Résolution numérique de systèmes d'équations linéaires

Ce document traite de la résolution numérique des systèmes d’équations linéaires, en particulier pour des étudiants de niveau avancé en mathématiques appliquées ou en génie électrique. Il présente un exemple concret issu d’un circuit électrique, introduit la formulation matricielle des systèmes, discute de l’existence et de l’unicité des solutions, puis aborde les méthodes numériques directes et itératives pour résoudre ces systèmes.

Exemple d’un système d’équations linéaires issu d’un circuit électrique

Considérons un circuit électrique avec les données suivantes :

• U1 = 100 V, U2 = 115 V, U3 = 90 V (tensions)
• R1 = 0.5 Ω, R2 = 0.25 Ω, R3 = 0.5 Ω (résistances)

Les intensités des courants dans les branches sont notées i1, i2 et i3. En appliquant la loi des nœuds au point A, on obtient :

i1 + i2 − i3 = 0

En appliquant la loi des mailles sur les deux boucles du circuit, on a :

• Maille 1 (A, R1, U1, B, U2, R2, A) :

R1 · i1 − U1 + U2 − R2 · i2 = 0
0.5 · i1 − 0.25 · i2 + 0 · i3 = 15

• Maille 2 (A, R2, U2, B, U3, R3, A) :

R2 · i2 − U2 + U3 + R3 · i3 = 0
0 · i1 + 0.25 · i2 + 0.5 · i3 = 15

Le système d’équations linéaires s’écrit donc :

(S) {
  i1 + i2 − i3 = 0
  0.5 · i1 − 0.25 · i2 + 0 · i3 = 5
  0 · i1 + 0.25 · i2 + 0.5 · i3 = 15
}

Ce système peut être mis sous forme matricielle :

R · I = U

avec

R = |  1     1    −1   |
    | 0.5  −0.25   0   |
    |  0    0.25  0.5  |

I = (i1, i2, i3)^T

U = (0, 5, 15)^T

Le déterminant de R est non nul (det R ≠ 0), ce qui signifie que le système est de Cramer et admet une solution unique.

Calcul des intensités i1, i2 et i3

La solution unique est donnée par la formule de Cramer :

i1 = det(R1) / det(R)
i2 = det(R2) / det(R)
i3 = det(R3) / det(R)

où Rk est la matrice obtenue en remplaçant la k-ième colonne de R par le vecteur U.

Les valeurs calculées sont :

• i1 = 10 A
• i2 = 25 A
• i3 = 15 A

Problématique de la résolution par la formule de Cramer

Bien que la formule de Cramer permette de résoudre un système de Cramer, elle devient rapidement impraticable pour des systèmes de grande taille. En effet :

• Le calcul d’un déterminant d’une matrice de taille n nécessite environ n! opérations (additions et multiplications).
• Pour un système de taille n, il faut calculer n + 1 déterminants de taille n.
• Pour n = 100, le nombre d’opérations est de l’ordre de 9,4 · 10^161, ce qui est irréaliste même avec un ordinateur très puissant.

Par conséquent, pour des circuits complexes avec un grand nombre de mailles, il est nécessaire d’utiliser des méthodes numériques plus efficaces.

Méthodes numériques pour la résolution des systèmes linéaires

Il existe deux grandes familles de méthodes :

• Méthodes directes : elles permettent d’obtenir la solution en un nombre fini d’opérations, par exemple par triangularisation ou décomposition de la matrice A. Les méthodes étudiées ici sont :
• Pivot de Gauss
• Décomposition LU
• Méthodes itératives : elles construisent une suite (x_n) qui converge vers la solution. Les méthodes étudiées sont :
• Méthode de Jacobi
• Méthode de Gauss-Seidel

Définition d’un système d’équations linéaires

Un système de n équations à n inconnues x1, x2, ..., xn, avec coefficients a_ij et seconds membres b_i, s’écrit :

(Sn) {
  a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
  a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2
  ...
  an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = bn
}

En forme matricielle :

AX = b

avec

A = (a_ij) ∈ M_n(ℝ), X = (x1, x2, ..., xn)^T, b = (b1, b2, ..., bn)^T

Un système peut avoir :

• Une solution unique (système de Cramer, det A ≠ 0)
• Une infinité de solutions
• Aucune solution

Exemples d’existence de solutions

Considérons des systèmes dans ℝ² :

(S) : {
  x1 + x2 = 1
  -x1 + x2 = 1
}

Ce système admet une solution unique. En effet, la matrice associée a un déterminant non nul (det = 2 ≠ 0) et la solution est X = (0,1)^T.

(S') : {
  x1 + x2 = 1
  x1 + x2 = 3
}

Ce système n’admet aucune solution car les deux équations sont incompatibles (droites parallèles distinctes). Le déterminant de la matrice est nul.

(S'') : {
  x1 + x2 = 1
  2x1 + 2x2 = 2
}

Ce système admet une infinité de solutions, car la deuxième équation est un multiple de la première. Le déterminant est nul et la solution générale s’écrit :

X = (1 - x2, x2)^T, où x2 ∈ ℝ est libre.

Résumé et objectifs du cours

L’objectif principal est de résoudre des systèmes de Cramer (det A ≠ 0) en utilisant des méthodes numériques adaptées, notamment les méthodes directes (Pivot de Gauss, décomposition LU) et itératives (Jacobi, Gauss-Seidel), afin de surmonter les limites pratiques de la formule de Cramer pour les grands systèmes.

Glossaire des termes clés

• Système de Cramer : système d’équations linéaires dont la matrice des coefficients est inversible (det A ≠ 0), assurant une solution unique.
• Déterminant : valeur scalaire associée à une matrice carrée, utilisée pour déterminer l’inversibilité de la matrice.
• Pivot de Gauss : méthode directe de résolution consistant à transformer la matrice en forme triangulaire pour faciliter la résolution.
• Décomposition LU : factorisation d’une matrice en produit d’une matrice triangulaire inférieure (L) et d’une matrice triangulaire supérieure (U).
• Méthode de Jacobi : méthode itérative où chaque inconnue est mise à jour en fonction des valeurs précédentes des autres inconnues.
• Méthode de Gauss-Seidel : méthode itérative améliorée où les valeurs mises à jour sont immédiatement utilisées dans le calcul des inconnues suivantes.
• Forme matricielle : représentation d’un système d’équations linéaires sous la forme AX = b.
• Solution unique : cas où le système admet une seule solution.
• Infinité de solutions : cas où le système admet une famille infinie de solutions paramétrées.
• Aucune solution : cas où le système est incompatible et ne possède pas de solution.

Points clés à retenir

• La formule de Cramer est théoriquement simple mais impraticable pour les grands systèmes à cause du coût exponentiel en calculs.
• Les systèmes linéaires peuvent être représentés sous forme matricielle AX = b, facilitant leur étude et résolution.
• Un système peut avoir une solution unique, une infinité de solutions ou aucune solution, selon le déterminant de la matrice des coefficients.
• Les méthodes numériques directes (Pivot de Gauss, décomposition LU) permettent de résoudre efficacement les systèmes de taille moyenne à grande.
• Les méthodes itératives (Jacobi, Gauss-Seidel) sont utiles pour les très grands systèmes ou lorsque la matrice présente certaines propriétés favorables.
• La compréhension des propriétés du système (existence, unicité) est essentielle avant de choisir la méthode de résolution adaptée.