Technologies du Traitement du Signal et Image

Ce document présente les notions fondamentales des technologies du traitement numérique du signal et de l’image, destinées aux étudiants en systèmes embarqués et traitement d’image. Il aborde les différences entre traitement analogique et numérique, les architectures des processeurs DSP, les bases des transformées de Fourier discrètes, ainsi que leurs applications et contraintes.

Généralités sur le traitement numérique du signal (TNS)

Le traitement numérique du signal (TNS) consiste à manipuler des signaux numériques issus de grandeurs physiques analogiques captées par des capteurs. La chaîne de traitement comprend plusieurs étapes : adaptation du signal d’entrée (gain, démodulation), filtrage anti-repliement, échantillonnage, conversion analogique-numérique (CAN), traitement numérique via un processeur DSP, conversion numérique-analogique (CNA), filtrage de lissage et reconstruction du signal analogique.

Traitement numérique vs. analogique

• Précision et rapport signal sur bruit (RSB) : En numérique, la précision est fixe et connue, liée à la taille des mots mémoire (16, 24, 32 bits). En analogique, elle dépend de la qualité des composants et est affectée par le bruit électromagnétique, la température, l’humidité et le vieillissement.
• Reconfigurabilité : Le traitement numérique peut être modifié par logiciel, contrairement à l’analogique qui dépend du matériel.
• Largeur de bande : Le traitement analogique peut travailler à très haute fréquence, alors que le numérique est limité par la fréquence d’échantillonnage.
• Contraintes temps réel : Le traitement numérique doit gérer la latence maximale entre l’arrivée d’une donnée et la disponibilité du résultat, ainsi que des débits importants et des charges de calcul élevées (ex. convolution, FFT).

Opérations classiques en TNS

• MAC (Multiplication-Accumulation) : acc ← acc + bᵢ · xᵢ, utilisé dans les filtres à réponse impulsionnelle finie (RIF) et infinie (RII).
• FFT (Fast Fourier Transform) : analyse spectrale rapide.
• Génération de formes d’ondes : pour les communications numériques.

Processeur DSP

Un processeur DSP (Digital Signal Processor) est un composant électronique combinant matériel et logiciel pour réaliser des applications de traitement du signal en temps réel. Il interagit avec un environnement externe via des interfaces, capteurs, convertisseurs et ports E/S.

Architecture et contraintes

• Les opérations courantes (filtrage RIF, FFT) imposent des contraintes matérielles spécifiques.
• Le produit de convolution dans un filtre RIF nécessite plusieurs accès mémoire et calculs de multiplication-accumulation par échantillon.
• L’architecture Von Neumann classique, avec une seule mémoire pour code et données, limite la rapidité à cause des accès séquentiels.
• L’architecture Harvard sépare les mémoires programme (PM) et données (DM) avec des bus indépendants, permettant un accès simultané aux instructions et données, améliorant ainsi les performances.
• Une architecture Harvard modifiée permet même l’accès simultané à deux données et une instruction, augmentant la puissance de calcul.

Exemples et critères de choix

• Exemples de DSP : Texas Instrument TMS320Cxxxx, Analog Devices ADSPxxxx, SHARC, Blackfin.
• Un DSP est préférable pour minimiser la taille, la consommation et assurer un traitement temps réel à grand débit.
• Un processeur généraliste est préféré pour disposer de plus de mémoire, développer sous OS avancé, ou mixer calcul numérique et autres tâches.
• Critères de performance : fréquence d’horloge, MFLOPS (millions d’opérations flottantes par seconde), MOPS (millions d’opérations totales par seconde), MIPS (millions d’instructions par seconde), MMACS (millions de MAC par seconde).

Exemple de calcul

Pour un DSP à 30 MIPS et un taux d’échantillonnage de 48 kHz (Te = 20,833 µs), le nombre maximal d’instructions entre deux échantillons est :

Nombre d'instructions max = 30 000 000 instructions/s × 20,833 × 10⁻⁶ s ≈ 625 instructions

Applications du traitement numérique du signal

• Communications : sans fil (cellulaire, TV numérique, radio numérique), filaire (DSL, câble), modems, cryptage.
• Audio : mixage, édition, effets, suppression du bruit.
• Image et vidéo : compression, codage, traitement.
• Militaire : imagerie radar, sonar, guidage de missiles.
• Biomédical : monitoring des signaux biophysiques (EEG, ECG), radiographie.
• Instrumentation : analyseur de spectre, génération de fonctions.
• Automatisation : commande de machines, contrôle de moteurs, robots.
• Electronique automobile : contrôle moteur, assistance au freinage, aide à la navigation, commandes vocales.

Transformée de Fourier des signaux à temps discret (TFTD)

La TFTD permet d’analyser la fréquence d’un signal discret x(n). Elle est définie par :

X(f) = Σ x(n) · e^(-j2πfn), n ∈ ℤ

où f est une variable continue. La TFTD existe si le signal est absolument sommable (Σ |x(n)| < ∞).

Périodicité

La TFTD d’un signal discret est périodique de période 1 (ou Fe si la fréquence d’échantillonnage est Fe). Toute l’information fréquentielle est donc contenue dans l’intervalle [0,1] ou [0,Fe].

TF inverse

La TFTD inverse est donnée par :

x(n) = ∫ X(f) · e^(j2πfn) df sur une période

La TFTD conserve les propriétés classiques de la transformée de Fourier : linéarité, décalage temporel et fréquentiel, relation de Parseval, etc.

Bilan

• La TFTD s’applique à un signal à temps discret.
• En fréquence, la variable reste continue, ce qui complique son exploitation numérique.

De la TFTD à la Transformée de Fourier Discrète (TFD)

La TFD est une approximation numérique de la TFTD, adaptée aux calculs sur ordinateur. Elle repose sur :

• La limitation de la durée du signal à N points temporels.
• La discrétisation de la fréquence en L points.

La TFD de x(n) est définie par :

X(k) = Σ_{n=0}^{N-1} x(n) · e^(-j2πkn/L),  k = 0,...,L-1

La TFD inverse est :

x(n) = (1/L) Σ_{k=0}^{L-1} X(k) · e^(j2πkn/L),  n = 0,...,N-1

La TFD est périodique de période L en fréquence et périodise le signal temporel.

Effet sur les signaux périodiques

Pour un signal périodique de période N, la TFD calculée sur une période est périodique de période N en fréquence et temporellement.

Convolution circulaire

La convolution circulaire de deux signaux discrets x(n) et y(n) de durée N est :

c(n) = Σ_{m=0}^{N-1} x(m) · y((n-m) mod N)

Elle est périodique de période N et correspond à une rotation circulaire d’une séquence autour de l’autre.

Analyse spectrale et TFD

Pour analyser un signal continu x(t) via la TFD, plusieurs étapes sont nécessaires :

1. Échantillonnage à la fréquence Fe (selon le théorème de Shannon).
2. Quantification pour obtenir x(n).
3. Troncature à N échantillons (fenêtrage temporel).
4. Discrétisation fréquentielle en L points.

Fenêtrage temporel

La troncature consiste à multiplier le signal par une fenêtre h(n) (souvent rectangulaire) de largeur N :

x_N(n) = x(n) · h(n),  h(n) = 1 pour 0 ≤ n < N, 0 sinon

La TFTD du signal tronqué est la convolution fréquentielle de X(f) par la TF de la fenêtre H(f), ce qui provoque des déformations spectrales (ondulations).

Discrétisation fréquentielle

La TFD X_N(k) est obtenue en échantillonnant X_N(f) avec un pas de fréquence :

Δf = 1/L  (ou Fe/L en tenant compte de la fréquence d’échantillonnage)

Le choix de L influence la précision de l’analyse spectrale.

Précision de la TFD

• Résolution en fréquence : capacité à distinguer deux fréquences proches. Elle est de l’ordre de 1/N (ou Fe/N).
• Résolution en amplitude : capacité à distinguer des raies spectrales de faibles amplitudes proches de raies plus fortes.

Améliorations possibles

• Diminuer Fe (augmenter Te) pour supprimer les hautes fréquences et améliorer la précision sur les basses fréquences.
• Augmenter le nombre de points fréquentiels L (pas toujours possible).
• Augmenter le nombre de points temporels N par ajout d’échantillons nuls (zero padding) :

Exemple : [1, 2, 3] → [1, 0, 0, 2, 0, 0, 3]

Cette interpolation fréquentielle améliore la précision à 1/(K·N) au lieu de 1/N, utile notamment pour le zoom spectral ou sur une image.

TFD et fenêtrage temporel

Pour améliorer l’analyse spectrale, on remplace la fenêtre rectangulaire par une fenêtre pondérée dont la TF présente des ondulations plus faibles.

Exemples de fenêtres

• Fenêtre de Hanning
• Fenêtre de Hamming

Chaque fenêtre a une réponse en fréquence caractéristique (largeur du lobe principal, amplitude des lobes secondaires) permettant de choisir la plus adaptée selon l’application.

Critères de sélection

Type de fenêtre	Rapport d’amplitude (lobe principal / lobe secondaire)	Largeur du lobe principal (en fonction de N)
Rectangulaire	-13 dB	2/N
Triangulaire	-25 dB	4/N
Hanning	-31 dB	4/N
Hamming	-41 dB	4/N
Blackman	-47 dB	6/N

La diminution de la largeur du lobe principal s’accompagne souvent d’une augmentation de l’amplitude des lobes secondaires, imposant un compromis.

Transformée de Fourier Rapide (FFT)

Le calcul direct de la TFD d’un signal de N points nécessite environ N² opérations complexes, ce qui est prohibitif pour de grands N (ex. 264 600 points nécessitent 10¹¹ opérations).

La FFT est un algorithme optimisé permettant de réduire considérablement ce coût de calcul.

Glossaire des termes clés

• TNS (Traitement Numérique du Signal) : manipulation de signaux numériques issus de signaux analogiques.
• DSP (Digital Signal Processor) : processeur spécialisé dans le traitement numérique du signal en temps réel.
• MAC (Multiplication-Accumulation) : opération fondamentale en TNS, multiplication suivie d’une addition.
• TFTD (Transformée de Fourier des signaux à Temps Discret) : transformée de Fourier appliquée à un signal discret, variable fréquentielle continue.
• TFD (Transformée de Fourier Discrète) : approximation numérique de la TFTD, avec fréquence discrète et durée finie.
• Fenêtrage temporel : multiplication du signal par une fenêtre pour limiter sa durée.
• FFT (Fast Fourier Transform) : algorithme rapide de calcul de la TFD.
• Convolution circulaire : opération sur signaux périodiques, rotation d’une séquence autour d’une autre.
• Zero padding : ajout de zéros dans un signal pour améliorer la résolution fréquentielle.
• Fenêtre de Hanning, Hamming, Blackman : types de fenêtres utilisées pour améliorer l’analyse spectrale.

Points clés à retenir

• Le traitement numérique offre une précision fixe, reconfigurable et adaptée aux contraintes temps réel, contrairement à l’analogique.
• Les DSP sont conçus pour optimiser les opérations de traitement du signal, notamment les MAC et FFT.
• La TFTD analyse les signaux discrets mais reste difficile à exploiter directement en numérique à cause de la fréquence continue.
• La TFD discrétise la fréquence et limite la durée du signal, introduisant périodicité et effets de fenêtrage.
• Le fenêtrage temporel et la discrétisation fréquentielle influencent la précision et la résolution spectrales.
• Le choix de la fenêtre est un compromis entre largeur du lobe principal et atténuation des lobes secondaires.
• La FFT permet de calculer efficacement la TFD, indispensable pour les signaux de grande taille.