Calcul matriciel

le polynôme caractéristique de A est par définition

.

Exemple

Soit

Déterminer le polynôme caractéristique de A.

1 LFIG par Ben Amor 1/5

IR124321XAXAX2122240)det()(IAPA4321A

Calcul matriciel Chapitre 3

Théorème :

Les valeurs propres d’une matrice carrée d’ordre n sont les solutions de l’équation

PA(

)=det(A-

I)=0

Exemple 1 :

2+3 -10=0 Les solutions sont

-5 et 2 sont des valeurs propres de A.

1=-5 ,

2=2

Remarque :

Une équation polynomiale de degré n a généralement n solutions mais elles ne sont pas

forcement toutes distinctes .

Lorsque une même solution x apparaît k fois , on dit k est l’ordre de la multiplicité de la

valeur propre .

Exemple Soit A=

Par la méthode de Gauss

=(1-

)(

2-6 +5)

1 est une valeur propre d’ordre de multiplicité 2

1 LFIG par Ben Amor 2/5

010343214321004321)det()(2IAIAPA011213112221131122)det()(IAPA12326)1())12(2)2)(3)((1(1101311222233LLL

Calcul matriciel Chapitre 3

2. Sous espace propre

Définition :

Soit A une matrice carrée d’ordre n ,

E(

E(

homogène (A-

)=

)est un sous espace vectoriel. Pour trouver E(

I)X=0 .

est une valeur propre de A

est appelée sous espace propre de A associé à .

) on doit résoudre le système linéaire

Revenant à l’ exemple1 :

1= -5 ,

2=2

E(2)=

E(2)=

La matrice élargie du système

x=2y

-x+2y=0

E(2)=

V1=(2,1) V2=(4,2)

E(-5)=

6x+2y=0

x=

y

V1=(-1,3) vecteur propre de A à -5

Exercice

Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres des matrices suivantes :

1 LFIG par Ben Amor 3/5

XAXquetelIRXn0)2(222XIAquetelIRXXAXquetelIRX006321))(2(yxXIA00213122LLLIRyyxIRX),1,2(/20)5(522XIAquetelIRXXAXquetelIRX001326))(5(yxXIA002621122LLL31IRyyxIRX),1,31(/2

Calcul matriciel Chapitre 3

Remarque :

)=0 n’admet pas de solutions dans IR, on dit que A n’admet ni de valeurs propres ni

Si PA(

de vecteurs propres.

Théorème de Cauchy Hamilton

Si A est une matrice carrée d’ordre n et PA(

)son polynôme caractéristique alors PA(A)=0

Exemple

Soit A=

Montrer que A3-3A2-2I3=□

Solution

)= 3-3 2-10

PA(

PA(A)=0=A3-3A2-10I3=0

II Matrices semblables

Définition

Deux matrices carrées A et B sont dites semblables s’il existe une matrice carrée inversible B

non nulle B=P-1AP

P est appelée matrice de passage .

PBP-1=A

PB=AP

Remarque :

Si A et B sont semblables alors det(A)=det(B)

En effet :

det(A)=det(P)det(B)det(P-1)= det(P)det(B)

=det(B)

Définition :

On dit qu’une matrice carrée A est diagonalisable s’il existe une matrice diagonale D

existe une matrice D diagonale et une matrice P est inversible

Il

1 LFIG par Ben Amor 4/5

1010010110100101022010234BA011213112)det(1P

Calcul matriciel Chapitre 3

A=PDP-1

Théorème de diagonalisation d’une matrice carrée d’ordre n

Une matrice carrée A est diagonalisable sil l’une des conditions suivantes est vérifiée

 PA(

)admet des racines distinctes

 PA(X)admet n racines dont quelqu’une sont confondues et l’ordre de multiplicité de

chacune de ces racines est égal à la dimension de sous espace propre associé .

Puissance nième d’une matrice diagonalisable

Soit D une matrice diagonale d’ordre n

An=P Dn P-1

Théorème

Toute matrice symétrique est diagonalisable

1 LFIG par Ben Amor 5/5

