TRANSFORMÉE DE FOURIER DISCRÈTE

Ce document présente les notions fondamentales de la Transformée de Fourier Discrète (TFD) et de la Transformée de Fourier Rapide (TFR ou FFT). Il s’adresse aux étudiants en sciences et ingénierie, notamment ceux travaillant en traitement du signal, électronique ou mathématiques appliquées. L’objectif est de comprendre la définition, les propriétés, les méthodes de calcul efficaces et les fenêtres de pondération utilisées pour l’analyse spectrale discrète.

Transformée de Fourier Discrète : définition et principes

La Transformée de Fourier Discrète (TFD) est une méthode permettant d’approcher la transformée de Fourier d’un signal continu à partir d’un nombre fini d’échantillons. En pratique, un signal analogique x(t) est :

• échantillonné à une fréquence fe = 1/Te,
• tronqué sur une durée finie T0 = NTe,
• et la transformée est calculée sur ces N échantillons.

La TFD d’une suite finie x(n), n = 0, ..., N-1, est définie par :

X(k) = ∑(n=0 à N-1) x(n) e-j2πnk/N  pour k = 0, ..., N-1

Cette suite X(k) représente une approximation discrète de la transformée de Fourier du signal original aux fréquences fk = k fe/N.

Inversion de la TFD

La TFD est inversible selon la formule :

x(n) = (1/N) ∑(k=0 à N-1) X(k) ej2πnk/N  pour n = 0, ..., N-1

Cette relation garantit que le signal temporel peut être reconstruit exactement à partir de ses coefficients fréquentiels.

Lien entre transformée de Fourier continue et TFD

Le signal échantillonné peut s’écrire comme un produit entre le signal continu et une fonction peigne périodique :

xe(t) = ∑(n=-∞ à +∞) x(nTe) δ(t - nTe) = x(t) P(t)

où P(t) est la fonction peigne périodique d’échantillonnage. L’échantillonnage rend le spectre périodique, ce qui peut provoquer un recouvrement spectral (aliasing) si la fréquence d’échantillonnage n’est pas suffisante.

La troncature temporelle correspond à une multiplication par une fenêtre temporelle F(t) de durée T0 = NTe :

xtr(t) = xe(t) F(t) = ∑(n=0 à N-1) x(nTe) δ(t - nTe)

Cette opération correspond dans le domaine fréquentiel à une convolution entre le spectre du signal et la transformée de la fenêtre, ce qui introduit des ondulations (« ripples ») dans le spectre.

Enfin, la TFD correspond à l’échantillonnage du spectre tronqué aux fréquences multiples de 1/T0.

Comparaison entre transformée de Fourier et TFD

La TFD coïncide exactement avec la transformée de Fourier aux points k/T0 si :

• le signal x(t) est périodique de période τ,
• le signal est à bande limitée,
• la fenêtre temporelle a une durée égale à un multiple de τ,
• et la fréquence d’échantillonnage respecte la condition de Nyquist (fe > 2 fmax).

Dans ce cas, on a :

X(k) = N X(k/T0)

Sinon, des erreurs apparaissent dues au recouvrement spectral, aux ondulations liées à la troncature, ou aux discontinuités de la fenêtre.

Fenêtres de pondération

Pour limiter les effets indésirables de la troncature temporelle, on applique une fenêtre de pondération F(t) au signal. Cette fenêtre modifie le spectre par convolution :

Xtr(f) = X(f) * F(f)

Idéalement, F(f) serait un dirac en fréquence, mais en pratique, elle présente un lobe principal et des lobes secondaires. Les caractéristiques importantes sont :

• la largeur du lobe principal (résolution spectrale),
• la hauteur maximale des lobes secondaires (dynamique spectrale).

Fenêtres classiques

• Fenêtre rectangulaire : durée NTe, transformée de Fourier avec lobes secondaires importants (-13 dB), décroissance en 1/f.
• Fenêtre triangulaire (Bartlett) : obtenue par convolution de la fenêtre rectangulaire avec elle-même, lobes secondaires à -26 dB, décroissance en 1/f², lobe principal plus large.
• Fenêtre parabolique : convolution supplémentaire, lobes secondaires à -39 dB, décroissance en 1/f³, lobe principal encore plus large.

Fenêtres réduisant les lobes secondaires par addition algébrique

• Fenêtre cosinusoïdale : Fc(t) = Fr(t) cos(π t / NTe), lobes secondaires à -34 dB, décroissance en 1/f², lobe principal plus large.
• Fenêtre de Hanning : FH(t) = 0.5 [1 + cos(2π t / T0)] pour t ∈ [-T0/2, T0/2], lobes secondaires à -44 dB, décroissance en 1/f³, lobe principal presque deux fois plus large que la rectangulaire.
• Fenêtre de Hamming : pondérations modifiées, lobes secondaires à -60 dB, décroissance en 1/f³, expression temporelle Fhm(t) = 0.56 + 0.44 cos(2π t / NTe).
• Fenêtre de Blackman : combinaison de plusieurs décalages, lobes secondaires à -87 dB, décroissance en 1/f⁵, lobe principal deux fois plus large que la rectangulaire.

Autres fenêtres

• Fenêtre de Gauss : Fg(t) = exp(-4k (t / NTe)²), paramètre k réglant le compromis entre largeur du lobe principal et ondulations.
• Fenêtre de Kaiser : définie par une fonction de Bessel modifiée, paramètre Va contrôlant la réduction des lobes secondaires et la largeur du lobe principal. Elle offre un meilleur compromis que les fenêtres classiques.
• Fenêtre de Dolph-Chebyshev : optimise la largeur du lobe principal et la hauteur des lobes secondaires, expression fréquentielle complexe, calculée par transformée inverse numérique.

Problèmes de visualisation de la TFD

Pour une bonne visualisation temporelle, il faut un petit pas d’échantillonnage Te, alors que pour une bonne visualisation fréquentielle, il faut une longue durée T0. Ces contraintes sont contradictoires. Pour améliorer la visualisation spectrale sans changer la résolution temporelle, on utilise le « zero-padding » : on ajoute des zéros à la suite x(n) pour augmenter la durée effective T0.

Exemple : si la fréquence de Shannon est 128 Hz, on peut échantillonner à 1024 Hz pour le temps, puis à 128 Hz avec zero-padding pour le spectre, assurant une bonne interpolation dans les deux domaines.

Propriétés de la TFD et convolution circulaire

Théorème de Parseval

La somme des carrés des valeurs temporelles est proportionnelle à la somme des carrés des coefficients fréquentiels :

∑(n=0 à N-1) |x(nTe)|² = (1/N) ∑(k=0 à N-1) |X(k)|²

Convolution circulaire et linéaire

Soient deux suites périodiques x(n) et y(n) de période N :

• La convolution circulaire z(n) est définie par :

z(n) = ∑(i=0 à N-1) x(i) y((n - i) mod N)

• La convolution linéaire u(n) de longueur 2N-1 est :

u(n) = ∑(i=0 à N-1) x(i) y(n - i)  pour n = 0, ..., 2N-2

Exemple : pour N=3, x(n) = y(n) = 1 pour n=0..2, la convolution circulaire vaut z(n) = 3 pour n=0..2, la convolution linéaire u(n) = [1, 2, 3, 2, 1].

Théorème de la convolution discrète circulaire

La TFD de la convolution circulaire de deux suites périodiques est égale au produit des TFD des suites :

TFD(z(n)) = TFD(x(n)) × TFD(y(n))

Inversement, la TFD du produit terme à terme de deux suites est la convolution circulaire des TFD :

TFD(p(n)) = TFD(x(n)) ⊗ TFD(y(n))  où p(n) = x(n) y(n)

Théorème du retard circulaire

Si y(n) est la suite x(n) retardée de k0 échantillons, alors :

Y(k) = X(k) e-j2πk k0 / N

où X(k) et Y(k) sont les TFD de x(n) et y(n).

Transformée de Fourier Rapide (FFT)

La FFT est un algorithme efficace pour calculer la TFD en réduisant le nombre d’opérations nécessaires. Le calcul direct de la TFD d’ordre N demande N² multiplications complexes, alors que la FFT ne demande que (N/2) log₂(N) multiplications.

Principe de l’algorithme de Cooley-Tukey (entrelacement temporel)

Pour N = 4, la TFD s’écrit :

X(0) = x(0) + x(1) + x(2) + x(3)
X(1) = x(0) - x(2) + w₁ (x(1) - x(3))
X(2) = x(0) + x(2) - (x(1) + x(3))
X(3) = x(0) - x(2) - w₁ (x(1) - x(3))

avec w₁ = e^-j2π/4.

On divise la suite en deux paquets : indices pairs (x(0), x(2)) et indices impairs (x(1), x(3)). On calcule deux TFD d’ordre N/2 sur ces paquets, puis on combine les résultats avec des multiplications par des facteurs twiddle (wₖ).

Formellement, pour N multiple de 2, on définit :

y(i) = x(2i),  z(i) = x(2i+1),  i = 0, ..., N/2 - 1

Les TFD d’ordre N/2 sont Y(k) et Z(k). Alors :

Pour k ∈ [0, N/2 - 1] : X(k) = Y(k) + wₖ Z(k)
Pour k ∈ [N/2, N - 1] : X(k) = Y(k - N/2) - wₖ₋ₙ/₂ Z(k - N/2)

Chaque étape de combinaison s’appelle un « papillon ».

Complexité de calcul

Le calcul direct demande N² multiplications complexes.

La FFT demande environ (N/2) log₂(N) multiplications complexes, soit une réduction importante du coût de calcul.

Exemple pour N=4

Étape 1 : Calcul des TFD d’ordre 2 sur (x0, x2) et (x1, x3)
Y0 = x0 + x2
Y1 = x0 - x2
Z0 = x1 + x3
Z1 = x1 - x3

Étape 2 : Combinaison par papillons
X0 = Y0 + Z0
X1 = Y1 + w1 Z1
X2 = Y0 - Z0
X3 = Y1 - w1 Z1

Les données d’entrée sont réordonnées (entrelacement temporel), tandis que les résultats sont dans l’ordre naturel.

FFT avec entrelacement fréquentiel

Cette variante conserve l’ordre naturel des données temporelles mais produit des résultats dans un ordre désordonné. Le principe de décomposition reste similaire.

Glossaire des termes clés

• TFD (Transformée de Fourier Discrète) : transformée de Fourier calculée sur une suite finie de données.
• FFT (Transformée de Fourier Rapide) : algorithme efficace de calcul de la TFD.
• Fenêtre temporelle : fonction utilisée pour tronquer ou pondérer un signal avant transformation.
• Lobe principal : partie centrale du spectre de la fenêtre, déterminant la résolution.
• Lobes secondaires : oscillations autour du lobe principal, influençant la dynamique.
• Convolution circulaire : opération sur suites périodiques, liée au produit des TFD.
• Convolution linéaire : convolution classique sur suites finies, de longueur plus grande.
• Zero-padding : ajout de zéros à une suite pour augmenter la résolution fréquentielle.
• Papillon : étape élémentaire de calcul dans l’algorithme FFT.
• Fonction peigne : somme de diracs périodiques utilisée pour modéliser l’échantillonnage.
• Recouvrement spectral (aliasing) : phénomène où des fréquences se superposent après échantillonnage insuffisant.

Points clés à retenir

• La TFD permet d’obtenir une représentation fréquentielle discrète d’un signal échantillonné et tronqué.
• La FFT réduit drastiquement le nombre d’opérations nécessaires pour calculer la TFD, surtout pour N puissance de 2.
• Le choix de la fenêtre temporelle influence la résolution et la dynamique de l’analyse spectrale.
• La convolution circulaire en temps correspond à un produit simple en fréquence, et inversement.
• Le zero-padding améliore la visualisation spectrale sans modifier le signal temporel.
• La TFD coïncide avec la transformée de Fourier continue uniquement sous conditions strictes de périodicité, bande limitée et fenêtre adaptée.