Chap 1 Analyse en composantes principales
L’analyse en Composantes Principales (ACP) est une méthode d’analyse des données utilisée pour l’étude exploratoire ou la réduction d’un grand tableau n × p de données quantitatives, où n désigne le nombre d’individus et p le nombre de variables quantitatives. L'analyse des données consiste essentiellement à établir quelles sont les relations existant entre les observations, entre les variables, et entre les observations et les variables.
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Chap 1 Analyse en composantes principales
Objectifs
Etudier les interrelations entre un assez grand nombre de variables Regrouper ces variables dans des groupes limités appelés facteurs ou composantes. Etablir entre ces groupes de variables une hiérarchie basée
essentiellement sur la valeur explicative de chacun d’eux
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Chap 1 Analyse en composantes principales
Exemple
On se propose d’étudier une marque de voiture, on relève les variables suivantes: prix, vitesse, look, sécurité, confort. lesquelles sont les plus importantes ?
Par sondage à un échantillon de clients ;
Les variables seront notées de 1 à 10, où 1 = Pas du tout important et 10 = Très important.
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Chap 1 Analyse en composantes principales
Supposons que l’analyse a donné les résultats suivants:
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Chap 1 Analyse en composantes principales
Exemple
Il permet de dégager l’attitude des cliens vis-à-vis de ces variables, Une importance considérable est allouée au facteur 1 dans le quel la sécurité est plus importante que le confort (voiture allemande vs voiture française), Pour le facteur 2 le prix précède l’importance de la vitesse .
L’analyse en composantes principales, dans cet exemple, a bien rempli son rôle : réduire les données et donner une certaine explication aux choix effectués par les répondants.
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Chap 1 Analyse en composantes principales
1.Méthodologie de l’ACP
Le tableau de données n x p forme un nuage de n points dans un espace à p dimensions, ou un nuage de p points dans un espace à n dimensions.
L'ACP consiste à projeter les points sur une droite, un plan... un sousespace à s dimensions (avec s ≤ p) choisi de façon à optimiser un certain critère.
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Chap 1 Analyse en composantes principales
1.Méthodologie de l’ACP
Intuitivement, on cherchera le sous-espace donnant la meilleure visualisation possible de notre nuage de points. Un bon choix consiste à rechercher la plus grande dispersion (le plus grand étalement) possible des projections dans le sous-espace choisi.
On est amené ainsi à chercher une rotation de notre système d'axes initial (les variables) permettant de mieux voir notre nuage.
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Chap 1 Analyse en composantes principales
1.Méthodologie de l’ACP
Recherche des variables similaires. celles-ci doivent faire partie
d’un même ensemble : mesure de la satisfaction, de l’intérêt, etc. ; matrice des corrélations entre les variables choisies ; Dégagerles facteurs Rotation des axes, qui désigne les facteurs les plus importants selon leur degré d’inertie (de variance expliquée) ; Lecture des tests les plus importants; Interprétation des résultats au plan des décisions et de l’action
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Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP
Voici un tableau de scores attribuées à 9 individus dans 5 matières
| Individu | Math | Sciences | Français | Latin | Musique |
|---|---|---|---|---|---|
| I1 | 6 | 6 | 5 | 5,5 | 8 |
| I2 | 8 | 8 | 8 | 8 | 9 |
| I3 | 6 | 7 | 11 | 9,5 | 11 |
| I4 | 14,5 | 14,5 | 15,5 | 15 | 8 |
| I5 | 14 | 14 | 12 | 12 | 10 |
| I6 | 11 | 10 | 5,5 | 7 | 13 |
| I7 | 5,5 | 7 | 14 | 11,5 | 10 |
| I8 | 13 | 12,5 | 8,5 | 9,5 | 12 |
| I9 | 9 | 9,5 | 12,5 | 12 | 18 |
Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi 9 Tableau 1
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP
On calculer les moyennes arithmétiques et les écarts-types des 5 variables quantitatives qui seront résumées dans le tableau suivant :
| Col1 | Moyenne | Ecart-type | n analyse |
|---|---|---|---|
| ~~Moyenne~~ | ~~Ecart-type~~ | ~~n analyse~~ | |
| Math science Français Musique Latin |
9,6667 9,8333 10,2222 11,0000 10,0000 |
3,57946 3,17214 3,68367 3,12250 2,93684 |
9 9 9 9 9 |
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Tableau 2
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP
Ces données doivent êtes centrées et réduites pour éliminer l’effet taille des données et avoir des valeurs sans unité. Cette opération consiste à centrer les données puis les diviser par l’´écart type:
Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi 11 Tableau 2
| Individu | Math | Sciences | Français | Latin | Musique |
|---|---|---|---|---|---|
| I1 | -1,0865 | -1,2817 | -1,5037 | -1,6252 | -1,0190 |
| I2 | -0,4939 | -0,6130 | -0,6399 | -0,7223 | -0,6794 |
| I3 | -1,0865 | -0,9474 | 0,2239 | -0,1806 | 0,0000 |
| I4 | 1,4322 | 1,5604 | 1,5197 | 1,8058 | -1,0190 |
| I5 | 1,2840 | 1,3932 | 0,5119 | 0,7223 | -0,3397 |
| I6 | 0,3951 | 0,0557 | -1,3597 | -1,0835 | 0,6794 |
| I7 | -1,2347 | -0,9474 | 1,0878 | 0,5417 | -0,3397 |
| I8 | 0,9877 | 0,8916 | -0,4959 | -0,1806 | 0,3397 |
| I9 | -0,1975 | -0,1115 | 0,6559 | 0,7223 | 2,3778 |
Tableau Données centrées réduites
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Chap 1 Analyse en composantes principales
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2. Pratique de l’ACP
Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi 13 Tableau 2
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP
La démarche de l’ACP est la suivante : En partant de 5 axes factoriels qui correspondent aux 5 variables, elle va les réduire tout en maximisant la quantité d’informations dans le nuage de points (ou bien réduire la perte d’informations).
Ainsi l’objectif est de déterminer un plan factoriel formé par des axes sur lesquels on effectuera une projection des variables. Evidemment le nuage initial est complexe puisque le nombre des dimensions est élevé (égal au nombre de variables 5).
Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi 14 Tableau 2
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP
Les 5 axes factoriels qui correspondent aux 5 variables:
Nuage de points
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Tableau 2
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.1 Matrice de corrélation
Tableau 2 Matrice de corrélation
| Col1 | Math | Science | Français | Latin | Musique |
|---|---|---|---|---|---|
| ~~Math~~ |
~~Science ~~ |
~~Français~~ |
~~Latin~~ |
~~Musique~~ |
|
| Corrélation Math Science Français Latin Musique Signification (unilatérale) Math Science Français Latin Musique |
1,000 ,983 ,227 ,490 ,011 ,000 ,279 ,090 ,489 |
,983 1,000 ,397 ,634 ,006 ,000 ,145 ,033 ,494 |
,227 ,397 1,000 ,956 ,038 ,279 ,145 ,000 ,461 |
,490 ,634 ,956 1,000 ,089 ,090 ,033 ,000 ,410 |
,011 ,006 ,038 ,089 1,000 ,489 ,494 ,461 ,410 |
a. Déterminant = 5,398E-006
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Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP
2.1 Matrice de corrélation
La corrélation entre les deux variables Math et Science est de 0,983 cela prouve une forte corrélation positive. Par contre entre Math et Musique elle est de 0,011 soit une absence de corrélation. Remarquons qu’il n’existe pas de corrélation négative dans notre exemple. A ne pas oublier que la corrélation n’entraine pas nécessairement l’existence d’une relation, alors que la réciproque est toujours vraie.
Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi 17 Tableau 2
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.2 Nuage de points
Le nuage de points peut être lu de deux manières : soit à partir des individus soit à partir des variables.
Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi 18 Tableau 2
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.2 Nuage de points Nuage des individus
Notre exemple porte sur 9 individus, alors le nuage des individus sera le nuage produit par les les 9 points, pris dans un espace de dimension 5 (le nombre de variables). On définit l’inertie totale (c’est la quantité d’informations contenue dans le nuage) comme étant la somme des distances euclidiennes du point O (puisqu’il s’agit d’une ACP normée) aux différents points du nuage.
Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi 19 Tableau 2
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.2 Nuage de points Nuage des individus
En appliquant le théorème de Pythagore et la distance métrique sur IRn, l'inertie totale du nuage est
Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi 20 Tableau 2
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.2 Nuage de points Nuage des individus
Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi 21 Tableau 2
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.2 Nuage de points Nuage des variables
De la même manière on peut définir la nuage des variables. Ainsi l'inertie absolue de chaque variable est n, son inertie relative est .
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Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.3 Axes factoriels
L’objectif de l’ACP est de réduire les variables d’une part par l’obtention de nouvelles composantes factorielles obtenues comme combinaison linéaire des variables initiales. Ainsi il sera formé les composantes CP1, CP2,… selon l’ordre décroissant de signification.
Autre dit la première composante va représenter le nuage initial avec la plus grande proportion, la 2ème composante sera la deuxième, etc..
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Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.3 Axes factoriels
Egalement il faudrait ajouter que ces composantes sont indépendantes (géométriquement orthogonales) donc leur covariance est nulle .
la variance d’une composante principale CPk est égale à la k-ième valeur propre.
Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi 24
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.3 Axes factoriels
A ce niveau d’analyse on emprunte les connaissances de l’algèbre linéaire. En fait diagonaliser une matrice revient à trouver des vecteurs propres dégagés eux même des valeurs propres de cette même matrice. Les valeurs propres représentent la même information (l'inertie du nuage de points) dans deux systèmes d'axes orthonormés différents.
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Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.3 Axes factoriels
Tableau3 Variance totale expliquée
| Composante | Valeurs propres initiales | Col3 | Col4 | Extraction Sommes des carrés des | Col6 | Col7 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| ~~Composante~~ | ~~Valeurs propres initiales~~ |
~~Valeurs propres initiales~~ |
~~Valeurs propres initiales~~ |
~~Extraction Sommes des carrés des~~ facteurs retenus |
~~Extraction Sommes des carrés des~~ facteurs retenus |
~~Extraction Sommes des carrés des~~ facteurs retenus |
| ~~Composante~~ | ~~Total~~ | ~~% de la~~ variance |
~~% cumulés~~ | ~~Total~~ | ~~% de la~~ variance |
~~% cumulés~~ |
| 1 2 3 4 5 |
2,862 1,151 ,983 ,004 ,000 |
57,236 23,014 19,663 ,079 ,008 |
57,236 80,250 99,913 99,992 100,000 |
2,862 1,151 ,983 ,004 ,000 |
57,236 23,014 19,663 ,079 ,008 |
57,236 80,250 99,913 99,992 100,000 |
Méthode d'extraction : Analyse en composantes principales.
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Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.3 Axes factoriels
Diagramme des valeurs propres Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi 27
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.3 Axes factoriels
Il existe plusieurs méthodes : règle de Kaiser, règle du coude etc.
D'où l'idée de ne garder que les valeurs propres (et directions propres) qui représentent au moins 20% de variation.
Variante : on observe une brusque décroissance des valeurs propres entre la 3è et la 4è valeur propre.
Au final, on décide de ne garder que 2 valeurs propres.
Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi 28
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.4 Indice KMO et test de Bartlett
Ce sont deux indicateurs pour évaluer la qualité d’une ACP. Plus l’indice KMO est proche de 0.8 plus l’ACP est bonne et plus il s’éloigne de 0.8 elle devient non significative.
Le test de sphéricité de Bartlett propose une mesure globale en s’appuyant sur une démarche statistique. Il vise à détecter dans quelle mesure la matrice de corrélation R=(rij)(p x p) calculée sur nos données (matrice observée) diverge significativement de la matrice unité (matrice théorique sous hypothèse nulle H0).
Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi 29
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.4 Indice KMO et test de Bartlett
Essayer de procéder à un résumé est illusoire lorsque l’hypothèse nulle n’est pas démentie par les données. En revanche, il est possible de compresser l’information, jusqu’à quel point on ne le sait pas, en un nombre plus réduit de facteurs lorsque l’hypothèse nulle est rejetée.
Cela ne veut pas dire pour autant que nous allons trouver des informations intéressantes dans notre ACP
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Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.4 Indice KMO et test de Bartlett
Pour mesurer le lien entre les variables, nous calculons le déterminant |R| de la matrice de corrélation.
Sous H0, |R| = 1 ; s’il y a des colinéarités parfaites, nous aurions |R| = 0. Ici également, fixer des valeurs seuils est difficile.
Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi 31
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.4 Indice KMO et test de Bartlett
Lorsque |R| est inférieur à 0.00001, il y a de très fortes redondances dans les données c.-à-d. elles ne recèlent qu’un seul type d’information. Le résultat sera d’une très grande trivialité (ex. les personnes de grande taille sont plus lourdes, courent plus vite, sautent plus haut et ont des grands pieds). A l’inverse, lorsque |R| se rapproche de 1, l’ACP ne servira pas à grand-chose car les variables sont quasiment orthogonales deux à deux . Le test de Bartlett vise justement à vérifier si l’on s’écarte significativement de cette situation de référence |R| = 1.
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Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.4 Indice KMO et test de Bartlett
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Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.4 Indice KMO et test de Bartlett
Lorsque |R| est inférieur à 0.00001, il y a de très fortes redondances dans les données c.-à-d. elles ne recèlent qu’un seul type d’information. Le résultat sera d’une très grande trivialité (ex. les personnes de grande taille sont plus lourdes, courent plus vite, sautent plus haut et ont des grands pieds). A l’inverse, lorsque |R| se rapproche de 1, l’ACP ne servira pas à grand-chose car les variables sont quasiment orthogonales deux à deux . Le test de Bartlett vise justement à vérifier si l’on s’écarte significativement de cette situation de référence |R| = 1.
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Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.5 Résultats relatifs aux individus
Coefficients des individus
Les scores des individus sont les valeurs des composantes factorielles sur les individus.
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Coordonnées des individus
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Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.5 Résultats relatifs aux individus
Contributions des individus La contribution relative d'un individu i à la formation de la
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Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.5 Résultats relatifs aux individus
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Contributions des individus seront les suivantes :
| Col1 | Fact. 1 | Fact. 2 | Fact. 3 |
|---|---|---|---|
| 1 | 30,13 | 4,42 | 6,14 |
| 2 | 6,19 | 1,05 | 3,48 |
| 3 | 4,01 | 10,04 | 0,94 |
| 4 | 37,85 | 0,27 | 14,80 |
| 5 | 14,84 | 5,99 | 0,40 |
| 6 | 3,49 | 13,94 | 14,69 |
| 7 | 0,41 | 29,73 | 9,35 |
| 8 | 1,58 | 12,33 | 5,41 |
| 9 | 1,51 | 22,23 |
44,79 |
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.5 Résultats relatifs aux individus
Qualités de la représentation des individus La qualité de la représentation d'un individu i par la composante principale k est définie par :
Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi 39
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.5 Résultats relatifs aux individus
Par exemple :
Géométriquement, la qualité de la représentation d'un individu i
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Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.5 Résultats relatifs aux individus
| Col1 | Fact. 1 | Fact. 2 | Fact. 3 |
|---|---|---|---|
| 1 | 0,8855 | 0,0522 | 0,0619 |
| 2 | 0,7920 | 0,0542 | 0,1530 |
| 3 | 0,4784 | 0,4813 | 0,0384 |
| 4 | 0,8786 | 0,0025 | 0,1180 |
| 5 | 0,8515 | 0,1383 | 0,0080 |
| 6 | 0,2465 | 0,3962 | 0,3568 |
| 7 | 0,0263 | 0,7671 | 0,2061 |
| 8 | 0,1877 | 0,5898 | 0,2211 |
| 9 | 0,0583 | 0,3458 | 0,5954 |
Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi 41
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.5 Résultats relatifs aux individus
Les qualités de représentation sont additives. Par exemple, la qualité de représentation d'un individu i par le plan (CP1, CP2) est donnée par :
Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi 42
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.5 Résultats relatifs aux individus
Pour l’individu 1 1, la qualité de représentation par le plan factoriel 1x2 est : 0,8855+0,0522=0,9377. Cette valeur représente le carré du cosinus de l'angle que fait avec le plan (CP1, CP2). .
Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi 43
Cartes des individus
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.5 Résultats relatifs aux variables
Coordonnées des variables De même, les variables ont des coordonnées factorielles sur les deux axes. On observe une grande corrélation entre l’axe 1 et les variables Math et Science, cela prouve que l’axe 1 est formé par les matières scientifiques. L’axe 2 est dominé par les variables Français et Latin cela peut indiquer que cet axe est formé par les matières littéraires.
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2.5 Résultats relatifs aux variables Carte des variables
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Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.5 Résultats relatifs aux variables
Coordonnées des variables De même, les variables ont des coordonnées factorielles sur les deux axes. On observe une grande corrélation entre l’axe 1 et les variables Math et Science, cela prouve que l’axe 1 est formé par les matières scientifiques. L’axe 2 est dominé par les variables Français et Latin cela peut indiquer que cet axe est formé par les matières littéraires.
Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi 47
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.5 Résultats relatifs aux variables
Les coordonnées sont données par le tableau suivant :
Coordonnées des variables
Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi 48
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.5 Résultats relatifs aux variables
Contributions des variables Les contributions des variables à la formation des composantes principales sont définies de la même façon que celles des individus :
Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi 49
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.5 Résultats relatifs aux variables
Contributions des variables
| Col1 | Fact. 1 | Fact. 2 |
|---|---|---|
| Math | 0,2269 | 0,2837 |
| Sciences | 0,2812 | 0,1613 |
| Français | 0,2008 | 0,3245 |
| Latin | 0,2895 | 0,1373 |
| Musique | 0,0016 | 0,0932 |
Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi 50
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.5 Résultats relatifs aux variables
Qualités de la représentation des variables La qualité de la représentation d'une variable par une composante principale est définie de la même façon que pour les individus :
Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi 51
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.5 Résultats relatifs aux variables
Comme dans le cas des individus, les qualités des représentations d'une variable selon les composantes principales s'additionnent.
Le tableau ci-dessous donne les qualités de représentation selon la première composante principale, selon le plan des deux premières composantes, dans l'espace défini par les deux premières composantes.
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Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.5 Résultats relatifs aux variables
| Col1 | Avec 1 facteur |
Avec 2 facteurs |
|---|---|---|
| Math | 0,6495 | 0,9759 |
| Sciences | 0,8046 | 0,9902 |
| Français | 0,5747 | 0,9481 |
| Latin | 0,8286 | 0,9866 |
| Musique | 0,0044 | 0,1117 |
Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi 53
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.6 Autres résultats:
Le tableau des coefficients des variables peut être lu de deux façons :
il permet de calculer les valeurs des composantes principales à partir des variables centrées réduites de départ
il permet de retrouver les valeurs des variables centrées réduites de départ à partir des valeurs des composantes principales. Vecteurs propres de la matrice de corrélation Variables actives seules
Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi 54
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.6 Autres résultats:
Vecteurs propres de la matrice de corrélation Variables actives seules
| Col1 | Fact. 1 | Fact. 2 | Fact. 3 | Fact. 4 | Fact. 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Math | 0,4764 | 0,5326 | -0,1548 | -0,3030 | 0,6112 |
| Sciences | 0,5302 | 0,4016 | -0,0936 | 0,5168 | -0,5308 |
| Français | 0,4481 | -0,5696 | 0,2276 | 0,4775 | 0,4414 |
| Latin | 0,5381 | -0,3706 | 0,1093 | -0,6416 | -0,3868 |
| Musique | 0,0394 | -0,3053 | -0,9505 | 0,0390 | 0,0140 |
Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi 55
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.6 Autres résultats:
On observera que :
chaque ligne représente un vecteur de norme 1
chaque colonne représente un vecteur de norme 1
deux "vecteurs ligne" quelconques sont orthogonaux
deux "vecteurs colonne" quelconques sont orthogonaux
Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi 56
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.6 Autres résultats:
Pour l'individu 1, les variables de départ ont pour valeurs
| Math | Sciences | Français | Latin | Musique |
|---|---|---|---|---|
| -1,0865 | -1,2817 | -1,5037 | -1,6252 | -1,0190 |
Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi 57
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.6 Autres résultats:
On retrouve ainsi le score de cet individu sur la première composante principale :
Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi 58
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.6 Autres résultats:
Pour l'individu 1, les scores sur les 5 composantes principales sont :
Fact. 1 Fact. 2 Fact. 3 Fact. 4 Fact. 5 -2,7857 0,6764 0,7368 -0,0482 -0,0332
Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi 59
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.6 Autres résultats:
Les valeurs propres pourraient également être calculées à partir du tableau, comme variances des composantes principales. Autrement dit, on pourrait à l'aide du tableau des coefficients, retrouver tous les résultats indiqués ci-dessus. Ce tableau permet également de retrouver les saturations des variables, en multipliant les coefficients correspondant à chaque facteur par la racine carrée de la valeur propre correspondante.
Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi 60
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.7 Rotation des axes:
Une méthode orthogonale « repose sur la maximalisation de la somme des variances des carrés des saturations dans chaque colonne ; il s’ensuit une augmentation de certaines saturations et la diminution des autres. La formule est : MPF * MSC = MR où : MPF = matrice des premiers facteurs ; MSC = matrice de transformation sinus, cosinus ; MR = matrice avec rotation.
Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi 61
Chap 1 Analyse en composantes principales
2. Pratique de l’ACP 2.7 Rotation des axes (varimax):
Grâce à cette méthode de rotation d’axes, chacune des variables de l’ensemble aura le poids le plus élevé possible sur un facteur et le poids le plus faible possible sur les autres facteurs. Il s’agit donc de maximaliser les corrélations faibles de façon à opérer une discrimination entre les facteurs et de parvenir à une explication plus intéressante des relations entre les variables.
Analyse de données multivariées - Ahmed Dhouibi 62