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Lois continues
Exercice 1. [10 pts] Loi exponentielle
La durée de vie d’un lave-linge (en années) peut être modélisée par une variable aléatoire T suivant
une loi exponentielle de paramètre λ .
Une étude statistique montre qu’au bout de 7 ans, 60% des lave-linges sont en état de fonction-
nement.
1. Montrer que les données se traduisent par e−7λ = 0, 6
Donner la valeur de λ arrondie à 10−3
2. a) Calculer la probabilité qu’un lave-linge ait une durée de vie inférieure à 6 mois
b) Calculer la probabilité qu’un lave-linge ait une durée de vie supérieure ou égale à 10 ans
3. a) Calculer la demi-vie, c’est-à-dire le nombre d’années t tel que
b) Calculer l’espérance de vie d’un lave-linge
4. Dans cette question, on note p = P (T ≥ 10) et q = 1 − p .
p(T < t) = p(T ≥ t)
Le propriétaire d’une laverie veut installer n lave-linges et il souhaite que la probabilité d’avoir
au moins un lave-linge qui dépasse 10 ans soit supérieure à 0,9 .
On suppose que deux lave-linges tombent en panne de façon indépendante. Montrer que cette
condition se traduit par :
1 − qn ≥ 0, 9
Combien de lave-linges faut-il installer ?
Exercice 2. [10 pts] Loi normale
Les trois questions de cet exercice sont indépendantes.
1. Une variable aléatoire X suit une loi binomiale B(125 ; 0, 3) .
a) Donner l’espérance µ et l’écart-type σ de X
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X − µ
σ
b) Justifier que Z =
c) Calculer P (X > 35)
d) Calculer a tel que P (µ − a ≤ X ≤ µ + a) = 0, 9
peut être approchée par la loi normale centrée réduite
2. On admet que la proportion de femmes dans la population française est 51,4%.
a) On constitue un échantillon de 40 personnes et on note f la proportion de femmes dans cet
échantillon.
Dans quel intervalle fluctue f avec une probabilité de 0,95 ?
b) On observe dans une classe 16 filles et 24 garçons : peut-on dire que les filles sont sous-
représentées dans cette classe ?
3. Un sac contient une grande quantité de billes rouges et bleues.
Pour estimer la proportion p de billes rouges, on extrait un échantillon de 50 billes dans lequel
on observe 13 billes rouges
a) Quelle loi est suivie par le nombre de billes rouges ? Quelle approximation de cette loi
peut-on proposer ?
b) Donner une estimation de p à l’aide d’un intervalle de confiance au niveau 0,95 .
1
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Corrigé
Exercice 1. [10 pts] Loi exponentielle
1. D’après le cours P (T < t) = 1 − e−λt et P (T ≥ t) = e−λt .
Donc P (T ≥ 7) = 0, 6 ⇐⇒ e−7λ = 0, 6
Cette équation est équivalente à λ =
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ln 0, 6
−7
≈ 0, 073
2. a) P (T < 0, 5) = 1 − e−0,0365 ≈ 0, 036
b) P (T ≥ 10) = e−0,73 ≈ 0, 48
3.
a) 1 − e−λt = e−λt ⇐⇒ e−λt = 0, 5 ⇐⇒ t =
b) E(X) =
1
λ
4. On sait p = 0, 48 et q = 0, 52 .
≈ 13, 7
ln 2
λ
≈ 9, 5
L’hypothèse d’indépendance implique que la probabilité qu’aucun lave-linge ne fonctionne au
bout de 10 ans est qn .
Donc la probabilité qu’au moins un lave-linge fonctionne au bout de 10 ans est 1 − qn .
Il faut donc installer au moins 4 lave-linges.
1 − qn ≥ 0, 9 ⇐⇒ n ≥
ln 0, 1
ln 0, 52
≈ 3, 52
Exercice 2. [10 pts] Loi normale
1. a) µ= 37,5 et σ= 5,12
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b) On vérifie 125 ≥ 30 ainsi que 125 × 0, 7 ≥ 125 × 0, 3 ≥ 5
On peut donc appliquer Moivre-Laplace
c) P (X > 35) = P (Z > −0, 49) ≈ 0, 69
d) On vérifie µ − a ≤ X ≤ µ + a ⇐⇒ −
a
σ
≤ Z ≤
a
σ
La parité de la densité de la loi normale centrée réduite implique
a
σ
= 0, 9 ⇐⇒ P
≤ Z ≤
Z ≤
a
σ
−
P
(cid:16)
(cid:16)
(cid:17)
(cid:17)
= 0, 95
La calculatrice donne
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≈ 1, 64 et donc a ≈ 8, 42
a
σ
a
σ
2.
a) Intervalle de centre p = 0, 514 et de rayon
≈ 0, 158
1
√
40
La probabilité que f soit dans [0,356 ; 0,669] dépasse 0,95
b) On calcule f =
= 0, 4 ∈ [0, 356 ; 0, 669] : on peut donc dire que les filles ne sont pas
16
40
sous-représentées
3. a) Le nombre de billes rouges suit une loi binomiale de paramètres n = 50 et p inconnue
On peut approcher cette loi par une loi normale de paramètres µ = n p et σ = pn p (1 − p)
b) Un intervalle de confiance au niveau 0,95 dans lequel se trouve p est [0,12 ; 0,40] .
2