Resolution par la Methode de Norton, Millman et Kennely

Cette leçon traite des méthodes de résolution de circuits électriques complexes en utilisant les théorèmes de Norton, Millman et la transformation de Kennelly. Ces outils permettent de simplifier l’analyse des réseaux en réduisant des parties du circuit à des équivalents plus simples, facilitant ainsi le calcul des courants et tensions dans les circuits.

Méthode de Norton

Introduction

Le théorème de Norton permet de réduire un circuit complexe à un générateur de courant réel. Ce générateur est constitué d'une source de courant IN en parallèle avec une résistance RN. Cette représentation simplifiée facilite le calcul des courants dans le circuit.

Principe

Le courant de Norton IN est obtenu soit par calcul, soit par mesure, après avoir court-circuité les bornes A et B du circuit. La résistance interne RN est déterminée de la même manière que la résistance équivalente dans le théorème de Thévenin, c’est-à-dire RN = RTh.

Applications

Exercice 1

On considère un circuit avec E = 8 V, R1 = 4 Ω, R2 = 12 Ω et R3 = 9 Ω. L’objectif est de calculer le courant I traversant la résistance R3 en appliquant le théorème de Norton.

1) Calcul de IN : On débranche R3 et on court-circuite les bornes A et B. Le courant IN est alors donné par :

IN = E / R1 = 8 / 4 = 2 A

2) Calcul de RN : Avec R3 débranchée et la source E court-circuitée, RN est la résistance équivalente vue des bornes A et B, calculée comme la résistance en parallèle de R1 et R2.

3) Calcul de I : Le courant traversant R3 s’obtient en remplaçant le circuit par son équivalent Norton (source IN en parallèle avec RN) et en calculant le courant dans R3.

Exercice 2

Pour un circuit avec E1 = 10 V, E2 = 5 V, R1 = R3 = R4 = 100 Ω et R2 = 50 Ω, on cherche à calculer le courant I traversant R4.

1) Calcul de IN : On débranche R4 et court-circuite les bornes A et B. Le courant IN est la somme des courants des deux sources :

IN = I1 + I2 = E1/R1 + E2/R3 = 10/100 + 5/100 = 0,15 A

2) Calcul de RTh : La résistance équivalente vue des bornes A et B est calculée en fonction des résistances R1, R2 et R3.

3) Calcul de I : Le courant dans R4 est ensuite déterminé en utilisant l’équivalent Norton.

Exercice 3

Dans un circuit plus complexe avec E1 = 10 V, E2 = 2 V, R1 = 60 Ω, R2 = 240 Ω, R3 = 120 Ω, R4 = 180 Ω et R5 = 90 Ω, on calcule le courant I traversant une partie du circuit en appliquant la méthode de Norton.

1) Calcul de IN : En débranchant la résistance étudiée et en analysant les courants dans les branches, on détermine IN à partir des tensions et résistances équivalentes.

2) Calcul de RTh : La résistance équivalente RN est calculée en combinant les résistances du réseau selon les règles des résistances en série et parallèle.

3) Calcul de I : Le courant dans la résistance est obtenu en appliquant la loi des mailles et des nœuds sur l’équivalent Norton.

Théorème de Millman

Introduction

Le théorème de Millman est un outil pratique pour déterminer la différence de potentiel UAB aux bornes de plusieurs branches en parallèle, chacune pouvant comporter une source de tension et une résistance.

Principe

La tension UAB est donnée par la formule :

UAB = (Σ (Ei / Ri)) / (Σ (1 / Ri)) = (Σ Yi Ei) / (Σ Yi)

où Yi est l’admittance de la branche i (Yi = 1 / Ri) et Ei la force électromotrice dans la branche i. Si une branche ne comporte pas de générateur, sa f.e.m est considérée nulle.

Applications

Exercice 1

Pour un circuit avec E1 = 5 V, E2 = 20 V, R1 = 5 Ω, R2 = R3 = 10 Ω, on calcule UAB :

UAB = (E1/R1 + E2/R2 + 0/R3) / (1/R1 + 1/R2 + 1/R3)

Le résultat donne la tension aux bornes A et B.

Exercice 2

Dans un circuit avec E1 = 5 V, E2 = 20 V, E3 = 4 V, R1 = R3 = 2 Ω, R2 = 1 Ω, on calcule :

1) La tension UAB par la formule de Millman :

UAB = (E1/R1 + E2/R2 + E3/R3) / (1/R1 + 1/R2 + 1/R3) = 0,75 V

2) La résistance équivalente RTh vue des bornes A et B :

RTh = 1 / (1/R1 + 1/R2 + 1/R3) = 1,50 Ω

3) Le courant I dans une résistance R4 connectée entre A et B :

I = ETh / (RTh + R4) = 0,3 A

Transformation de Kennelly

Introduction

La transformation de Kennelly est une méthode utilisée pour simplifier un réseau passif de résistances. Elle permet de transformer un réseau en étoile (Y) en un réseau en triangle (Δ) et vice versa, ce qui facilite les calculs dans certains circuits.

Démonstration

La transformation repose sur le théorème de superposition. Pour que les intensités et les différences de potentiel soient identiques dans les deux configurations (étoile et triangle), les résistances entre les nœuds doivent être égales.

Soient les résistances en triangle R1, R2, R3 et en étoile r1, r2, r3. Les relations entre ces résistances sont :

R1 + R2 = (r2 * r3) / r1 + r1 + r2 + r3
R2 + R3 = (r1 * r3) / r2 + r1 + r2 + r3
R1 + R3 = (r1 * r2) / r3 + r1 + r2 + r3

En résolvant ces équations, on obtient :

R1 = (r2 * r3) / (r1 + r2 + r3)
R2 = (r1 * r3) / (r1 + r2 + r3)
R3 = (r1 * r2) / (r1 + r2 + r3)

La transformation inverse est donnée par :

r1 = (R2 * R3) / (R1 + R2 + R3)
r2 = (R1 * R3) / (R1 + R2 + R3)
r3 = (R1 * R2) / (R1 + R2 + R3)

Exercice d’application

Déterminer la résistance équivalente RT du dipôle AD dans le réseau suivant :

• R1 = 2 Ω
• R2 = 4 Ω
• R3 = 6 Ω
• R4 = 5 Ω
• R5 = 4 Ω

En utilisant les règles de conversion entre réseaux étoile et triangle, on simplifie le réseau pour calculer RT.

Points clés

• Le théorème de Norton simplifie un circuit en un générateur de courant IN en parallèle avec une résistance RN.
• IN se calcule en court-circuitant les bornes du circuit et RN est équivalente à la résistance vue des bornes avec la source court-circuitée.
• Le théorème de Millman permet de calculer la tension aux bornes de plusieurs branches en parallèle avec ou sans générateurs.
• La formule de Millman utilise la somme des courants divisée par la somme des conductances (admittances).
• La transformation de Kennelly convertit un réseau en étoile en réseau en triangle et inversement, facilitant l’analyse des circuits.
• Les relations entre résistances en étoile et en triangle sont données par des formules précises basées sur les produits et sommes des résistances.