→
Ω
0/S3S
→
Ω
0/S3S
→
∈
0/3E
V
=
γ
&
z.
01
+
α
&
x.
12
+
β
&
y.
13
=
γ
&
z.
01
+
α
&
x.
12
+
β
&
y.
13
−=
γ
y.L
&
1
+
αα
sin
e
&
z.
01
E
La cinématique de 3/0 est donc entièrement déterminée.
Bilan des connaissances cinématiques actuelles du mécanisme :
On remarque que maintenant toute la cinématique du mécanisme est connue. Tous les torseurs
) (
et
cinématiques des différents mouvements sont explicités en fonction des mobilités (
)γγγβββααα
,
,
&&&
&&&
) (
;
,
&&&
.
,
,
,
{
1S/2SV
}
=
=
α
&
x.
12
1/S2S
→
Ω
V
∈
→
1/2B
=
0
B
{
1S/3SV
}
=
=
1/S3S
→
Ω
→
V
∈
1/3E
β
&
y.
13
=
0
E
Liaison pivot d’axe
12x,B
Liaison pivot d’axe
13y,E
{
0S/1SV
}
=
=
γ
&
z.
01
→
Ω
0/S1S
→
V
∈
0/1A
=
αα
sin
e
&
z.
01
Advertisement
A
{
0S/2SV
}
=
V
→
∈
0/2B
→
Ω
0/S2S
=
γ
&
z.
01
+
α
&
x.
12
−=
γ
y.L
&
1
+
αα
sin
e
&
z.
01
B
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TD 3 - Corrigé
{
0S/3SV
}
=
Cinématique du solide
=
γ
&
z.
01
+
α
&
x.
12
+
β
&
y.
13
−=
γ
y.L
&
1
+
αα
sin
e
&
z.
01
E
V
→
Ω
0/S3S
→
∈
0/3E
1.7 Exprimer la vitesse
→
∈ 0/3GV
en fonction des mobilités
)t(α ,
)t(γ
et
)t(β
Par le champs antisymétrique dans le mouvement de S3 par rapport à S0, on obtient
→
GE
→
Ω
→
→
V
V
∧
=
+
∈
0/3G
∈
0/3E
0/S3S
→
V
∈
0/3G
=
0
−
sina
β
+
−
γ
L
&
αα
e
sin
&
1R
1R
0
cos
a
β
∧
1R
α
&
β
&
γ
&
=
−
1R
L
β
a
&
+
γ
sin
&
−
ββαα
e
a
&
−
β
cos
+
βαβγ
a
a
&
&
sin
sin
cos
&
→
V
∈
0/3G
=
−
L
1R
β
a
&
γ
+
sin
&
ββαα
−
e
a
&
β
−
cos
βαβγ
+
a
a
&
&
sin
sin
cos
&
1.8 Exprimer la composante sur
1x de l’accélération du point G dans le
mouvement de 3/0.
→
∈Γ
0/3G
=
Vd
→
∈
0/3E
dt
→
Vd
∈
0/3E
x.
1
dt
0R
et
→
Vd
∈
0/3E
x.
1
→
∈Γ
0/3G
=
x.
1
→
Γ
∈
0/3G
x.
1
−=
β
&&
a
cos
2
+
ββ
&
a
cos
β
+
→
=
Γ
∈
0/3G
+
Vx.
1
→
.
∈
0/3E
xd
1
dt
Advertisement
0R
d’où :
−
→
.
V
∈
0/3E
xd
1
dt
0R
0R
0R
−
L
+
β
&
a
γ
sin
&
−
ββαα
e
a
&
−
β
cos
+
βαβγ
a
a
&
sin
&
sin
cos
&
.
1R
0
0
γ
&
∧
1R
1
0
0
dt
1R
→
Γ
∈
0/3G
x.
1
−=
β
a
&&
cos
2
+
ββ
a
&
cos
(
−+
γβ
&
+
L
γ
&
a
)βαβγ
+
a
&
cos
sin
&
1.9 Exprimer la vitesse de glissement au point de contact roue-sol,
fonction des mobilités
)t(α et
)t(γ
→
∈ 0/2DV
en
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{
0S/2SV
}
=
→
→
V
∈
0/2D
=
V
∈
0/2B
→
DB
∧
+
→
Ω
0/S2S
→
Ω
0/S2S
=
γ
&
z.
01
+
α
&
x.
12
V
→
∈
0/2B
B
−=
γ
y.L
&
1
+
αα
sin
e
&
z.
01
=
+
1R
0
γ
−
L
&
αα
sin
e
&
αγ
e
cos
&
(
)
αγ
α
+
+
r
L
&
&
αααα
−
sin
e
e
&
sine
cos
1R
&
−
→
V
∈
0/2D
=
1R
0
cos
α
∧
sine
α
1R
e
+
r
α
&
0
γ
&
1.10 Rechercher la relation entre les différentes mobilités sous la condition
d’adhérence au point D au contact roue-sol.
→
V
∈
0/2D
=
0
d’où le système
−
=
αγ
cos
e
0
&
(
)
αγ
+
α
+
sine
L
r
&
&
−
=
αααα
sin
e
cos
e
&
&
=
0
0
si
mobilités
et
0≠α&
)t(α et
)t(γ
0≠γ&
(sinon pas de mouvement donc pas de glissement en D) et que
(
αγ &
+
r
&
sont liées par la relation :
) 0
=
sine
α
L
+
−
→
V
∈
0/2D
=
0
alors les
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