Chapitre 10 : Mécanique des fluides

pg

pd

cube de fluide en équilibre

il doit exister une force B qui équilibre mg

si cube de métal, les forces sont différentes

cette force B provient du fluide environnant

pg = pd

pb = ph + ρgh

(pas de force latérale)

(force dirigée vers le haut)

B = (pb − ph)A = ρghA = ρgV

pb

B = ρgV

B = poussée d’Archimède = poids du fluide déplacé par l’objet

• Coule ou flotte ?

bilan des forces :

mg − B = (ρ − ρf )gV

bois

!B

métal

!B

m!g

m!g

ρ<ρ f

flotte

ρ>ρ f

coule

• En surface :

volume total = volume immergé + volume émergé

!B

m!g

mg − B = 0

ρgVtot − ρf gVim = 0

ρ

ρf

= Vim

Vtot

• Iceberg :

ρeau = 1000 kg/m3

ρglace = 917 kg/m3

Vi

Vtot

= 0.917

• Bateaux :

• Problème du glaçon qui fond :

avant

après

∆h ?

Le niveau d’eau ne varie pas !

• Application : fonte des glaces aux pôles.

5. Dynamique des fluides

• Types d’écoulement :

• laminaire : la vitesse en chaque point est constante au cours du temps.

On peut définir des lignes de courant.

• turbulent : la vitesse en chaque point de l’écoulement varie

au cours du temps.

• Fluide idéal :

• écoulement laminaire : vitesse stationnaire en un point
• non-visqueux : pas de perte d’énergie
• incompressible : densité unique
• irrotationnel : pas de tourbillon

6. Equation de continuité

• Pipe-line :

∆x1

v1

∆x2

v2

tranches de fluide :

∆x1 = v1∆t

∆x2 = v2∆t

m1 = ρA∆x1

m2 = ρA∆x2

fluide incompressible :

m1 = m2

A1v1 = A2v2

• Débit : Av = Q

L’équation de continuité est donc une équation de conservation du débit.

• Exemples :

• bouchons

• seringues

vp

vs

la vitesse augmente

dans le rétrécissement !

section piston > section aiguille

vs

vp

≈ 100 − 1000

• Filet du robinet :

Les particules d’eau sont en chute libre : v = v0 + gt

7. Equation de Bernoulli

• Tranches :

z2

z1

∆x1

v1

∆x2

v2

travail : W1 = p1A1∆x1 = p1V

W2 = −p2A2∆x2 = −p2V

W1 + W2 = (p1 − p2)V

énergie cinétique :

∆K =

1

2

mv2

2 −

1

2

mv2

1

énergie potentielle :

∆U = mgz2 − mgz1

W =∆ U +∆ K

(p1 − p2)V =

1

2

ρV v2

2 − 1

2

ρV v2

1 + ρV gz2 − ρV gz1

p +

1

2

ρv2 + ρgz = C

• Loi de Torricelli :

v = 0

v

Bernoulli :

ρgh =

1

2 ρv2

v = !2gh

c’est une simple chute libre !

• Effet Venturi

Bernoulli simplifié : ∆p = −

1

2 ρ ∆v2

Une dépression se crée là où le fluide s’écoule rapidement.

• Expérience : balle de ping-pong :

• Adhésion :

flux d’air

• Portance des ailes d’avions :

!F

vh

vb

vb

vh

vb < vh

pb > ph

vb ≈ vh

• Tempêtes et toitures :

!F

vent

• Tube de Venturi :

v1

p1

v1 < v2

p1 > p2

p2

v2

v1

p1

aspiration

• Application : approcher le vide

10−2 atm

• Autre application : sprays

8. Viscosité

• Définition : en écoulement laminaire, des couches de fluide de surface S

glissent les unes sur les autres : force de frottement entre les couches.

v

z

∆

v = 0

gradient de vitesse

∆v

∆z

frottement : Ff = ηS

∆v

∆z

Les frottements visqueux impliquent une dissipation d’énergie.

• Unités de la viscosité :

[Pa s]

• Valeurs typiques de la viscosité :

fluide

air

eau

huile

miel

verre fondu

η [Pa s]

2 10−5

10−3

0.08

103

1012

ρ [kg/m3]

1.25

1000

900

-

-

• Loi de Poiseuille : débit dans un tube cylindrique

L

d

profil de vitesse parabolique

Q = π

8

∆p

η

d4

L

• Frottement visqueux :

Un objet sphérique placé dans un fluide en écoulement laminaire subit une force.

F = 6πηRv

loi de Stokes

• Chute dans un fluide visqueux : vitesse limite

• Turbulence : les tourbillons produisent une chute de pression

force de frottement supplémentaire :

F = C

ρ

2 Av2

C est le coefficient de résistance qui varie de 0.05 à 1.3

• Nombre de Reynolds :

rapport des forces de frottement turbulence/laminaire

Re = ρvd

η

• écoulement laminaire si
• écoulement turbulent si Re > 1

Re < 1

• Ronds de fumée :

Etna, Sicile.

enroulement !

• Autres anneaux : dans l’eau !

dauphins

PMMH, ESPCI, Paris.

9. Tension superficielle

• Définition :

!F

F = 2γ"

force par unité de longueur

• Origine à l’échelle moléculaire : déficit en énergie de cohésion

a

γ ≈ U

2a2

énergie par unité de surface

• Valeurs typiques : l’eau a une tension superficielle élevée !

liquid

huile

eau + savon

glycérol

eau

mercure

γ [N/m]

0,021

0,030

0,063

0,072

0,500

• Forme idéale des fluides : sphère

l’ajout de savon diminue

A volume équivalent, la sphère

minimise la...

• Instabilité de Plateau-Rayleigh :

λ

cylindre

R

instabilité

r

gouttes

V0 = πR2L = n

4

3

πr3 = Vn

Sn

S0

=

n 4πr2

2πRL

r >

3

2

R

condition de Plateau

Un cylindre de liquide se décompose

spontanément pour former des goutelettes.

• Expérience du bateau :

!γ

eau+savon

!γ

!γ

!γ

eau

eau

Objet au repos

!F

Déplacement de l’objet

La tension superficielle peut induire des mouvements.

vue du dessus

vue du dessous

• Objets en surface : punaise

• Insectes surfeurs :

gerris remigis

• Loi de Laplace :

forces capillaires = forces de pression

∆p =

2γ

R

• Bulle de savon : deux interfaces :

∆p =

4γ

R

• Loi de Laplace généralisée : courbure

∆p = γ

1

R

!

+

1

R! "

= γC

caténoïde : surface à courbure nulle

• Adhésion capillaire : chateaux de sable

• Contact liquide/solide :

forme sphérique

flaque

• Angle de contact : quelle que soit la taille de la goutte

jonction triple : air, liquide, solide

air !γ

liquide

θ

solide

mouillant :

non-mouillant :

θ< 90◦

θ> 90◦

interaction forte solide /liquide

interaction faible solide/liquide

• Exemples typiques :

système

angle de contact

eau/verre

eau/parafine

mercure/verre

15

115

140

• Surfaces superhydrophobes : l’eau “glisse” sur ces surfaces

• vêtements imperméables
• pare-brises des voitures
• etc...

• Montée capillaire :

θ

!γ

θ

!γ

h

m!g

force capillaire = poids de la colonne de liquide

2πRγ cos θ = f = ρgV = ρg πR2h

h =

2γ cos θ

ρgR

Loi de Jurin

• Remarque : Pour un liquide non-mouillant, le liquide descend dans le tube !