Chapitre 26 de Maths niveau Maths SPE PC / PC*
© Archi 2002
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SSyyssttèèmmeess DDiifffféérreennttiieellss
1 – Généralités :
Définition :
1°)
On considère un système différentiel linéaire à coefficients constants sans second membre,
+
+
=
x
1
'
a
1,1
.
x
1
...
a
,1
n
.
x
n
c'est-à-dire un système de la forme : (S)
!""""!
1,
n
Où les ai,j sont des constantes données et où x1,…,xn sont n fonctions inconnues d'un intervalle de I
dans K. Une solution de (S) est la donnée de n fonctions x1,…,xn de I dans K pour lesquelles (S) est
vérifié.
,
nn
n
n
x
=
'
a
.
x
1
+
+
...
a
.
x
2°)
Ecriture matricielle de (S) :
On pose A = (aij)i,j∈Mn(K) et X =
x
1
!
nx
. Alors X ' =
'1
x
!
nx
'
et (S) ↔ X ' = A.X
Propriété : ( Théorème de Cauchy )
En reprenant les notations précédentes, ∀ t0∈I , ∀ X0∈K n , il existe une et une seule solution du
système (S) : I→K n , t # X(t) =
)(1
tx
!
)(
tx
n
vérifiant la condition initiale : X(t0) = X0.
Corollaire : ( Structure de l'ensemble des solutions )
L'ensemble des solutions sur un intervalle I de (S) est un K-espace vectoriel de dimension n.
2 – Résolution pratique dans le cas où A est diagonalisable :
Exercice :
Intégrer le système différentiel (S)
dx
dt
dy
dt
dz
dt
Advertisement
−−+=
x
y
z
−+−=
x
y
z
+−−=
x
y
z
On reconnaît un système différentiel linéaire à coefficients constants de 3 équations à 3 inconnues.
Donc l'ensemble s des solutions de (S) est un espace vectoriel de dimension 3.
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Posons X =
x
y
z
et A =
1
−
1
−
1
−
1
1
−
1
−
−
1
1
1
. Alors (S) ↔
dX
dt
.=
XA
A étant une matrice symétrique réelle, est diagonalisable sur R et après quelques calculs, on trouve :
A' =
02
20
00
0
0
− 1
et A' = P-1.A.P, en prenant par exemple P =
1
−
1
0
1
0
−
1
1
.
11
On se place sur la nouvelle base de vecteurs propres définie par P. On pose X' =
coordonnées de
x
y
z
dans cette base. On a : X = P.X '
x
'
'
y
'
z
Advertisement
les nouvelles
Dans la nouvelle base, le système s'écrit :
Donc : (S) ↔
dX
dt
dY
dt
dZ
dt
=
.2
X
=
2
Y
↔
−=
Z
dX
dt
dY
dt
dZ
dt
=
'.
A
X
Y
Z
X
Y
Z
=
=
=
λ
.
µ
.
ν
.
exp(
).2
t
).2
exp(
t
−
)
exp(
t
, (λ,μ,ν)∈R3.
On revient ensuite à la base initiale. X = P.X '. D'où finalement la solution générale du système :
)(
tx
)(
ty
)(
tz
=
(
−=
−=
µλ
+
).
λ
.
µ
.
exp(
exp(
).2
exp(
t
ν
+
.
ν
Advertisement
+
.
).2
t
).2
t
+
ν
.
exp(
exp(
exp(
−
t
−
t
)
)
−
t
)
3 – Résolution dans le cas où K = R et où A est diagonalisable sur C mais pas sur R :
Exercice :
Etude du système différentiel (S) :
y
'
1
y
'
2
=
y
1
−=
2
+
y
1
y
2
+
y
2
sur R.
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1
'
'
y
y
=A.
y
1
y
1
−
. Alors
On pose A =
1
12
Finalement, comme dans le précédent exercice, on arrive à :
λ
−
.
On diagonalise A sur C : A' =
0
2.
i
2.
i
0
exp[(
1
exp[(
1
).2
2
+
µ
.
−
+
+
=
1
1
]
y
x
i
2
1
y
2
=
Advertisement
.2.
i
λ
.
exp[(
1
+
i
).2
x
]
−
.2.
i
i
µ
.
).2
x
]
exp[(
1
−
i
).2
x
]
= P-1.A.P , avec P =
i
1
1
2
−
i
2
.
Cependant on ne peut se satisfaire de ce résultat vu que l'on cherche les solutions sur R.
En posant Z =
y
1
y
2
, on a : Z = λ.Z1 + μ.Z2 , avec Z1 =
exp[(
1
+
])2.
i
x
.2.
i
exp[(
1
+
])2.
i
x
et Z2 =
1Z .
Ainsi, (Re(Z1),Im(Z1)) est une base de sR.
D'où la solution générale sur R :
(
λ
.
).
exp(
=
x
y
1
cos(
(
−
.2).
λ
.
y
2
=
exp(
x
).2
x
+
µ
.
sin(
).2
x
)
cos(
).2
x
+
µ
.
sin(
).2
x
)
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