Chapitre II: Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelle

1

1 − y

0

)

=

1

(1 − y )2

On obtient :

E[X ] =

=

=

0

)

|y = p

p+1

1

1 − y

1

(1 − y )2

p

(1 + p)2 (

p

(1 + p)2

p

(1 + p)2 (1 + p)2 = p

|y = p

p+1

Module PROBABILITÉS I

Chapitre II:Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelleA.U: 2020-2021

14 / 60

Variable aléatoire réelle Moments d’une variable aléatoire

E[X 2] =

+∞

X

k=0

k 2 pX (k) =

=

+∞

X

k=0

+∞

X

k=0

k 2

pk

(1 + p)k+1

k(k − 1)

pk

(1 + p)k+1

+

+∞

X

k=0

k

pk

(1 + p)k+1

=

p2

(1 + p)3

+∞

X

k=0

k(k − 1) (

p

1 + p

)k−2 + E[X ]

En utilisant la dérivée seconde d’une série géométrique :

+∞

X

k=2

k(k − 1) y k−2 = (

+∞

X

k=0

00

y k )

= (

1

1 − y

00

)

=

2

(1 − y )3

On obtient :

E[X 2] =

=

p2

(1 + p)3

p2

(1 + p)3

(

1

1 − y

00

)

|y = p

p+1

+ p

2

(1 − y )3

|y = p

p+1

+ p = 2p2 + p

⇒ V[X ] = p(p + 1).

Module PROBABILITÉS I

Chapitre II:Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelleA.U: 2020-2021

15 / 60

Variable aléatoire réelle

Indépendance de variables aléatoires

Indépendance des variables aléatoires

Définition

Soit X et Y deux v.a. réelles définies sur un espace de probabilité (Ω, A, P). On

dit que X et Y sont indépendantes si, pour toutes fonctions réelles mesurables

bornées f et g, on a :

E(cid:2)f (X )g(Y )(cid:3) = E(cid:2)f (X )(cid:3)E(cid:2)g(Y )(cid:3)

On notera X ⊥⊥Y .

La définition d’indépendance s’étend à une famille quelconque de v.a..

Remarque

Soit X1, . . . , Xn, n v.a. réelles. Elles sont indépendantes si, pour toutes fonctions

réelles mesurables bornées f1, . . . , fn, on a :

E[f1(X1) × · · · × fn(Xn)] = E[f1(X1)] × · · · × E[fn(Xn)]

Module PROBABILITÉS I

Chapitre II:Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelleA.U: 2020-2021

16 / 60

Variable aléatoire réelle

Indépendance de variables aléatoires

Indépendance (cas discret)

Définition

Soit X et Y deux v.a. discrètes définies sur un espace de probabilité (Ω, A, P). On

dit que X et Y sont indépendantes si, pour tous x ∈ X (Ω) et y ∈ Y (Ω), les

événements X = x et Y = y sont indépendants. Autrement dit si, pour tous

x ∈ X (Ω) et y ∈ Y (Ω) :

P(X = x , Y = y ) = P(X = x )P(Y = y )

Remarque

Une famille de v.a. discrètes X1, . . . , Xn à valeurs dans X1(Ω), . . . , Xn(Ω), sont

indépendantes si, pour tous xi de Xi (Ω), on a :

P(X1 = x1, . . . , Xn = xn) = P(X1 = x1) . . . P(Xn = xn)

Module PROBABILITÉS I

Chapitre II:Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelleA.U: 2020-2021

17 / 60

Variable aléatoire réelle

Indépendance de variables aléatoires

Exemple :

Soit X une v.a. à valeurs dans {−1, 0, 1} avec :

P(X = −1) = P(X = 0) = P(X = 1) = 1/3

On définit une v.a. Y par :

Y =

(0 si X 6= 0

1 si X = 0

1 Déterminer la loi de Y .

2 X et Y sont-elles indépendantes ?

Module PROBABILITÉS I

Chapitre II:Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelleA.U: 2020-2021

18 / 60

Variable aléatoire réelle

Indépendance de variables aléatoires

correction :

1 Les valeurs prises par Y sont : 0 et 1, avec :

P(Y = 0) = P((X = −1) ∪ (X = 1)) = P(X = −1) + P(X = 1) = 2/3

P(Y = 1) = P(X = 0) = 1/3

2 On a :

P(X = −1, Y = 1) = P(X = −1/Y = 1)P(Y = 1) = 0 × 1/3 = 0

P(X = −1)P(Y = 1) = 1/9

On en déduit que les v.a. X et Y ne sont pas indépendantes.

Module PROBABILITÉS I

Chapitre II:Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelleA.U: 2020-2021

19 / 60

Variable aléatoire réelle

Indépendance de variables aléatoires

Exercice :

Soit X , Y deux v.a. indépendantes à valeurs dans N et S = X + Y . Déterminer la

loi de la v.a. S dans les deux cas suivants :

1 X et Y sont de lois B(n, p) et B(m, p), avec n, m ∈ N et p ∈]0, 1[.

2 X et Y sont de lois de Poisson de paramètres respectivement λ > 0 et µ > 0.

Module PROBABILITÉS I

Chapitre II:Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelleA.U: 2020-2021

20 / 60

Variable aléatoire réelle

Indépendance de variables aléatoires

correction :

1 On peut voir X comme la somme de n v.a. X1, . . . , Xn de même loi de

Bernoulli de paramètre p, indépendantes. De même, on peut voir Y comme

la somme de m v.a. Xn+1, . . . , Xn+m de même loi de Bernoulli de paramètre

p, indépendantes. Comme X et Y sont indépendantes, les X1, . . . , Xn+m sont

indépendantes et toutes de de même loi de Bernoulli de paramètre p. De

plus :

S = X + Y =

n+m

X

i=1

Xi

par définition, S suit une loi binomiale de paramètres n + m et p.

Module PROBABILITÉS I

Chapitre II:Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelleA.U: 2020-2021

21 / 60

Variable aléatoire réelle

Indépendance de variables aléatoires

1 Puisque X et Y à valeurs dans N, alors S(Ω) = N. Pour déterminer la loi de

S il suffit de calculer P(S = n), ∀n ∈ N. Soit n ∈ N, on a :

P(S = n) = P(X + Y = n)

D’autre part, pour k ∈ Y (Ω) = N, on définit l’évènement Ak = {Y = k},

alors

on a :

∀k 6= k 0, Ak ∩ Ak 0 = ∅

et

∪k∈N Ak = Y (Ω) = N

donc la suite d’évènements (Ak )k∈N forme un système complet de N. Par

suite :

P(S = n) = P(X + Y = n)

X

FPT

=

k≥0

P(X + Y = n/Y = k)P(Y = k)

X

=

k≥0

n

X

k=0

=

P(X = n − k/Y = k)P(Y = k)

P(X = n − k)P(Y = k)

Module PROBABILITÉS I

Chapitre II:Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelleA.U: 2020-2021

22 / 60

Variable aléatoire réelle

Indépendance de variables aléatoires

X ∼ E(λ) ⇒ P(X = n − k) =

λn−k

(n − k)!

e−λ

Y ∼ E(µ) ⇒ P(Y = k) =

µk

(k)!

e−µ

On a :

d’où

P(S = n) =

n

X

λn−k

(n − k)!

k=0

e−(λ+µ)

n!

e−(λ+µ)

n!

=

=

n

X

k=0

n

X

k=0

e−λ µk

(k)!

e−µ

n!

k!(n − k)!

λn−k µk

n λn−k µk

C k

Module PROBABILITÉS I

Chapitre II:Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelleA.U: 2020-2021

23 / 60

Variable aléatoire réelle

Indépendance de variables aléatoires

En utilisant la formule du binôme :

On obtient :

n

X

k=0

n λn−k µk = (λ + µ)n

C k

P(S = n) =

(λ + µ)n

n!

e−(λ+µ)

On en déduit que S suit la loi de Poisson de paramètre λ + µ.

Module PROBABILITÉS I

Chapitre II:Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelleA.U: 2020-2021

24 / 60

Fonction génératrice

1

Introduction

2 Variable aléatoire réelle

3 Fonction génératrice

4 Fonction caractéristique

5 Annexe

Module PROBABILITÉS I

Chapitre II:Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelleA.U: 2020-2021

25 / 60

Fonction génératrice

Fonction génératrice

Définition

Soit X une v.a. discrète à valeurs dans N. On appelle fonction génératrice de X , la

fonction définie par :

GX (z) =

X

k∈X (Ω)

P(X = k)z k , −1 ≤ z ≤ 1

On vérifie immédiatement que la fonction génératrice ne dépend que de la loi de

X , et que l’on peut en fait écrire GX (z) = E[z X ] .

Remarque

GX (1) =

X

P(X = k)1k =

X

P(X = k)

k∈X (Ω)

k∈X (Ω)

= 1

(car est une loi de probabilité)

Module PROBABILITÉS I

Chapitre II:Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelleA.U: 2020-2021

26 / 60

Fonction génératrice

Application :

1 Déterminer la fonction génératrice de la loi de Bernoulli B(p).

2 Déduire la fonction génératrice de la loi binomiale B(n, p).

3 Déterminer la fonction génératrice de la loi géométrique G(p).

Module PROBABILITÉS I

Chapitre II:Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelleA.U: 2020-2021

27 / 60

Correction :

Fonction génératrice

1 Soit X une v.a. suit la loi de Bernoulli de paramètre p. Alors :

GX (z) =

X

k∈X (Ω)

P(X = k)z k =

X

k∈{0,1}

P(X = k)z k = P(X = 0)z 0 + P(X = 1)z 1

= (1 − p) + pz

2 Soit X une v.a. suit la loi binomiale de paramètres n et p. Alors :

GX (z) =

X

k∈X (Ω)

P(X = k)z k =

X

P(X = k)z k =

k∈{0,...,n}

=

n

X

k=0

n

X

k=0

n pk (1 − p)n−k z k

C k

n (pz)k (1 − p)n−k

C k

En utilisant la formule du binôme :

On obtient :

n

X

k=0

n (pz)k (1 − p)n−k = ((1 + p) + pz)n

C k

GX (z) = ((1 − p) + pz)n

Module PROBABILITÉS I

Chapitre II:Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelleA.U: 2020-2021

28 / 60

Fonction génératrice

1 Soit X une v.a. suit la loi géométrique de paramètre p. Alors :

GX (z) =

X

k∈X (Ω)

P(X = k)z k =

X

k∈N∗

P(X = k)z k =

+∞

X

k=1

p(1 − p)k−1z k

=

p

1 − p

+∞

X

k=1

(z(1 − p))k

En utilisant la fait que P+∞

z(1 − p) ∈] − 1, 1[, donc convergente et on a :

k=1

(z(1 − p))k est une série géométrique de raison

On obtient :

+∞

X

k=1

(z(1 − p))k = z(1 − p)

1

1 − z(1 − p)

GX (z) =

pz

1 − (1 − p)z

Module PROBABILITÉS I

Chapitre II:Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelleA.U: 2020-2021

29 / 60

Fonction génératrice

Remarque

Comme P

de convergence supérieur ou égal à 1. Alors GX est de classe C∞ sur ] − 1, 1[

et on a :

k∈X (Ω) P(X = k) = 1, la série entière P

k∈X (Ω) P(X = k)z k a un rayon

G (n)

X (z) =

=

+∞

X

k=n

+∞

X

k=n

k(k − 1)(k − 2) . . . (k − n + 1)P(X = k)z k−n

k!

(k − n)!

P(X = k)z k−n, ∀n ≥ 0

Proposition

La fonction génératrice GX caractérise la loi de X et on a :

P(X = n) =

1

n!

G (n)

X (0)

Module PROBABILITÉS I

Chapitre II:Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelleA.U: 2020-2021

30 / 60

Fonction génératrice

Théorème

Soit X et Y deux v.a. à valeurs dans N. Alors, on a :

X L= Y ⇔ GX (z) = GY (z), ∀z ∈ [−1, 1]

avec X L= Y i.e. X égale à Y en loi (X et Y ont la même loi).

Proposition

Soit X et Y deux v.a. à valeurs dans N, indépendantes. La fonction génératrice de

la v.a. X + Y est le produit des fonctions génératrices :

GX +Y (z) = GX (z)GY (z), −1 ≤ z ≤ 1

Remarque

La réciproque de la proposition précédente est fausse. Autrement dit :

GX +Y (z) = GX (z)GY (z) ∀z ∈ [−1, 1] (cid:59) X et Y sont indépendantes

Module PROBABILITÉS I

Chapitre II:Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelleA.U: 2020-2021

31 / 60

Fonction génératrice

Application :

1 Retrouver la fonction génératrice de la loi binomiale B(n, p).

(cid:73) Déterminer la fonction génératrice de la loi de Poisson P(λ).

(cid:73) Déterminer la fonction génératrice de la somme de deux lois de Poisson P(λ)

2

et P(µ), indépendantes.

Module PROBABILITÉS I

Chapitre II:Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelleA.U: 2020-2021

32 / 60

Fonction génératrice

Correction :

1 Soit X une v.a. suit la loi binomiale de paramètre n et p. Alors, X peut

s’écrire comme la somme de n v.a. X1, . . . , Xn de même loi de Bernoulli de

paramètre p, indépendantes. D’où on a :

GX (z) = GX1+X2+···+Xn (z) = GX1(z) × · · · × GXn (z)

= ((1 − p) + pz) × · · · × ((1 − p) + pz)

}

|

{z

n−fois

= ((1 − p) + pz)n

Module PROBABILITÉS I

Chapitre II:Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelleA.U: 2020-2021

33 / 60

Fonction génératrice

1

(cid:73) Soit X une v.a. suit la loi de Poisson de paramètre λ. Alors :

GX (z) =

X

k∈X (Ω)

P(X = k)z k =

+∞

X

n=0

P(X = k)z k =

+∞

X

k=0

λk

k!

e−λz k

= e−λ

+∞

X

k=0

(λz)k

k!

En utilisant le fait que P+∞

dont la somme vaut eλz . On obtient donc :

(λz)k

k!

k=0

est une série exponentielle convergente

GX (z) = e−λ eλz = eλ(z−1)

(cid:73) Soit X et Y deux v.a. suivent la loi de Poisson de paramètres λ et µ,

indépendantes. Alors :

GX +Y (z) = GX (z)GY (z) = eλ(z−1)eµ(z−1) = e(λ+µ)(z−1)

En particulier, on parvient à retrouver que la loi de la somme de deux v.a

suivent loi de Poisson indépendantes est de Poisson.

Module PROBABILITÉS I

Chapitre II:Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelleA.U: 2020-2021

34 / 60

Fonction génératrice

Théorème

Soit X une v.a. à valeurs dans N. X admet un moment d’ordre p, si et seulement

si, GX est p fois dérivable en 1 et on a :

X (1) = E(cid:2)X (X − 1) . . . (X − p + 1)(cid:3)

G (p)

Corollaire

Soit X une v.a. à valeurs dans N admet un moment d’ordre 2, alors :

0

E[X ] = G

V[X ] = G

X (1)

X (1) + G

00

0

X (1) − G

0

X (1)2

Module PROBABILITÉS I

Chapitre II:Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelleA.U: 2020-2021

35 / 60

Fonction génératrice

Application :

Calculer le moment d’ordre 3 d’une v.a X suit la loi de Poisson de paramètre

λ > 0.

Module PROBABILITÉS I

Chapitre II:Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelleA.U: 2020-2021

36 / 60

Fonction génératrice

Correction :

La fonction génératrice de X est GX (z) = eλ(z−1), donc :

0

0

00

X (z) = λeλ(z−1) donc G

G

X (z) = λ2eλ(z−1) donc G

G

X (z) = λ3eλ(z−1) donc G

G

X (1) = E[X ] = λ

X (1) = E[X (X − 1)] = λ2

X (1) = E[X (X − 1)(X − 2)] = λ3

000

000

00

Cela permet de calculer :

E[X 2] = E[X (X − 1)] + E[X ] = λ2 + λ

Donc

E[X 3] = E[X (X − 1)(X − 2)] + 3E[X 2] − 2E[X ] = λ3 + 3λ2 + λ

Module PROBABILITÉS I

Chapitre II:Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelleA.U: 2020-2021

37 / 60

Fonction caractéristique

1

Introduction

2 Variable aléatoire réelle

3 Fonction génératrice

4 Fonction caractéristique

5 Annexe

Module PROBABILITÉS I

Chapitre II:Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelleA.U: 2020-2021

38 / 60

Fonction caractéristique

Fonction caractéristique

Définition

Soit X une v.a. réelle, la fonction complexe définie par :

ΦX :R → C

t 7→ ΦX (t) = E[eitX ]

s’appelle la fonction caractéristique de X .

Conséquence

1 Si X est une v.a. discrète, on a :

ΦX (t) =

X

k∈X (Ω)

eitk P(X = k)

2 Si X est une v.a. continue de densité f , on a :

ΦX (t) =

Z

R

eitx f (x ) dx

Module PROBABILITÉS I

Chapitre II:Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelleA.U: 2020-2021

39 / 60

Fonction caractéristique

Remarque

ΦX (0) = 1 .

|ΦX (t)| ≤ 1, ∀t ∈ R .

Propriétés

Soit X une v.a. réelle continue, alors la fonction caractéristique ΦX satisfait les

conditions suivantes :

1 ΦX est continue.

2 ΦX (−t) = ΦX (t) .

3 Si X est symétrique (i.e. X et −X ont la même loi), alors ΦX est réelle.

Module PROBABILITÉS I

Chapitre II:Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelleA.U: 2020-2021

40 / 60

Fonction caractéristique

Application :

1 Déterminer la fonction caractéristique de la loi uniforme U([−1, 1]).

2 Déterminer la fonction caractéristique de la loi exponentielle E(1).

Module PROBABILITÉS I

Chapitre II:Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelleA.U: 2020-2021

41 / 60

Fonction caractéristique

Correction :

1

(cid:73) Pour t 6= 0, on a :

ΦX (t) =

Z

R

eitx f (x ) dx =

1

2

Z 1

−1

eitx dx =

1

i2t

[eitx ]1

−1 =

eit − e−it

i2t

=

sin(t)

t

(cid:73) Pour t = 0, par continuité de ΦX on prend ΦX (0) = limt→0 ΦX (t) = 1

2 Pour t ∈ R, on a :

ΦX (t) =

Z

R

eitx f (x ) dx =

Z +∞

0

eitx e−x dx =

Z +∞

e(−1+it)x dx

[e(−1+it)x ]+∞

0

e(−1+it)x − 1]

[

lim

x→+∞

[0 − 1]

0

1

−1 + it

1

−1 + it

1

−1 + it

1

1 − it

=

=

=

=

Module PROBABILITÉS I

Chapitre II:Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelleA.U: 2020-2021

42 / 60

Fonction caractéristique

Proposition

Soit X une v.a. de loi N (0, 1), sa fonction caractéristique vaut :

ΦX (t) = e

−t2

2

Proposition

1 Soit a, b ∈ R et X une v.a. réelle, alors on a :

ΦaX +b(t) = eibt ΦX (at), ∀t ∈ R

2 Soit X et Y deux v.a. réelles indépendantes, alors on a :

ΦX +Y (t) = ΦX (t)ΦY (t), ∀t ∈ R

Module PROBABILITÉS I

Chapitre II:Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelleA.U: 2020-2021

43 / 60

Fonction caractéristique

Corollaire

Soit X une v.a. gaussienne d’espérance m et de variance σ2. Alors, on a :

En effet :

φX (t) = e

−t2σ2

2

X L= σ Z + m,

où Z est une v.a. gaussienne centrée réduite. Alors, on a :

φX (t) = φσ Z +m(t) = eitm φZ (σt) = eitm e

−t2 σ2

2

Module PROBABILITÉS I

Chapitre II:Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelleA.U: 2020-2021

44 / 60

Fonction caractéristique

Exercice :

Soit X une v.a. suit la loi exponentielle de paramètre 1. Soit λ > 0, on pose

Y = 1

λ X .

1 Déterminer la loi de la v.a. Y .

2 Calculer la fonction caractéristique de la v.a. Y .

Module PROBABILITÉS I

Chapitre II:Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelleA.U: 2020-2021

45 / 60

Fonction caractéristique

Correction :

1

(cid:73) Pour y < 0, on a :

FY (y ) = P(Y ≤ y ) = P(

1

λ

X ≤ y ) = P(X ≤ λy ) = 0

(cid:73) Pour y ≥ 0, on a :

FY (y ) = P(Y ≤ y ) = P(

1

λ

X ≤ y ) = P(X ≤ λy ) = FX (λy ) = 1 − e−λy

⇒ Y suit la loi exponentielle de paramètre λ.

2 Soit t ∈ R, on a :

φY (t) = φ 1

λ X (t) = φX (

1

λ

t) =

λ

λ − it

Module PROBABILITÉS I

Chapitre II:Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelleA.U: 2020-2021

46 / 60

Fonction caractéristique

Théorème

La fonction caractéristique caractérise la loi : deux v.a. ont même loi si et

seulement si elles ont même fonction caractéristique.

Proposition

Soit X une v.a. continue à valeurs dans R et φX sa fonction caractéristique. Si φX

est intégrable, c’est-à-dire si :

Z

R

|φX (t)| dt < +∞

alors X admet une densité de probabilité f définie sur R par :

f (x ) =

1

2π

Z

R

eitx ΦX (t) dt

Module PROBABILITÉS I

Chapitre II:Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelleA.U: 2020-2021

47 / 60

Fonction caractéristique

Application :

Soit X une v.a. continue réelle dont la fonction caractéristique donnée par :

φX (t) = e−|t|, ∀t ∈ R .

Trouver la densité de probabilité de X .

Module PROBABILITÉS I

Chapitre II:Fonctions génératrice et caractéristique d’une variable aléatoire réelleA.U: 2020-2021

48 / 60

Fonction caractéristique

Correction :

f (x ) =

1

2π

Z

R

eitx φX (t) dt =

1

2π

eitx e−|t| dt

Z

R

Z 0

e(1+ix )t dt +

Z +∞

0

1

2π

e(−1+ix )t

2π (−1 + ix )

1

2π (1 + ix )

]0

−∞ + [

+

=

1

2π

= [

−∞

e(1+ix )t

2π (1 + ix )

1

2π (1 − ix )

1

π (1 + x 2)

=

=

e(−1+ix )t dt

]+∞

0

On parvient à retrouver que X suit la loi de Cauchy et φ est la fonction

caractéristique associée à la loi de Cauchy.

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Fonction caractéristique

Proposition

Soit X une v.a. réelle. Si X admet un moment d’ordre k alors sa fonction

caractéristique φX est k−fois dérivable et on a :

E[X k ] =

1

i k φ(k)

X (0)

corollaire

Soit X une v.a. réelle admet un moment d’ordre 2, alors :

0

E[X ] = −iφ

V[X ] = −φ

X (0)

X (0) + (φ

00

0

X (0))2

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Fonction caractéristique

Application :

Calculer le moment d’ordre 3 d’une v.a X suit la loi exponentielle de paramètre

λ > 0.

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Fonction caractéristique

Correction :

La fonction caractéristique de la v.a. X est φX (t) = λ

λ−it , alors :

φ

0

X (t) =

φ

00

X (t) =

φ

000

X (t) =

iλ

(λ − it)2

−2λ

(λ − it)3

−i6λ

(λ − it)4

donc

E[X 3] =

000

1

i 3 φ

(0) =

1

i 3

−i6λ

(λ − it)4 |t=0 =

6

λ3 .

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Annexe

1

Introduction

2 Variable aléatoire réelle

3 Fonction génératrice

4 Fonction caractéristique

5 Annexe

Module PROBABILITÉS I

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Annexe

Lois usuelles

Lois discrètes

1 Loi de Bernoulli de paramètre p ∈]0, 1[ :

(cid:73) Univers : X (Ω) = {0, 1} .

(cid:73) Loi de probabilité : P(X = k) = pk (1 − p)1−k .

2 Loi binomiale de paramètres n ∈ N∗ et p ∈]0, 1[ :

(cid:73) Univers : X (Ω) = {0, 1, . . . , n} .

(cid:73) Loi de probabilité : P(X = k) = C k

3 Loi géométrique de paramètre p ∈]0, 1[ :

n pk (1 − p)n−k .

(cid:73) Univers : X (Ω) = N∗ .

(cid:73) Loi de probabilité : ∀k ∈ N∗, P(X = k) = (1 − p)k−1p .

4 Loi de Poisson de paramètre λ > 0 :

(cid:73) Univers : X (Ω) = N .

(cid:73) Loi de probabilité : P(X = k) = λk

k! e−λ .

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Annexe

Lois usuelles

Lois continues

1 Loi uniforme sur l’intervalle [a, b], avec a < b :

f (x ) =

( 1

b−a ,

0,

si x ∈ [a, b]

sinon

2 Loi exponentielle de paramètre λ > 0 :

f (x ) = λ e−λx 1[0,+∞[(x )

3 Loi normale de moyenne m ∈ R et de variance σ2 ∈ R∗

+ :

f (x ) =

1

√

σ

2π

e− 1

2 ( x−m

σ )2

4 Loi de Cauchy de paramètre de position 0 et de paramètre d’échelle 1 :

f (x ) =

1

π(1 + x 2)

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Annexe

Séries entières

Séries entières usuelles

1 Série géométrique : Pour x ∈] − 1, 1[, on a :

1

1 − x

=

+∞

X

k=0

x k

(

1

1 − x

0

)

=

1

(1 − x )2 =

(

1

1 − x

00

)

=

2

(1 − x )3 =

+∞

X

k=1

+∞

X

k=2

kx k−1

k(k − 1)x k−2

2 Série exponentielle : Pour x ∈ R, on a :

ex =

+∞

X

k=0

x k

k!

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Formules à utiliser

Annexe

1 Combinaison :

Soit n, k ∈ N avec k ≤ n, on a :

C k

n =

n!

k!(n − k)!

2 Formule du binôme :

Soit a, b ∈ R, et n ∈ N, on a :

(a + b)n =

n

X

k=0

n ak bn−k =

C k

n

X

k=0

n bk an−k

C k

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Fonctions génératrices des lois discrètes usuelles

Annexe

1 Loi de Bernoulli de paramètre p ∈]0, 1[ :

2 Loi binomiale de paramètres n ∈ N∗ et p ∈]0, 1[ :

GX (z) = (1 − p) + pz

GX (z) = ((1 − p) + pz)n

3 Loi géométrique de paramètre p ∈]0, 1[ :

GX (z) =

pz

1 − (1 − p)z

4 Loi de Poisson de paramètre λ > 0 :

GX (z) = eλ(z−1)

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Fonctions caractéristiques des lois continues usuelles

Annexe

1 Loi uniforme sur l’intervalle [−1, 1] :

φX (t) =

( sin(t)

t

,

1,

si t 6= 0

si t = 0

2 Loi exponentielle de paramètre λ > 0 :

φX (t) =

λ

λ − it

3 Loi normale de moyenne m ∈ R et de variance σ2 ∈ R∗

+ :

φX (t) = eitm e

−t2σ2

2

4 Loi de Cauchy de paramètre de position 0 et de paramètre d’échelle 1 :

φX (t) = e−|t|

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Annexe

Delmas, Jean-François.

Introduction au calcul des probabilités et à la statistique.

2013.

Benjamin JOURDAIN.

Probabilités et statistique pour l’ingénieur.

2018.

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