Résistance des Matériaux - Sollicitations Simples : Traction / Compression et Cisaillement

Ce laboratoire porte sur l’étude des sollicitations simples en résistance des matériaux, notamment la traction, la compression et le cisaillement. Il permet de comprendre les notions fondamentales de contrainte, déformation, loi de Hooke, ainsi que les conditions de résistance des pièces mécaniques soumises à ces sollicitations. Pour réaliser ce TP, il est nécessaire de disposer de connaissances en mécanique des matériaux, ainsi que des outils de calculs et mesures adaptés.

Objectifs

• Comprendre et calculer la contrainte et l’allongement relatif dans une pièce soumise à la traction ou à la compression.
• Appliquer la loi de Hooke pour relier contrainte et déformation en régime élastique.
• Vérifier la condition de résistance d’une pièce en tenant compte du coefficient de sécurité.
• Calculer la contrainte de cisaillement et vérifier la résistance d’un axe soumis à un effort tranchant.
• Analyser les sollicitations en flexion simple et torsion, et calculer les contraintes correspondantes.

Prérequis et installation

• Connaissances de base en mécanique des matériaux : notions de force, contrainte, déformation, moments.
• Maîtrise des formules fondamentales : contrainte σ = F/S, allongement relatif ε = ∆l/l, loi de Hooke σ = Eε.
• Connaissance des modules mécaniques : module de Young (E), module de cisaillement (G).
• Matériel nécessaire : calculatrice scientifique ou logiciel de calcul, données des matériaux (limite élastique, module de Young, module de cisaillement).
• Dimensions géométriques des pièces étudiées (diamètres, sections, longueurs).

Étude de la traction et compression

On considère une pièce soumise à deux forces opposées F et −F. L’objectif est de calculer la contrainte σ et l’allongement relatif ε, puis de vérifier la résistance de la pièce.

La contrainte est définie par :

σ = F / S

avec F la force appliquée (en N) et S la surface de la section (en mm²).

L’allongement relatif est :

ε = ∆l / l

où ∆l est la variation de longueur et l la longueur initiale.

En régime élastique, la loi de Hooke s’applique :

σ = E × ε

avec E le module de Young du matériau (en MPa).

La condition de résistance impose que la contrainte ne dépasse pas la limite élastique divisée par un coefficient de sécurité s :

σ ≤ Re / s

où Re est la limite élastique en traction (ou Rc en compression).

Exemple de vérification :

• Force F = 95 kN
• Section S = 2827,4 mm²
• Calcul de la contrainte :

σ = 95000 / 2827,4 = 33,6 MPa

• Contrainte admissible :

Re / s = 250 / 4 = 62,5 MPa

La pièce résiste donc en toute sécurité car 33,6 ≤ 62,5 MPa.

Calcul de la déformation :

ε = σ / E = 33,6 / 120000 = 2,8 × 10⁻⁴

∆l = ε × l = 2,8 × 10⁻⁴ × 2,5 m = 0,7 mm

Étude du cisaillement

Le cisaillement correspond à une force appliquée parallèlement à la section d’un matériau. Le torseur de cohésion s’écrit :

τ_cohésion =
N   Mt
Ty  Mfy
Tz  Mfz

où Ty et Tz sont les efforts tranchants responsables du cisaillement.

La contrainte de cisaillement τ est limitée par :

τ ≤ Rg / s

avec Rg la limite élastique en cisaillement et s le coefficient de sécurité.

En général, pour les matériaux ductiles :

Rg ≈ 0,6 × Re

Exemple : un axe en acier C65 de diamètre 10 mm, soumis à une force F = 5800 N, avec un coefficient de sécurité s = 5.

• Effort tranchant T = F / 2 = 2900 N
• Section S = π × r² = 78,54 mm²
• Contrainte de cisaillement :

τ = T / S = 2900 / 78,54 = 36,92 MPa

• Contrainte admissible :

Rg / s = 400 / 5 = 80 MPa

L’axe est donc bien dimensionné car 36,92 ≤ 80 MPa.

Flexion simple

La flexion provoque une variation de contrainte normale σ selon la position verticale y dans la section :

σ = Mfz × y / IGz

où :

• Mfz : moment fléchissant (en N.m ou N.mm)
• IGz : moment d’inertie de la section par rapport à l’axe (G, z) (en m4 ou mm4)
• y : distance verticale par rapport au centre de gravité (en m ou mm)

Le moment d’inertie IGz dépend de la forme et des dimensions de la section. Pour une section rectangulaire :

IGz = (b × h³) / 12

Exemple :

• b = 20 mm
• h = 2 mm
• IGz = 1,33 × 10⁻¹¹ m⁴

La poutre est comprimée dans les fibres supérieures (σ < 0) et étirée dans les fibres inférieures (σ > 0).

La condition de résistance impose que la contrainte maximale de compression et de traction ne dépasse pas la contrainte admissible :

σ ≤ Rc / s  (compression)
σ ≤ Re / s  (traction)

Exemple de calcul :

• Mfz = 17,85 N.m
• y compression = 26 mm = 0,026 m
• y traction = 12 mm = 0,012 m
• IGz = 6 × 10⁻⁸ m⁴

σ_comp = (17,85 × 0,026) / (6 × 10⁻⁸) = 7,7 MPa
σ_trac = (17,85 × 0,012) / (6 × 10⁻⁸) = 3,6 MPa

Contraintes admissibles :

σ_adm_comp = Rc / s = 270 / 3 = 90 MPa
σ_adm_trac = Re / s = 290 / 3 = 96,6 MPa

La poutre résiste en toute sécurité car les contraintes calculées sont inférieures aux contraintes admissibles.

Torsion

La torsion génère une contrainte tangentielle (cisaillement) donnée par :

τ = Mt × R / I0

avec :

• Mt : moment de torsion (en N.mm)
• R : rayon de la section (en mm)
• I0 : moment d’inertie polaire de la section (en mm⁴)

Pour une section circulaire :

I0 = π × d⁴ / 32

En régime élastique, la contrainte est liée à la déformation angulaire γ par :

τ = G × γ

avec G le module de cisaillement (en MPa) et :

γ = R × θ / L

où θ est la rotation en radians, L la longueur de la poutre.

La condition de résistance est :

τ ≤ Rg / s

Exemples d’application

Exercice 1 :

• Calcul de la contrainte de torsion :

τ = (Mt × R) / I0 = 2100000 × (d/2) / (π × d⁴ / 32) = 68,44 MPa

• Calcul du module de cisaillement :

G = τ / γ = 64 × 10³ MPa = 64 GPa

Exercice 2 :

• Dimensionnement d’un arbre creux soumis à un moment de torsion Mt :

Condition : Mt / (π × (D1⁴ - d²⁴) / 32) × (D1 / 2) ≤ Rg / s

Avec d2 = 0,6 × D2, on obtient :

D1 ≥ 29,4 mm
d2 = 18,84 mm

Calcul de la déformation angulaire :

α = Mt × L / (G × R) = 0,016 rad

Les diamètres extérieurs et les déformations angulaires sont proches, validant le dimensionnement.

Résultats attendus

• Contrainte de traction ou compression calculée conforme à la formule σ = F/S.
• Allongement relatif cohérent avec la loi de Hooke, ∆l ≈ 0,7 mm pour l’exemple donné.
• Contrainte de cisaillement τ inférieure à la contrainte admissible Rg / s.
• En flexion, contraintes maximales de traction et compression respectant les limites admissibles.
• En torsion, contrainte tangentielle τ respectant la condition τ ≤ Rg / s et déformation angulaire calculée cohérente.

Pièges courants

• Confondre la force normale (traction/compression) et les efforts tranchants (cisaillement).
• Oublier d’appliquer le coefficient de sécurité dans la condition de résistance.
• Utiliser des unités incohérentes (ex. N avec mm² sans conversion).
• Ne pas prendre en compte la position y dans le calcul des contraintes en flexion.
• Confondre moment d’inertie quadratique IGz et moment d’inertie polaire I0 selon la sollicitation.
• Pour la torsion, ne pas calculer correctement le moment d’inertie polaire I0 pour une section creuse.
• Omettre la distinction entre matériaux ductiles et fragiles dans la détermination de la contrainte admissible en cisaillement.