Traitement et Analyse d’Images

Ce cours couvre les notions fondamentales du traitement et de l’analyse d’images, destinées aux étudiants de troisième année en informatique. Il présente les bases physiques et mathématiques de la formation des images, les modèles de signaux et systèmes bidimensionnels, les transformations unitaires, ainsi que les concepts essentiels de morphologie mathématique, amélioration, restauration, segmentation et compression d’images.

Introduction au traitement et analyse d’images

Une image est la représentation d’un objet ou d’une scène, obtenue par un capteur qui détecte un rayonnement émis ou traversant cet objet. Trois facteurs sont essentiels à la formation d’une image : l’objet, le rayonnement et le capteur. L’analyse d’images vise à comprendre le phénomène physique ou à reconstruire la réalité physique à partir de l’image. Elle constitue aussi une source d’information riche, souvent résumée par l’expression « une image vaut mille mots ».

Le traitement des images comprend plusieurs objectifs : la transmission et la compression pour faciliter la communication et l’archivage, l’amélioration et la restauration pour corriger les perturbations introduites lors de la formation de l’image, et enfin l’analyse proprement dite, qui débute par la détection d’indices visuels et la segmentation, en vue d’une vision par ordinateur.

Le capteur est généralement une surface plane sensible à une gamme de longueurs d’onde, caractérisée par une fonction d’intensité £(x, y, λ, t), où (x, y) désignent un point sur le capteur, λ la longueur d’onde et t le temps. Le système visuel humain, par exemple, possède trois types de capteurs sensibles aux couleurs fondamentales rouge, vert et bleu. Dans d’autres applications, comme la télédétection, plusieurs canaux couvrent différentes bandes spectrales.

Phénomènes visuels

La vision humaine présente des seuils de détection pour la luminance, la durée et la dimension apparente d’un stimulus. Le seuil de contraste visible est d’environ 2 % (loi de Weber), ce qui signifie que le système visuel agit comme un filtre passe-bande spatial. L’œil est plus sensible aux fréquences spatiales intermédiaires qu’aux fréquences très basses ou très hautes, phénomène illustré par la bande de Mach.

Le contraste simultané montre que la perception d’une intensité dépend du fond sur lequel elle est observée : une même intensité paraît plus claire sur un fond sombre que sur un fond clair. Un modèle plus complet du système visuel humain inclut un filtre passe-bas spatial lié à la résolution, une opération ponctuelle non-linéaire modélisant la saturation, un filtre passe-bande spatial représentant l’inhibition latérale, et un filtre passe-bas temporel exprimant les constantes d’excitation et de persistance.

Machines de traitement d’images

Un système de traitement d’images numérique comprend un numériseur (échantillonneur et quantificateur), une mémoire d’images, une unité de traitement et un poste de visualisation. Par exemple, une caméra CCD peut numériser une image en 512x512 points sur 256 niveaux de gris à 25 images par seconde. La mémoire locale doit permettre un accès rapide pour assurer la visualisation en temps réel.

Échantillonnage et quantification

Le traitement numérique des images commence par l’échantillonnage et la quantification. Une image analogique est représentée par une fonction continue, tandis que l’image numérique est une suite discrète indexée par (m, n).

La transformée de Fourier continue d’une image est définie par :

F(u, v) = ∬ f(x, y) exp(−2iπ(ux + vy)) dx dy

Pour une image échantillonnée, la transformée discrète est :

F(k, l) = ∑∑ f(m, n) exp(−2iπ(km/M + ln/N))

La condition de Shannon impose que la fréquence d’échantillonnage soit au moins deux fois supérieure à la fréquence maximale du signal pour éviter l’erreur de recouvrement :

Δx ≤ 1 / (2 v_xM) et Δy ≤ 1 / (2 v_yM)

Un filtre passe-bas idéal est utilisé avant l’échantillonnage pour limiter la bande passante et éviter les artefacts.

La quantification consiste à représenter les niveaux d’intensité par un nombre fini de valeurs. Selon la loi de Weber, le seuil de contraste est proportionnel à l’intensité, ce qui suggère une quantification uniforme sur le logarithme de la luminance.

Une autre approche probabiliste modélise la quantification comme une minimisation de la distorsion quadratique D :

D = ∑ ∫ p(x) (x − r_i)^2 dx

où p(x) est la densité de probabilité, r_i les niveaux de représentation et les intervalles (d_i-1, d_i). La solution itérative de Max-Lloyd détermine les seuils et niveaux optimaux :

d_i = (r_i + r_i+1) / 2
r_i = (∫_{d_i-1}^{d_i} x p(x) dx) / (∫_{d_i-1}^{d_i} p(x) dx)

La quantification vectorielle améliore la performance en tenant compte des dépendances spatiales et statistiques entre pixels, mais est plus complexe à mettre en œuvre.

Signaux et systèmes bidimensionnels

Une image numérique est modélisée comme une suite 2D {x(m,n)}. Un système bidimensionnel est une application T agissant sur ces suites. Il est linéaire si :

T(a x1 + b x2) = a T(x1) + b T(x2)

Un filtre linéaire invariant par translation (FLI) est caractérisé par sa réponse impulsionnelle h(m,n) telle que :

y(m,n) = ∑∑ h(i,j) x(m−i, n−j)

Un filtre est séparable si :

h(m,n) = h1(m) h2(n)

Exemple : Le filtre gaussien passe-bas séparable et invariant par rotation :

h(m,n) = (1 / 2πσ^2) exp(−(m^2 + n^2) / (2σ^2))

Récursivité

Les filtres à réponse impulsionnelle finie (RIF) sont simples à manipuler. Les filtres à réponse impulsionnelle infinie (RII) posent des problèmes liés à la causalité en 2D. Un filtre RII peut être défini par une équation aux différences :

y(m,n) = ∑_{(k,l)∈A} a(k,l) y(m−k, n−l) + ∑_{(k,l)∈B} b(k,l) x(m−k, n−l)

où A et B sont des ensembles finis de décalages. Le filtre est récursif si le support de la réponse impulsionnelle est contenu dans un secteur angulaire strictement inférieur à π.

Stabilité

Un filtre est stable si une entrée bornée produit une sortie bornée, ce qui équivaut à :

∑_{m,n} |h(m,n)| < ∞

Pour les filtres RII, la stabilité se vérifie via la fonction de transfert H(z,w) définie par :

H(z,w) = ∑_{m,n} h(m,n) z^{-m} w^{-n}

Le filtre est stable si le dénominateur A(z,w) de H(z,w) = 1 / A(z,w) n’a pas de zéros dans le domaine |z| ≥ 1, |w| ≥ 1.

Pour un filtre premier quart de plan avec :

A(z,w) = 1 − a z^{-1} − b w^{-1}

la condition de stabilité est :

|a| + |b| < 1

Processus stochastiques bidimensionnels

Un processus 2D est une suite aléatoire {X(m,n)}. Un processus ARMA lexicographique unilatéral est défini par :

X(m,n) = ∑_{(k,l)∈P(m,n)} a(k,l) X(m−k, n−l) + ∑_{(k,l)∈Q(m,n)} b(k,l) ε(m−k, n−l)

où P(m,n) est l’ensemble du « passé » selon l’ordre lexicographique et ε est un bruit blanc 2D.

La représentation à modèle d’état peut être établie pour certains filtres quart de plan, avec des équations d’état exprimant la dépendance spatiale en deux directions.

Les processus 2D à densité spectrale rationnelle ne sont pas toujours ARMA, car les polynômes 2D ne se factorisent pas toujours en facteurs d’ordre 1. Les champs markoviens 2D, non causaux, sont parfois plus adaptés pour la modélisation et la prédiction.

Transformations unitaires bidimensionnelles

Les transformations unitaires sont utilisées pour extraire des caractéristiques et pour la compression des images. Une image est représentée par une matrice X de dimension M×N. La transformation linéaire est :

Y = T . X

avec Y de même dimension que X. La transformation est unitaire si son inverse est égal à son adjoint :

T^{-1} = T^*

Une transformation est séparable si :

T = T_row ⨂ T_col

où T_row et T_col sont des matrices carrées de dimensions M×M et N×N respectivement, et ⨂ désigne le produit direct (Kronecker).

La transformée de Fourier discrète 2D (TFD-2D) est un exemple classique de transformation séparable, qui peut être calculée efficacement en appliquant la TFD sur chaque ligne puis sur chaque colonne.

La valeur à l’origine dans le domaine transformé est proportionnelle à la moyenne spatiale de l’image :

Y(0,0) = (1 / √(MN)) ∑∑ X(m,n)

La séparabilité réduit considérablement le nombre d’opérations nécessaires, passant de M²N² à MN(M+N) multiplications.

Exemple de transformation unitaire séparable

Soit une image X de dimension 4×4. La transformation T est définie par :

Y = T_row × X × T_col^T

où T_row et T_col sont des matrices orthogonales 4×4. Si T_row = T_col = T, alors la transformation est symétrique et unitaire.

Cette propriété permet d’obtenir facilement la transformation inverse :

X = T_row^T × Y × T_col

Glossaire des termes clés

• Échantillonnage : Processus de conversion d’un signal continu en une suite discrète en prélevant des valeurs à intervalles réguliers.
• Quantification : Approximation des valeurs d’un signal échantillonné par un nombre fini de niveaux.
• Filtre linéaire invariant par translation (FLI) : Filtre dont la réponse ne dépend pas de la position spatiale.
• Réponse impulsionnelle : Réponse d’un filtre à une impulsion unitaire.
• Filtre à réponse impulsionnelle finie (RIF) : Filtre dont la réponse impulsionnelle est non nulle sur un nombre fini de points.
• Filtre à réponse impulsionnelle infinie (RII) : Filtre dont la réponse impulsionnelle est non nulle sur un nombre infini de points.
• Récursivité : Propriété d’un filtre dont la sortie dépend de ses propres valeurs passées.
• Stabilité : Condition selon laquelle une entrée bornée produit une sortie bornée.
• Transformée de Fourier discrète 2D (TFD-2D) : Transformation unitaire qui convertit une image spatiale en domaine fréquentiel.
• Transformation unitaire : Transformation linéaire dont l’inverse est égal à l’adjoint.
• Transformation séparable : Transformation pouvant être décomposée en produit de transformations unidimensionnelles.
• Processus ARMA 2D : Modèle stochastique bidimensionnel combinant autorégression et moyenne mobile.
• Champ markovien : Modèle statistique où la valeur d’un point dépend uniquement de ses voisins immédiats.

Points clés à retenir

• La formation d’une image dépend de l’objet, du rayonnement et du capteur, souvent modélisée par une fonction d’intensité spatiale et spectrale.
• Le système visuel humain agit comme un filtre passe-bande spatial avec une sensibilité variable selon le contexte et la fréquence spatiale.
• L’échantillonnage doit respecter la condition de Shannon pour éviter les erreurs de recouvrement, et la quantification doit minimiser la distorsion perceptuelle.
• Les filtres bidimensionnels peuvent être linéaires, invariants, récursifs ou non, avec des conditions spécifiques de stabilité liées à leur fonction de transfert.
• Les processus stochastiques 2D sont plus complexes que les 1D, notamment à cause de la perte de causalité et de la non-factorisation des polynômes 2D.
• Les transformations unitaires séparent la dimension spatiale en deux directions, facilitant le calcul et la compression des images.